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2023—2024 学年第一学期期末学业水平检测
高二数学试题参考答案及评分标准
2024 年 01月
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
题型 一、单项选择题 二、多项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B C A C D B BC ABCD AD ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2
13. 4x-5y+20=0 或 4x+5y-20=0 ; 14. 9 ; 15. ; 16. 2 .
7
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分 10 分)
已知抛物线 C： 2y ＝ 2px(p>0)的焦点为 F，直线 y＝ 4 与 y 轴的交点为 A，
5
与 C 的交点为 P，且 |PF |＝ |AP | .
4
（Ⅰ）求 C 的方程；
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{#{QQABCQKEogCgABBAAAhCEwXYCgCQkAEACKoORFAEIAIASQNABAA=}#}
（Ⅱ）延长 PF 交抛物线于 Q， O 为坐标原点，求△ OPQ 的面积 S△ O P Q．
2 8
解：（Ⅰ） 设 P(x0,4)，代入 y ＝2px 得 x0＝ -------------------------1分 p
8
所以|AP|＝ ， ------------------------------------2分
p
p p 8
|PF|＝ ＋x0＝ ＋ . ----------------------------------3分 2 2 p
p 8 5 8
由题设得 ＋ ＝ × ，
2 p 4 p
解得 p＝－2(舍去)或 p＝2. ----------------------------4分
2
所以 C 的方程为 y ＝4x. --------------------------------5分
（Ⅱ） 如图所示，由（Ⅰ）知，抛物线的焦点 F(1,0)，点 P 的横坐标为 4,
由图知点 P 的纵坐标 y＝4.
∴P(4,4)， ------------------------6分
4 0 4
∴ KPF = =
4 1 3
4
∴直线 PF 的方程为 y＝ (x－1)． ------7分
3
4
= ( 1),
联立直线与抛物线的方程{ 3
2 = 4 ,
1
1 = 4 1 = 解之得 { 或 { 4 -------------------------8 分
1 = 4 1 = 1
1
由图知 Q( , -1 )， ---------------------------------9分
4
1 1 5
∴S△OPQ＝ |OF|·|yP－yQ|＝ ×1×|4-(-1)|＝ . --------------------10 分 2 2 2
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{#{QQABCQKEogCgABBAAAhCEwXYCgCQkAEACKoORFAEIAIASQNABAA=}#}
18. (本小题满分 12 分)
已知 an 为等差数列，且 a3 6 ， a6 0．
（Ⅰ）求 an 的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列 b 满足 b1 8， b2 a a an 1 2 3，求数列 bn 的前 n 项
和公式．
解：（Ⅰ）设数列 an 的首项为 a1, 公差为 d，-------------------------1分
由题意得:
{ 1
+ 2 = 6
， -------------------------2分
1 + 5 = 0
= 10
解得 { 1 , -------------------------------------4分
= 2
∵ an = a1+(n-1)d -------------------------------------5分
∴ an 2n 12 -------------------------------------------6分
（Ⅱ） b2 a1 a2 a3 3a2 24，-----------------------------8分
且 b1 8
b 24
b q
2 3
等比数列 n 的公比 ------------------------9分 b1 8
1(1 )
∵ = -------------------------------------10分 1
8 (1 3n )
∴ S 4(1 3n ) ．-------------------------------12分 n
1 3
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{#{QQABCQKEogCgABBAAAhCEwXYCgCQkAEACKoORFAEIAIASQNABAA=}#}
19. (本小题满分 12 分)
9
动点 M(x , y)与定点 F(4, 0)的距离和它到定直线 l : x 的距离的比是
4
4
常数 .
3
（Ⅰ）求动点 M 的轨迹方程；
（Ⅱ）直线 l:y=kx+b 与 M 的轨迹交于 A，B 两点，AB 的中点坐标为 (6,
2)，求直线 l 的方程 .
