天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习
高三数学
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。祝各位考生考试顺利!
第I卷（共45分）
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么.
·如果事件A，B相互独立，那么.
·棱锥的体积公式h，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知等比数列的前n项和是，且，，则（ ）
A.30 B.80 C.240 D.242
6.从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（ ）
A.1440 B.120 C.60 D.24
7.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则所具有的性质是（ ）
A.图象关于直线对称
B.图象关于点成中心对称
C.的一个单调递增区间为
D.曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为
8.已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的体积是（ ）
A. B. C.2 D.
9.双曲线：的离心率为，实轴长为4，的两个焦点为，.设O为坐标原点，若点P在C上，且，则（ ）
A.2 B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项：
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2、本卷共11小题，共105分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分、试题中包含两个空的，签对1个的给3分，全部答对的给5分.
10.是虚数单位，复数_________.
11.在的展开式中，常数项为_________.（结果用数字表示）
12.在教师资格考试中，甲、乙两人通过的概率分别为0.7，0.6，且两人考试是否通过相互没有影响，则两人都通过的概率为____________，两人至少有一人通过的概率为___________.
13.已知抛物线：的焦点为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且直线的斜率为，则以线段为直径的圆的方程为______________.
14.在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为_____________.
15.已知函数（，且）.若关于的方程恰有三个不相等的实数根，，，则的取值范围为，的取值范围为__________
三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分14分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，.
（I）求b的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值.
17.（本小题满分15分）
如图，已知平面，，，，，，.
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点到直线的距离.
18.（本小题满分15分）
设A，B两点的坐标分别为（-4，0），（4，0）.直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，记点M的轨迹为C.
（I）求C的方程
（Ⅱ）设直线与C交于E，F两点，若的外接圆在E处的切线与C交于另一点P，求的面积.
19.（本小题满分15分）
已知是等差数列，，.
（I）求的通项公式和；
（Ⅱ）已知为正整数，记集合的元素个数为数列.若的前项和为，设数列满足，，求的前项的和.
20.（本小题满分16分）
已知函数，.
（I）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围.天津市部分区2023一2024学年度第一学期期末练习
高三数学参考答案
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分。
题号
1
7
8
9
答案
D
B
B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，
答对1个的给3分，全部答对的给5分。
(10)
1+2i
(11)135
(12)0.42
0.88
5
(13)(-7y+0-25-64(14)
(15)(3,4),（-0,2).
三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤.
(16)(本小题满分14分)
解(I)由正弦定理及已知sinA+sinC=2sinB,有a+c=2b,
….1分
已知a=4,可得c=2b-4;
余弦定理c0sAEb+c0=可得b+c16三3五
2bc
2
..3分
将c=2b-4代入，整理得b2-5b=0,
.4分
解得b=5或b=0(舍)，所以b=5.
……5分
(IⅡ)由(I)得b=5,所以c=2b-4=6.
.6分
由余弦定理c0sC=Q+-c2_16+25-361
….9分
2ab
40
8
又I因为cosC-g所以smC=-csC=6
8
……..10分
所以tanC=sinC
cos C
=V63
…...11分
所以ian(C-)=tanC-l-63-1_32-v63
....14分
41+tan C 63+1
31
高三数学期末练习参考答案第1页（共7页)
(17)(本小题满分15分)
D
C
D
B
解(I)证明：因为DG⊥平面ABCD,AD⊥CD
因此以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD的方向为x轴，y轴，
z轴的正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),A(2,0,1),C(0,2,1),D,(0,0,2),
1分
所以CD=(0,-2,2)
.2分
设m=(x,y,z)为平面A,BC,的法向量，
AB=(-1,2,-1),AC=(-2,2,0),
mAB=-x+2y-2=0
则
m·BC=-2x+2y=0
，不妨令x=1,可得m=,1):
.4分
所以CD·m=0,得CD⊥m,
又：直线CD,￠平面ABC,所以CD,∥平面ABC·
….5分
高三数学期末练习参考答案第2页（共7页)
(IⅡ)由题意知平面AADD,的法向量为n=(0,l,0)
……..6分
设平面AADD,与平面ABC,的夹角为O,
则cos0=Imn川=1-V5
|mn53
……….9分
所以平面AADD,与平面ABC,的夹角的余弦值为5
…..10分
(Ⅲ)因为AB=(-1,2,-1),设直线AB的单位方向向量为，
则u=
3v66V6
12分
AB6’36
设点C到直线AB的距离为d,
则d-ac-(c可-回
....14分
所以点C到直线4B的距离为30
...15分
6
(18)(本小题满分15分)
万
解：（I)设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-4,0)，
所以直线AM的斜率KM=y
(x≠-4)
...1分
x+4
同理，直线BM的斜率kw=
x-4
(x≠4)
…….2分
高三数学期末练习参考答案第3页（共7页）
