2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.5 确定圆的条件
一、选择题
1．（2017·黑龙江模拟）下列说法中正确的是（ ）
A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，A符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，C不符合题意；
D、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，D不符合题意，
故答案为：A．
【分析】圆心角定理、圆周角定理的成立大前提条件必须在同圆或等圆中，“平分弦的直径垂直于弦”成立条件是平分非直径的弦才能得出垂直于弦.
2．（2017九上·邗江期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆
C．四边形都有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角形
【答案】B
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
B、三角形有且只有一个外切圆，原命题正确；
C、并不是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误；
D、圆有无数个内接三角形．
故选B．
【分析】根据确定圆的条件逐一判断后即可得到答案．
3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
【答案】A
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选A．
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
4．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）
【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：∵⊙P经过点A、B、C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC与F，
由题意得，
解得，y=，
故选：C．
【分析】根据题意可知点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），根据PA=PC列出关于y的方程，解方程得到答案．
5．如图，点D，E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB，AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，
则BF为⊙O的直径，
∴∠BCF=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠F=∠A=60°，
∵⊙O的半径为2，
∴BF=4，
∴BC=2 ，
∵点D、E分别是AB、AC边上的中点，
∴DE= BC= ，
故答案为：A．
【分析】根据题意可作辅助线，连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，由直径所对的圆周角是直角可得∠BCF=90°，由已知条件可得∠A=60°，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠F=∠A，在直角三角形BCF中，用勾股定理或锐角三角函数可求BC的长，根据三角形的中位线定理可得DE= BC。所以选项A符合题意。
6．（2018·沧州模拟）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA=OB=OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA=OE≠OD，
∴O不是△AED的外心.
综上分析可知：选项A、C、D中的距离都是错的，只有选项B的结论是正确的.
故答案为：B．
【分析】连接OA、OB、OD．根据三角形的外接圆的圆心的意义可得OA=OB=OC，由正方形的性质可得OA=OB=OE，所以O是△ABE的外心，而OA=OE≠OD，所以根据三角形的外接圆的圆心的意义可得O不是△AED的外心.。
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）
A．5 B． C．5 D．5
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OP，
∵∠C=30°，
∴∠APB=∠C=30°，
∵PB=AB，
∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°，
∵PB=AB，
∴OB⊥AP，AD=PD，
∴∠OBP=∠OBA=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=5，
则Rt△PBD中，PD=cos30° PB= ×5= ，
∴AP=2PD=5 ，
故答案为：D．
【分析】根据题意可作辅助线，连接OA、OB、OP，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等∠APB=∠C，由等边对等角可得∠PAB=∠APB，则∠ABP可求，由垂径定理的推论可得OB⊥AP，AD=PD，所以有∠OBP=∠OBA=60°，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形，那么AB=OA，在Rt△PBD中，由∠BPD的余弦可求PD的长，则AP=2PD，即AP可求。
8．如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
∵∠BAC= ∠BOC，
∴∠BOC=120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OB平分∠BOC，
∴∠DOC= ∠BOC=60°，
∴∠OCD=90°﹣60°=30°，
在Rt△DOC中，OC=6，
∴OD=3，
∴DC=3 ，
∴BC=2DC=6 ，
故答案为：C．
【分析】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。根据定理可得∠BAC= ∠BOC，再由已知∠BAC与∠BOC互补可求∠BOC的度数，过O作OD⊥BC，垂足为D，根据垂径定理可得BD=CD，OB平分∠BOC，∠OCD的度数可求，在Rt△DOC中，用勾股定理可求DC的长，则线段BC=2DC。
9．（2017·市中区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A．（0，0） B．（1，0）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，0）
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：C．
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（ ）
A．95° B．90° C．85° D．75°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，
由圆周角定理得，∠D=∠C=50°，
∴∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠D=85°，