9
解：（Ⅰ）因为动点 M(x , y )与定点 F(4, 0)的距离和它到定直线 l : x 的
4
4
距离的比是常数
3
2
x 4 y2 4
所以 ， ------------------------------------2分
9 3
x
4
x2 y2
化简得 1， ------------------------------------4分
9 7
x2 y2
∴动点 M 的轨迹方程为 1. ----------------------------5分
9 7
（Ⅱ）设 A x , y ,B x x x 12, y y 41 1 2, y2 ，则 1 2 1 2 ，------------6分
x 2 21 y 1 1 9 7
则有 ----------------------------------------7分
x 2 2 y
2
2 1
9 7
x 2 x 2 y 2 y 2
两式相减得 1 2 1 2 ----------------------------8分
9 7
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{#{QQABCQKEogCgABBAAAhCEwXYCgCQkAEACKoORFAEIAIASQNABAA=}#}
x x x x y y y y
即 1 2 1 2 1 2 1 2
9 7
y1 y2 7
∴ k ------------------------------------------9分
x1 x2 3
7
∴ 直线 l : y x b ----------------------------------10分
3
将点 6,2 代入得2 14 b，
∴ b 12 ---------------------------------------11分
7
∴ 直线 l 的方程为 y x 12 . --------------------------12 分
3
20. (本小题满分 12 分）
如图，正三棱柱 中，底面边长为 .
（Ⅰ）若侧棱长为 1，求证： ；
（Ⅱ）若 与 的夹角为 ，求侧棱的长．
（Ⅰ）证明： -------- 1分
-------------- 2分
又∵ 平面 ABC
， ---- 3分
又 为正三角形
---------------- 4分
， ，
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{#{QQABCQKEogCgABBAAAhCEwXYCgCQkAEACKoORFAEIAIASQNABAA=}#}
，
--------------------------------- 6分
--------------------------------------- 7分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：
, --- 8分
又 --------------- 10分
， ------------------------ 11分
，即侧棱长为 2 . -------------------------------- 12分
21. (本小题满分 12 分)
2 2
x y
已知椭圆 M： 2＋ 2＝ 1(a>b>0)的短半轴长 b＝ 1，且椭圆上一点与椭
a b
圆的两个焦点构成的三角形的周长为 6＋ 4 2.
（Ⅰ）求椭圆 M 的方程；
（Ⅱ）设直线 l：x＝my＋ t 与椭圆 M 交于 A，B 两点，若以 AB 为直径
的圆经过椭圆的右顶点 C，求 t 的值．
解: （Ⅰ）由题意，可得 2a＋2c＝6＋4 2，即 a＋c＝3＋2 2，------------ 1分
又 b＝1，
2 2
∴ b ＝a － 2c ＝1，a－c＝3－2 2， ---------------------------- 2分
解得 a＝3，c＝2 2， --------------------------------------- 4分
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{#{QQABCQKEogCgABBAAAhCEwXYCgCQkAEACKoORFAEIAIASQNABAA=}#}
2
x
∴ 椭圆 M 的方程为 ＋ 2y ＝1. ------------------------------- 5分
9
x＝my＋t
（Ⅱ）由 2x 2
＋y ＝1 9
2 2 2
消去 x 得(m ＋9)y ＋2mty＋t －9＝0. ------------------------------ 6分
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2
2mt t －9
则 y1＋y2＝－ 2 ，y1y2＝ 2 .-------① -------------------- 7分 m ＋9 m ＋9
因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C(3，0)，所以 · ＝0. ---- 8分
由 ＝(x1－3，y1)， ＝(x2－3，y2) --------------------------- 9分
得(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝0. ----------------------------------- 10分
将 x1＝my1＋t，x2＝my2＋t 代入上式，
2 2
得(m ＋1)y1y2＋m(t－3)(y1＋y2)＋(t－3) ＝0， --------------------- 11分
12
将①代入上式，解得 t＝ 或 t＝3. ------------------------------- 12分
5
22.(本小题满分 12分)
如图，在底面为矩形的四棱锥 P-ABCD 中，E 为棱 AD 上一点，PE⊥底
面 ABCD．
（Ⅰ）证明：AB⊥PD；
（Ⅱ）若 AE 2， AB DE PE 3，求二面角 B PC D的大小．
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{#{QQABCQKEogCgABBAAAhCEwXYCgCQkAEACKoORFAEIAIASQNABAA=}#}
解:（Ⅰ）因为四边形 ABCD为矩形，则 AB AD ， ------------------ 1分
PE 平面 ABCD，AB 平面 ABCD，
∴ AB PE ， ---------------------------------------------- 2分
PE AD E，
AB 平面PAD， ----------------------------------------- 3分
∵ PD 平面PAD，
∴ AB PD --------------------------------------------- 5分
