2017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练：4.3.3 探索三角形全等的条件 sas
一、选择——基础知识运用
1．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，得到△ABD≌△ACD.
2．如图，已知AB=AD给出下列条件：
①CB=CD ②∠BAC=∠DAC ③∠BCA=∠DCA ④∠B=∠D，
若再添一个条件后，能使△ABC≌△ADC的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】由图形△ABC和△ADC有公共边，结合条件AB=AD，故可再加一组边，和公共边与已知一组边的夹角相等，
即当CB=CD或∠BAC=∠DAC时△ABC≌△ADC，
所以能使△ABC≌△ADC的条件有两个，
故答案为：B.
【分析】由图形△ABC和△ADC有公共边，结合条件AB=AD，故可再加一组边，和公共边与已知一组边的夹角相等，得到△ABC≌△ADC.
3．如图，已知AB∥CD，AE=CF，则下列条件中不一定能使△ABE≌△CDF的是（ ）
A．AB=CD B．BE∥DF C．∠B=∠D D．BE=DF
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
A.∵在△ABE和△CDF中
AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，
∴△ABE≌△CDF，正确，故本选项错误；
B.∵BE∥DF，
∴∠BEF=∠DFE，
∵∠AEB+∠BEF=180°，∠CFD+∠DFE=180°，
∴∠AEB=∠CFD，
∵AE=CF，∠A=∠C，
∴根据ASA即可证出两三角形全等，正确，故本选项错误；
C.∵∠B=∠D，∠A=∠C，AE=CF，根据AAS即可得出△ABE和△CDF全等，正确，故本选项错误；
D.由BE=CD和∠A=∠C，AE=CF不能判定△ABE和△CDF全等，错误，故本选项正确；
故选D．
【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠C，根据SAS即可判断A；根据平行线性质得出∠BEF=∠DFE，求出∠AEB=∠CFD，根据ASA即可证出两三角形全等，判断B即可；根据AAS即可得出△ABE和△CDF全等，判断C即可；根据SSA不能判定△ABE和△CDF全等，即可判断D．
4．如图，已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则图中有多少对三角形全等（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】全等三角形有4对，如△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，
理由是：在△AOB和△COD中
∴△AOB≌△COD，
同理△AOD≌△COB，
∴AB=CD，AD=BC，
在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA，
同理△ADB≌△CDB，
故答案为：D
【分析】根据全等三角形的判定方法SAS和SSS，得到全等三角形.
5．如图，下列条件能保证△ABC≌△ADC的是：①AB=AD，BC=DC；②∠1=∠3，∠4=∠2；③∠1=∠2，∠4=∠3；④∠1=∠2，AB=AD；⑤∠1=∠2，BC=DC．（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①③④ D．①③④⑤
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），∴①正确；
∵AC=AC，即∠4与∠3是对应角，∴②错误；
∵∠1=∠2，3=∠4，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（AAS），∴③正确；
∵AD=AB，∠1=∠2，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），∴④正确；
根据由两边和其中一边的对角不能判定两三角形全等，∴⑤错误；
正确的有①③④，
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS、AAS、SAS判定两三角形全等；由两边和其中一边的对角不能判定两三角形全等.
二、解答——知识提高运用
6．如图，△ABC和△AED中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD、CE，求证：BD=EC。
【答案】证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE-∠BAE=∠EAC-∠BAE，∴∠BAD=∠EAC，在△BAD和△EAC中，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD=EC。
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由角的和差得到∠BAD=∠EAC，再由全等三角形的判定方法SAS，得到△BAD≌△EAC，得到对应边相等.
7．如图，BE、CF是△ABC的高且相交于点P，AQ∥BC交CF延长线于点Q，若有BP=AC，CQ=AB，线段AP与AQ的关系如何？说明理由。
【答案】解：∵∠ABP+∠BPF=90°，∠ACP+∠CPE=90°，∠BPF=∠CPE，∴∠ABP=∠ACP，在△ACQ和△PBA中，∴△ACQ≌△PBA（SAS），∴AP=AQ，∠Q=∠PAF，∵∠PAF+∠APF=90°，∴∠APF+∠Q=90°，∴AP⊥AQ.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，得到△ACQ≌△PBA，得到对应边、对应角相等，由角的和差得到AP⊥AQ.