故答案为：C．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，由角平分线的定义可得∠ABD=∠ABC=45°，由圆周角定理得，∠D=∠C，根据三角形内角和定理可求出∠BAD的度数。
二、填空题
11．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 ．
【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
【分析】根据三角形外心的定义可作辅助线，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆即可。结合图形可知⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点。
12．（2016九下·南京开学考）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件 ．
【答案】5m+2n≠9
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴
解得：k=，b=，
∴直线AB的解析式为y=+ ，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5m+2n≠9，
故答案为：5m+2n≠9．
【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．
13．下列说法：①直径是弦；②经过三点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；④长度相等的弧是等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：直径是弦，所以①正确；经过不共线的三点一定可以作圆，所以②错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，所以③正确；能够完全重合的弧是等弧，所以④错误；平分弦（非直径）的直径垂直于弦．
故答案为①③．
【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据确定圆的条件对②进行判断；根据三角形外心的性质对③进行判断；根据等弧的定义对④进行判断；根据垂径定理的推论对⑤进行判断．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为 ．
【答案】（7，4）或（6，5）或（1，4）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．
∴PA=PB= = ，
∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，
∴PC=PA=PB= = ，
则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）；
故答案为：（7，4）或（6，5）或（1，4）．
【分析】因为P是△ABC的外心，根据三角形外心的定义可知PC=PA=PB，由勾股定理可得PC=PA=PB=，根据题意ji点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数并结合图形可知点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）。
15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AD=AC，BE=BC，DE=6，点O是△CDE的内心，如图所示，则点O到△ABC的三边的距离之和是 ．
【答案】9
【知识点】三角形的内切圆与内心；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由题意点O是EC、CD垂直平分线的交点，
∵AD=AC，BE=BC，
∴EC的垂直平分线经过B且平分∠B，CD的垂直平分线经过A且平分∠A，
∴O是△ABC的内心，
则r= （AC+BC﹣AB）= （AD+BE﹣AB）= DE=3，
∴点O到△ABC的三边的距离之和是3r=9，
故答案为9．
【分析】根据线段的垂直平分线的判定可知EC的垂直平分线经过B且平分∠B，CD的垂直平分线经过A且平分∠A，根据三角形的内心到三角形三边的距离相等可得O是△ABC的内心，则r= （AC+BC﹣AB）= （AD+BE﹣AB）= DE，所以点O到△ABC的三边的距离之和是3r。
16．（2017·徐州模拟）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=6，AC=5，AD=3，则⊙O的直径AE= ．
【答案】10
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由圆周角定理得，∠E=∠C，∠ABE=90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴△ABE∽△ADC，
∴ = ，即 = ，
解得，AE=10，
故答案为：10．
【分析】根据圆周角定理得到∠E=∠C，∠ABE=90°，证明△ABE∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
三、解答题
17．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴
∴BD=CD
（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知： ，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上
【知识点】垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】(1)根据垂径定理可得弧BD=弧CD，再由同圆或等圆中，等弧所对的弦相等可得BD=CD。
（2）由（1）知弧BD=弧CD，由同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠BAD=∠CBD，再由角平分线的定义可得∠CBE=∠ABE，根据三角形的外角定理可证∠DBE=∠DEB，根据等边对等角可得DB=DE，结合（1）的结论可得DB=DE=DC．于是可知B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
18．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴ ，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB
（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得： ，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC= =4 ，
∴△ABC外接圆的半径= ×4 =2
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据相等的圆周角所对的弧相等可得弧 B D =弧 C D，根据相等的弧所对的圆周角相等可得∠DBC=∠CAD，结合已知条件可得∠DBE=∠DEB，由等角对等边可得结论。
（2）连接CD，根据同圆或等圆中，等弧对等弦可得CD=BD，由直径所对的圆周角是直角可得∠BDC=90°，在直角三角形BCD中，用勾股定理可求得BC的长，则△ABC外接圆的半径=BC.