（Ⅱ） PE 平面 ABCD，不妨以点 E 为坐标原点，ED、EP所在直线分别为 y 、
z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示： ------------------------------- 6分
B(3, -2 , 0 ) 、C(3 , 3 , 0 ) 、D( 0 , 3 , 0 ) 、 P( 0 , 0 , 3 ) ----------- 5分
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{#{QQABCQKEogCgABBAAAhCEwXYCgCQkAEACKoORFAEIAIASQNABAA=}#}
设平面 PBC 的法向量为m x1, y1, z1 ，
BC 0,5,0 ，CP 3, 3,3 ， ------------------------------- 6分
m BC 5y1 0
由 ， ----------------------------- 7分
m CP 3x1 3y1 3z1 0
取 x1 1，可得m 1,0,1 ， ------------------------------- 8分
设平面 PCD 的法向量为n x2 , y2 , z2 ，DC 3,0,0 ， ----------- 9分
n DC 3x2 0
由 ，
n CP 3x2 3y2 3z2 0
取 y2 1，可得 = ( 0 , 1 , 1 )， ------------------------- 10分
m n 1
所以，cos m,n ， ------------------------------- 11分
m n 2
由图可知，二面角 B PC D的平面角为钝角，
2
因此，二面角 B PC D的大小为 . -------------------------- 12分
3
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{#{QQABCQKEogCgABBAAAhCEwXYCgCQkAEACKoORFAEIAIASQNABAA=}#}按秘密级事项管理★启用前
2023—2024 学年第一学期期末学业水平检测
高二数学试题
（2019 人教 A 版选择性必修 1+选择性必修 2 第四章）
2024 年 01月
本试卷共 8 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座
位号填写在答题卡上.用 2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横
贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案
信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔
和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1 . 直线 l 的一个方向向量为（ 3,1，-1），平面 的一个法向量为（ 6,2，-2），
则
A. l B. l / /
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{#{QQABCQKEogCgABBAAAhCEwXYCgCQkAEACKoORFAEIAIASQNABAA=}#}
C. l / / 或 l D. l 与 的位置关系不能判断
2
2. 设数列 an 的前 n 项和 Sn=n ，则 a 1 0 的值为
A. 15 B. 16 C. 19 D. 20
3．若三条直线 x 3y 7 0， x y 1 0， x 2ny n 0能围成一个三角形，则
n 的值可能是
3 1 1
A． B．1 C． D．
2 3 2
x2 y2
4 . 若双曲线 1的离心率为
2 2 3，则其渐近线方程为 a b
1 2
A. y x B. y x C. y= 2x D. y=±2x
2 2
5 . 在等差数列 an 中，已知 a1 2，a3 8 ，则 a 4+ a 5+ a 6 等于
A. 42 B. 43 C. 44 D. 45
6 . O 为坐标原点， F 为抛物线 C : y2 4 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若
| PF | 4 2 ，则 POF 的面积为
A.2 B. 2√2 C. 2√3 D. 4
7．图 1 是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现
于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态 .不倒翁模型可以抽象成一个圆
锥和半球（圆锥的底面直径和球的直径相等）的组合几何体，如图 2. 已知
半球的密度是圆锥的 2 倍，已知要让半球质量不小于圆锥质量 (质量 =体积×
密度 )，才能使它在一定角度范围内 “不倒 ”，则圆锥的高和底面半径之比至
多为
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{#{QQABCQKEogCgABBAAAhCEwXYCgCQkAEACKoORFAEIAIASQNABAA=}#}
1
A． B．1
2
C．2 D．4
图 1 图 2
2 2 2
8 . 在平面直角坐标系中，动圆 C : (x 1) (y 1) r 与直线 y+1=m(x-2)
(m∈ R)相切，则面积最大的圆的标准方程为
2 2
A. (x 1) (y 1) 4 B. (x 1)2 (y 1)2 5
(x 1)2 (y 1)2 6 2 2 C. D. (x - 1) + (y - 1) = 8
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9.已知圆 2 2M： x +y -4x-5=0，则下列说法正确的是
A. 点 在圆 M 外 B. 圆 M 的半径为 3
C. 圆 M 关于 对称 D. 直线 截圆 M 的弦长为√2
10．给出下列命题，其中是真命题的是
A．若{a ,b ,c}可以作为空间的一个基底，d 与 c 共线，d≠0，则{a ,b , d}也可以作
为空间的一个基底
B．已知向量 a //b，则 a ,b 与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．己知 A，B，M，N 是空间中的四点，若 , , 不能构成空间的一个基底，
则 A，B，M，N 四点共面
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{#{QQABCQKEogCgABBAAAhCEwXYCgCQkAEACKoORFAEIAIASQNABAA=}#}
D．己知{a ,b ,c}是空间的一个基底，若 m = a + c，则{a ,b , m}也是空间的一个基
底.