8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AO平分∠BAC，交CD于点O，E为AB上一点，且AE=AC。
（1）求证：△AOC≌△A0E；
（2）求证：OE∥BC。
【答案】（1）证明：∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO=∠EAO．
在△ACO和△AEO中
∴△AOC≌△A0E
（2）证明：∵△AOC≌△A0E，∴∠ACO=∠AEO。又∵∠ACO+∠DCB=90°，∠AEO+∠EOD=90°，∴∠DCB=∠DOE.
∴OE∥BC.
【知识点】平行线的判定；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定方法SAS，得到△AOC≌△A0E；由（1）得到对应角相等，再由内错角相等，两直线平行，得到OE∥BC.
9．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=DC。
（1）求证：AC=DB；
（2）如图2，E、F两点同时从A、D出发在直线AD上以相同的速度反向而行，BF和CE会相等吗？请证明你的结论。
【答案】（1）证明：在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴AC=DB
（2）解：BF=CE，理由如下：根据题意得：AE=DF，∴AF=DE，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，∵∠ABC=∠DCB，∴∠BAD=∠CDA，在△BAF和△CDE中，∴△BAF≌△CDE（SAS），
∴BF=CE.
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定方法SAS，得到三角形全等，得到对应边相等；（2）由已知条件和角的和差再由SAS，得到△BAF≌△CDE，得到对应边相等.
10．如图，点B、D、E、C在一条直线上，△ABD≌△ACE，AB和AC，AD和AE是对应边，除△ABD≌△ACE外，图中还有其他全等三角形吗？若有，请写出来，并证明你的结论。
【答案】解：（有，△ABE≌△ACD；理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴AB=AC，BD=CE，∠B=∠C，
∴BE=CD，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE和△ACD（SAS）
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据已知条件和全等三角形的判定方法SAS，得到△ABE和△ACD.
11．如图，在△ABC和△DEC中，∠ABC=∠DEC=90°，连接AD交射线EB于F，过A作AG∥DE交射线EB于点G，点F恰好是AD中点。
（1）求证：△AFG≌△DFE；
（2）若BC=CE，
①求证：∠ABF=∠DEF；
②若∠BAC=30°，试求∠AFG的度数。
【答案】（1）证明：∵AG∥DE，
∴∠G=∠DEF，
∵△AGF和△DEF中，
，
∴△AGF≌△DEF（AAS）
（2）解：①证明：∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB，∵∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°，∴∠ABF=∠DEF；②∵△AGF≌△DEF，∴∠G=∠DEF，∵∠ABF=∠DEF，∴∠ABF=∠G，∴AG=AB，∵△AGF≌△DEF，∴AG=DE，∴DE=AB，∵△ABC和△DEC中， ，∴△ABC≌△DEC（SAS）∴AC=CD，∠BAC=∠EDC，∵AC∥DE，∴∠EDC=∠ACD，∴∠ACD=∠BAC=30°，∴∠CAD=75°，∵∠ABF=∠G，∠BAC=30°，∴∠G=15°，∵∠CAD=∠G+∠AFG，
∴∠AFG=60°
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质得到内错角相等，根据全等三角形的判定方法AAS，得到△AGF≌△DEF；（2）由角的和差得到∠ABF=∠DEF；由（1）得到全等三角形的对应边、对应角相等，根据SAS，得到△ABC≌△DEC，得到对应边、对应角相等，由角的和差求出∠AFG的值.