1 / 12017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.5 确定圆的条件
一、选择题
1．（2017·黑龙江模拟）下列说法中正确的是（ ）
A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
2．（2017九上·邗江期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆
C．四边形都有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角形
3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
4．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）
5．如图，点D，E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB，AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2018·沧州模拟）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）
A．5 B． C．5 D．5
8．如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为（ ）
A． B．3 C． D．6
9．（2017·市中区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A．（0，0） B．（1，0）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，0）
10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（ ）
A．95° B．90° C．85° D．75°
二、填空题
11．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 ．
12．（2016九下·南京开学考）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件 ．
13．下列说法：①直径是弦；②经过三点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；④长度相等的弧是等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是 （填序号）．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为 ．
15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AD=AC，BE=BC，DE=6，点O是△CDE的内心，如图所示，则点O到△ABC的三边的距离之和是 ．
16．（2017·徐州模拟）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=6，AC=5，AD=3，则⊙O的直径AE= ．
三、解答题
17．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
18．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，A符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，C不符合题意；
D、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，D不符合题意，
故答案为：A．
【分析】圆心角定理、圆周角定理的成立大前提条件必须在同圆或等圆中，“平分弦的直径垂直于弦”成立条件是平分非直径的弦才能得出垂直于弦.
2．【答案】B
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
B、三角形有且只有一个外切圆，原命题正确；
C、并不是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误；
D、圆有无数个内接三角形．
故选B．
【分析】根据确定圆的条件逐一判断后即可得到答案．
3．【答案】A
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选A．
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
4．【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：∵⊙P经过点A、B、C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC与F，
由题意得，
解得，y=，
故选：C．
【分析】根据题意可知点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），根据PA=PC列出关于y的方程，解方程得到答案．
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，
则BF为⊙O的直径，
∴∠BCF=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠F=∠A=60°，
∵⊙O的半径为2，
∴BF=4，
∴BC=2 ，
∵点D、E分别是AB、AC边上的中点，
∴DE= BC= ，
故答案为：A．
【分析】根据题意可作辅助线，连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，由直径所对的圆周角是直角可得∠BCF=90°，由已知条件可得∠A=60°，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠F=∠A，在直角三角形BCF中，用勾股定理或锐角三角函数可求BC的长，根据三角形的中位线定理可得DE= BC。所以选项A符合题意。
6．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA=OB=OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA=OE≠OD，
∴O不是△AED的外心.
综上分析可知：选项A、C、D中的距离都是错的，只有选项B的结论是正确的.
故答案为：B．
【分析】连接OA、OB、OD．根据三角形的外接圆的圆心的意义可得OA=OB=OC，由正方形的性质可得OA=OB=OE，所以O是△ABE的外心，而OA=OE≠OD，所以根据三角形的外接圆的圆心的意义可得O不是△AED的外心.。
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OP，
∵∠C=30°，
∴∠APB=∠C=30°，
∵PB=AB，
∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°，
∵PB=AB，
∴OB⊥AP，AD=PD，
∴∠OBP=∠OBA=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=5，
则Rt△PBD中，PD=cos30° PB= ×5= ，
∴AP=2PD=5 ，
故答案为：D．
【分析】根据题意可作辅助线，连接OA、OB、OP，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等∠APB=∠C，由等边对等角可得∠PAB=∠APB，则∠ABP可求，由垂径定理的推论可得OB⊥AP，AD=PD，所以有∠OBP=∠OBA=60°，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形，那么AB=OA，在Rt△PBD中，由∠BPD的余弦可求PD的长，则AP=2PD，即AP可求。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