x2 2
11. 设椭圆 C： ＋ y ＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1， F 2， P 是 C 上的动点，
2
则下列结论正确的是
A. |PF1 |＋ |PF2 |＝ 2 2 B. △PF1F2 面积的最大值为 2
3
C. 离心率 e＝ D. 以线段 F 1F2 为直径的圆与直线 x y 2 0 相切
2
12. 已知数列 an 的各项均为正数，其前 n 项和 Sn 满足 a n· S n=9 (n=1,2,3,···),
给出下列四个结论，其中正确的是
A. an 的第 2 项小于 3 B. an 为递减数列
1
C. an 为等比数列 D. an 中存在小于 的项
100
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 纵截距为 4，与两坐标轴围成的三角形面积为 10 的直线的一般式方程
为 .
1 1 n 1 4
14.在数列 0， ， ，…， ，…中， 是它的第 项．
4 3 2n 9
15.已知柯西不等式的向量形式为：设 a,b 是两个向量，则 |a |· |b |≥ |a·b | ,
当且仅当 a∥ b 时，等号成立．若将 a=（ a1 ,a2 ,a3）和 b=（ b1 ,b2 ,b3）代入 |a |·|b |
≥ |a·b | ,计算化简可得三维形式的柯西不等式：
(a 2 2 2 2 2 2 21 a2 a3 )(b1 b2 b3 ) (a1b1 a2b2 a3b3) ，当且仅当 a∥ b 时，等号成立 .
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若已知 a 2b 3c 2，根据三维形式的柯西不等式可求得 a2 b2 c2 的最小
值为 ．
16. 如图，水平桌面上放置一个棱长为 4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，
在该正方体侧面CDD1C1上有一个小孔E ， E 点到CD的距离为 3，若该正方体水槽绕
CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成角的正切
值为 .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分 10 分)
已知抛物线 2C： y ＝ 2px(p>0)的焦点为 F，直线 y＝ 4 与 y 轴的交点为 A，
5
与 C 的交点为 P，且 |PF |＝ |AP | .
4
（Ⅰ）求 C 的方程；
（Ⅱ）延长 PF 交抛物线于 Q， O 为坐标原点，求△ OPQ 的面积 S△ O P Q．
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18. (本小题满分 12 分)
已知 an 为等差数列，且 a3 6 ， a6 0．
（Ⅰ）求 an 的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列 b 满足 b1 8， b2 a nn 1 a2 a3，求数列 bn 的前 项
和公式．
19. (本小题满分 12 分)
9
动点 M(x , y)与定点 F(4, 0)的距离和它到定直线 l : x 的距离的比是
4
4
常数 .
3
（Ⅰ）求动点 M 的轨迹方程；
（Ⅱ）直线 l:y=kx+b 与 M 的轨迹交于 A，B 两点，AB 的中点坐标为 (6,
2)，求直线 l 的方程 .
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{#{QQABCQKEogCgABBAAAhCEwXYCgCQkAEACKoORFAEIAIASQNABAA=}#}
20. (本小题满分 12 分）
如图，正三棱柱 中，底面边长为 .
（Ⅰ）若侧棱长为 1，求证： ；
（Ⅱ）若 与 的夹角为 ，求侧棱的长．
21. (本小题满分 12 分)
2 2
x y
已知椭圆 M： 2＋ 2＝ 1(a>b>0)的短半轴长 b＝ 1，且椭圆上一点与椭
a b
圆的两个焦点构成的三角形的周长为 6＋ 4 2.
（Ⅰ）求椭圆 M 的方程；
（Ⅱ）设直线 l：x＝my＋ t 与椭圆 M 交于 A，B 两点，若以 AB 为直径
的圆经过椭圆的右顶点 C，求 t 的值．
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22.(本小题满分 12分)
如图，在底面为矩形的四棱锥 P-ABCD 中，E 为棱 AD 上一点，PE⊥底
面 ABCD．
（Ⅰ）证明：AB⊥PD；
（Ⅱ）若 AE 2， AB DE PE 3，求二面角 B PC D的大小．
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