高中数学人教新课标A版 必修4 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 同步练习
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量，①⑥⑦⑧没有方向，不符合向量的定义. 故答案为：D
【分析】结合向量的定义既有大小又有方向逐一判断即可。
2．下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量不能比较大小，向量的模能比较大小， 故答案为：D
【分析】结合向量的定义可得向量不能比较大小，向量的模能比较大小。
3．下列说法正确的是（ ）
A．若 则
B．若 则
C．若 ，则
D．若 ，则 不是共线向量
【答案】C
【知识点】向量的模；相等向量与相反向量
【解析】【解答】向量不能比较大小，所以A不正确； 需满足两个条件， 同向且 所以B不正确；C正确； 是共线向量只需方向相同或相反，D不正确． 故答案为：C
【分析】根据题意结合向量相等以及模的定义追忆判断即可得出结果。
4．若非零向量 和 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】由平行向量的定义可知A项正确；
因为 和 的方向相反，所以 ，故B项正确；
由相反向量的定义可知 ，故选项D正确；
由相反向量的定义知 ，故C项错误.
故答案为：C
【分析】根据向量平行以及相反向量的定义即可得出结论。
5．如图所示，在等腰梯形 中， ，对角线 、 交于点 ，过 作 ，交 于 ，交 于 ，则在以 、 、 、 、 、 、 为起点和终点的向量中，相等向量有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】B
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】
【分析】根据相等向量的定义结合已知的梯形的性质即可得出结果。
6．已知 {与 共线的向量}， {与 长度相等的向量}， {与 长度相等且方向相反的向量}，其中 为非零向量，则下列命题中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】∵ 表示与向量 长度相等且共线（方向相同或相反）的向量，结合选项知B错误. 故答案为：B
【分析】根据共线向量、相反向量的定义结合子集和交集的定义逐一判断即可得出结论。
7．下列说法中：
⑴若 是单位向量， 也是单位向量，则 与 的方向相同或相反；
⑵若向量 是单位向量，则向量 也是单位向量；
⑶两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同．
正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单位向量
【解析】【解答】由单位向量的定义知，凡长度为 的向量均为单位向量，对方向没有任何要求，故（1）不正确；因为 ，所以当 是单位向量时， 也是单位向量，故（2）正确；据相等向量的概念知，（3）是正确的． 故答案为：C
【分析】根据题意结合单位向量的定义以及性质，长度是1，方向任意性。
8．给出下列结论：
①两个单位向量是相等向量；
②若 ， ，则 ；
③若一个向量的模为 ，则该向量的方向不确定；
④若 ，则 ；
⑤若 与 共线， 与 共线，则 与 共线.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，①错误；若 ， ，则 ，向量相等具有传递性，②正确；
一个向量的模为0，则该向量一定是零向量，方向不确定，③正确；若 ，则 ，还要方向相同才行，④错误；
与 共线, 与 共线，则 与 共线，当 为零向量时不成立，⑤错误. 故答案为：B
【分析】根据题意结合单位向量、向量的模以及零向量与单位向量、相等向量的定义逐一判断即可。
二、填空题
9．若四边形ABCD是菱形，则在向量，，，，，中，相等的有 对．
【答案】2
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】菱形ABCD，如下图所示：
向量和大小相等方向相同，故=，
同理=，，
故相等的向量有2对，
故答案为：2.
【分析】根据菱形的性质，结合向量相等的定义，逐一判断给定向量是否相等，可得答案。
10．给出下列说法：
⑴若 ，则 或 ；
⑵向量的模一定是正数；
⑶起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
⑷向量 与 是共线向量，则 四点必在同一直线上．
其中正确说法的序号是 ．
【答案】（3）
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】（1）错误． 仅说明 与 模相等，但不能说明它们方向的关系．
⑵错误．例如 的模 .
⑶正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．
⑷错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 、 必须在同一直线上．
【分析】根据单位向量、相等向量以及共线向量的定义逐一判断即可得出结论。
11．如图，四边形 是边长为 的正方形，把各边三等分后，共有 个交点，从中选取两个交点作为向量，则与 平行且长度为 的向量有 个．
【答案】
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】如图所示，满足与 平行且长度为 的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ，共 个.