∵∠BAC= ∠BOC，
∴∠BOC=120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OB平分∠BOC，
∴∠DOC= ∠BOC=60°，
∴∠OCD=90°﹣60°=30°，
在Rt△DOC中，OC=6，
∴OD=3，
∴DC=3 ，
∴BC=2DC=6 ，
故答案为：C．
【分析】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。根据定理可得∠BAC= ∠BOC，再由已知∠BAC与∠BOC互补可求∠BOC的度数，过O作OD⊥BC，垂足为D，根据垂径定理可得BD=CD，OB平分∠BOC，∠OCD的度数可求，在Rt△DOC中，用勾股定理可求DC的长，则线段BC=2DC。
9．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：C．
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，
由圆周角定理得，∠D=∠C=50°，
∴∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠D=85°，
故答案为：C．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，由角平分线的定义可得∠ABD=∠ABC=45°，由圆周角定理得，∠D=∠C，根据三角形内角和定理可求出∠BAD的度数。
11．【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
【分析】根据三角形外心的定义可作辅助线，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆即可。结合图形可知⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点。
12．【答案】5m+2n≠9
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴
解得：k=，b=，
∴直线AB的解析式为y=+ ，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5m+2n≠9，
故答案为：5m+2n≠9．
【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．
13．【答案】①③
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：直径是弦，所以①正确；经过不共线的三点一定可以作圆，所以②错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，所以③正确；能够完全重合的弧是等弧，所以④错误；平分弦（非直径）的直径垂直于弦．
故答案为①③．
【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据确定圆的条件对②进行判断；根据三角形外心的性质对③进行判断；根据等弧的定义对④进行判断；根据垂径定理的推论对⑤进行判断．
14．【答案】（7，4）或（6，5）或（1，4）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．
∴PA=PB= = ，
∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，
∴PC=PA=PB= = ，
则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）；
故答案为：（7，4）或（6，5）或（1，4）．
【分析】因为P是△ABC的外心，根据三角形外心的定义可知PC=PA=PB，由勾股定理可得PC=PA=PB=，根据题意ji点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数并结合图形可知点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）。
15．【答案】9
【知识点】三角形的内切圆与内心；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由题意点O是EC、CD垂直平分线的交点，
∵AD=AC，BE=BC，
∴EC的垂直平分线经过B且平分∠B，CD的垂直平分线经过A且平分∠A，
∴O是△ABC的内心，
则r= （AC+BC﹣AB）= （AD+BE﹣AB）= DE=3，
∴点O到△ABC的三边的距离之和是3r=9，
故答案为9．
【分析】根据线段的垂直平分线的判定可知EC的垂直平分线经过B且平分∠B，CD的垂直平分线经过A且平分∠A，根据三角形的内心到三角形三边的距离相等可得O是△ABC的内心，则r= （AC+BC﹣AB）= （AD+BE﹣AB）= DE，所以点O到△ABC的三边的距离之和是3r。
16．【答案】10
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由圆周角定理得，∠E=∠C，∠ABE=90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴△ABE∽△ADC，
∴ = ，即 = ，
解得，AE=10，
故答案为：10．
【分析】根据圆周角定理得到∠E=∠C，∠ABE=90°，证明△ABE∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
17．【答案】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴
∴BD=CD
（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知： ，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上
【知识点】垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】(1)根据垂径定理可得弧BD=弧CD，再由同圆或等圆中，等弧所对的弦相等可得BD=CD。
（2）由（1）知弧BD=弧CD，由同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠BAD=∠CBD，再由角平分线的定义可得∠CBE=∠ABE，根据三角形的外角定理可证∠DBE=∠DEB，根据等边对等角可得DB=DE，结合（1）的结论可得DB=DE=DC．于是可知B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
18．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴ ，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB
（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得： ，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC= =4 ，
∴△ABC外接圆的半径= ×4 =2
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据相等的圆周角所对的弧相等可得弧 B D =弧 C D，根据相等的弧所对的圆周角相等可得∠DBC=∠CAD，结合已知条件可得∠DBE=∠DEB，由等角对等边可得结论。
（2）连接CD，根据同圆或等圆中，等弧对等弦可得CD=BD，由直径所对的圆周角是直角可得∠BDC=90°，在直角三角形BCD中，用勾股定理可求得BC的长，则△ABC外接圆的半径=BC.
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