【分析】根据共线向量的定义，方向相同和相反的向量逐一判断即可。
三、解答题
12．一辆汽车从 点出发向西行驶了 到达 点，然后改变方向向北偏西 行驶了 到达 点，最后又改变方向，向东行驶了 到达 点．
（1）作出向量 、 、 ；
（2）求 .
【答案】（1）解：向量 、 、 如图所示：
（2）解：由题意，易知 与 方向相反，故 与 共线，又 ，
∴在四边形 中， .∴四边形 为平行四边形．
∴ ，∴
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【分析】(1)根据题意作出向量即可。(2)结合向量相反以及共线的定义即可得出A B ∥ C D ， A B = C D，进而得证四边形 A B C D 为平行四边形从而得出结果。
13．如图所示，四边形 和 均是边长为 的正方形，在以 、 、 、 、 、 为起点和终点的向量中．
（1）写出与 、 相等的向量；
（2）写出与 模相等的向量．
【答案】（1）解：与 相等的向量有 ， ；与 相等的向量为
（2）解：与 模相等的向量有
【知识点】向量的模；相等向量与相反向量
【解析】【分析】(1)借助向量相等的定义即可得出结论。(2)根据向量模相等的定义即可得出结论。
14．如图，半圆的直径 ， 是半圆上的一点， 分别是 上的点，且
（1）求证：向量 ；
（2）求 .
【答案】（1）证明：由题意知，在△ 中， ∴ 又点 为半圆上一点， 直径，∴
∴ ，故
（2）解：由 知△ △ ，
∴ ，即 .
∴ 即
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【分析】(1)首先结合圆的圆周角的性质得出 ∠ A C B = 90 ° ，即可得出 A C ∥ D E进而得证。(2) 由平行关系得到三角形相似然后结合对应边成比例即可求出结果。
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一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
3．下列说法正确的是（ ）
A．若 则
B．若 则
C．若 ，则
D．若 ，则 不是共线向量
4．若非零向量 和 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，在等腰梯形 中， ，对角线 、 交于点 ，过 作 ，交 于 ，交 于 ，则在以 、 、 、 、 、 、 为起点和终点的向量中，相等向量有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．已知 {与 共线的向量}， {与 长度相等的向量}， {与 长度相等且方向相反的向量}，其中 为非零向量，则下列命题中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列说法中：
⑴若 是单位向量， 也是单位向量，则 与 的方向相同或相反；
⑵若向量 是单位向量，则向量 也是单位向量；
⑶两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同．
正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
8．给出下列结论：
①两个单位向量是相等向量；
②若 ， ，则 ；
③若一个向量的模为 ，则该向量的方向不确定；
④若 ，则 ；
⑤若 与 共线， 与 共线，则 与 共线.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．若四边形ABCD是菱形，则在向量，，，，，中，相等的有 对．
10．给出下列说法：
⑴若 ，则 或 ；
⑵向量的模一定是正数；
⑶起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
⑷向量 与 是共线向量，则 四点必在同一直线上．
其中正确说法的序号是 ．
11．如图，四边形 是边长为 的正方形，把各边三等分后，共有 个交点，从中选取两个交点作为向量，则与 平行且长度为 的向量有 个．
三、解答题
12．一辆汽车从 点出发向西行驶了 到达 点，然后改变方向向北偏西 行驶了 到达 点，最后又改变方向，向东行驶了 到达 点．
（1）作出向量 、 、 ；
（2）求 .
13．如图所示，四边形 和 均是边长为 的正方形，在以 、 、 、 、 、 为起点和终点的向量中．
（1）写出与 、 相等的向量；
（2）写出与 模相等的向量．
14．如图，半圆的直径 ， 是半圆上的一点， 分别是 上的点，且
（1）求证：向量 ；
（2）求 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量，①⑥⑦⑧没有方向，不符合向量的定义. 故答案为：D
【分析】结合向量的定义既有大小又有方向逐一判断即可。
2．【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量不能比较大小，向量的模能比较大小， 故答案为：D
【分析】结合向量的定义可得向量不能比较大小，向量的模能比较大小。
3．【答案】C
【知识点】向量的模；相等向量与相反向量
【解析】【解答】向量不能比较大小，所以A不正确； 需满足两个条件， 同向且 所以B不正确；C正确； 是共线向量只需方向相同或相反，D不正确． 故答案为：C
【分析】根据题意结合向量相等以及模的定义追忆判断即可得出结果。
4．【答案】C
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】由平行向量的定义可知A项正确；
因为 和 的方向相反，所以 ，故B项正确；
由相反向量的定义可知 ，故选项D正确；
由相反向量的定义知 ，故C项错误.
故答案为：C
【分析】根据向量平行以及相反向量的定义即可得出结论。
5．【答案】B
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】
【分析】根据相等向量的定义结合已知的梯形的性质即可得出结果。
6．【答案】B
【知识点】共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】∵ 表示与向量 长度相等且共线（方向相同或相反）的向量，结合选项知B错误. 故答案为：B
【分析】根据共线向量、相反向量的定义结合子集和交集的定义逐一判断即可得出结论。
7．【答案】C
【知识点】单位向量
【解析】【解答】由单位向量的定义知，凡长度为 的向量均为单位向量，对方向没有任何要求，故（1）不正确；因为 ，所以当 是单位向量时， 也是单位向量，故（2）正确；据相等向量的概念知，（3）是正确的． 故答案为：C
【分析】根据题意结合单位向量的定义以及性质，长度是1，方向任意性。
8．【答案】B
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，①错误；若 ， ，则 ，向量相等具有传递性，②正确；
一个向量的模为0，则该向量一定是零向量，方向不确定，③正确；若 ，则 ，还要方向相同才行，④错误；
与 共线, 与 共线，则 与 共线，当 为零向量时不成立，⑤错误. 故答案为：B
【分析】根据题意结合单位向量、向量的模以及零向量与单位向量、相等向量的定义逐一判断即可。
9．【答案】2
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】菱形ABCD，如下图所示：
向量和大小相等方向相同，故=，
同理=，，
故相等的向量有2对，
故答案为：2.
【分析】根据菱形的性质，结合向量相等的定义，逐一判断给定向量是否相等，可得答案。
10．【答案】（3）
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】（1）错误． 仅说明 与 模相等，但不能说明它们方向的关系．
⑵错误．例如 的模 .
⑶正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．
⑷错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 、 必须在同一直线上．
【分析】根据单位向量、相等向量以及共线向量的定义逐一判断即可得出结论。
11．【答案】
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】如图所示，满足与 平行且长度为 的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ，共 个.
【分析】根据共线向量的定义，方向相同和相反的向量逐一判断即可。
12．【答案】（1）解：向量 、 、 如图所示：
（2）解：由题意，易知 与 方向相反，故 与 共线，又 ，
∴在四边形 中， .∴四边形 为平行四边形．
∴ ，∴
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【分析】(1)根据题意作出向量即可。(2)结合向量相反以及共线的定义即可得出A B ∥ C D ， A B = C D，进而得证四边形 A B C D 为平行四边形从而得出结果。
13．【答案】（1）解：与 相等的向量有 ， ；与 相等的向量为
（2）解：与 模相等的向量有
【知识点】向量的模；相等向量与相反向量
【解析】【分析】(1)借助向量相等的定义即可得出结论。(2)根据向量模相等的定义即可得出结论。
14．【答案】（1）证明：由题意知，在△ 中， ∴ 又点 为半圆上一点， 直径，∴
∴ ，故
（2）解：由 知△ △ ，
∴ ，即 .
∴ 即
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【分析】(1)首先结合圆的圆周角的性质得出 ∠ A C B = 90 ° ，即可得出 A C ∥ D E进而得证。(2) 由平行关系得到三角形相似然后结合对应边成比例即可求出结果。
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