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一、选择——基础知识运用
1．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
2．如图，已知AB=AD给出下列条件：
①CB=CD ②∠BAC=∠DAC ③∠BCA=∠DCA ④∠B=∠D，
若再添一个条件后，能使△ABC≌△ADC的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，已知AB∥CD，AE=CF，则下列条件中不一定能使△ABE≌△CDF的是（ ）
A．AB=CD B．BE∥DF C．∠B=∠D D．BE=DF
4．如图，已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则图中有多少对三角形全等（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，下列条件能保证△ABC≌△ADC的是：①AB=AD，BC=DC；②∠1=∠3，∠4=∠2；③∠1=∠2，∠4=∠3；④∠1=∠2，AB=AD；⑤∠1=∠2，BC=DC．（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①③④ D．①③④⑤
二、解答——知识提高运用
6．如图，△ABC和△AED中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD、CE，求证：BD=EC。
7．如图，BE、CF是△ABC的高且相交于点P，AQ∥BC交CF延长线于点Q，若有BP=AC，CQ=AB，线段AP与AQ的关系如何？说明理由。
8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AO平分∠BAC，交CD于点O，E为AB上一点，且AE=AC。
（1）求证：△AOC≌△A0E；
（2）求证：OE∥BC。
9．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=DC。
（1）求证：AC=DB；
（2）如图2，E、F两点同时从A、D出发在直线AD上以相同的速度反向而行，BF和CE会相等吗？请证明你的结论。
10．如图，点B、D、E、C在一条直线上，△ABD≌△ACE，AB和AC，AD和AE是对应边，除△ABD≌△ACE外，图中还有其他全等三角形吗？若有，请写出来，并证明你的结论。
11．如图，在△ABC和△DEC中，∠ABC=∠DEC=90°，连接AD交射线EB于F，过A作AG∥DE交射线EB于点G，点F恰好是AD中点。
（1）求证：△AFG≌△DFE；
（2）若BC=CE，
①求证：∠ABF=∠DEF；
②若∠BAC=30°，试求∠AFG的度数。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，得到△ABD≌△ACD.
2．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】由图形△ABC和△ADC有公共边，结合条件AB=AD，故可再加一组边，和公共边与已知一组边的夹角相等，
即当CB=CD或∠BAC=∠DAC时△ABC≌△ADC，
所以能使△ABC≌△ADC的条件有两个，
故答案为：B.
【分析】由图形△ABC和△ADC有公共边，结合条件AB=AD，故可再加一组边，和公共边与已知一组边的夹角相等，得到△ABC≌△ADC.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
A.∵在△ABE和△CDF中
AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，
∴△ABE≌△CDF，正确，故本选项错误；
B.∵BE∥DF，
∴∠BEF=∠DFE，
∵∠AEB+∠BEF=180°，∠CFD+∠DFE=180°，
∴∠AEB=∠CFD，
∵AE=CF，∠A=∠C，
∴根据ASA即可证出两三角形全等，正确，故本选项错误；
C.∵∠B=∠D，∠A=∠C，AE=CF，根据AAS即可得出△ABE和△CDF全等，正确，故本选项错误；
D.由BE=CD和∠A=∠C，AE=CF不能判定△ABE和△CDF全等，错误，故本选项正确；
故选D．
【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠C，根据SAS即可判断A；根据平行线性质得出∠BEF=∠DFE，求出∠AEB=∠CFD，根据ASA即可证出两三角形全等，判断B即可；根据AAS即可得出△ABE和△CDF全等，判断C即可；根据SSA不能判定△ABE和△CDF全等，即可判断D．
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】全等三角形有4对，如△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，
理由是：在△AOB和△COD中
∴△AOB≌△COD，
同理△AOD≌△COB，
∴AB=CD，AD=BC，
在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA，
同理△ADB≌△CDB，
故答案为：D
【分析】根据全等三角形的判定方法SAS和SSS，得到全等三角形.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），∴①正确；
∵AC=AC，即∠4与∠3是对应角，∴②错误；
∵∠1=∠2，3=∠4，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（AAS），∴③正确；
∵AD=AB，∠1=∠2，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），∴④正确；
根据由两边和其中一边的对角不能判定两三角形全等，∴⑤错误；
正确的有①③④，
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS、AAS、SAS判定两三角形全等；由两边和其中一边的对角不能判定两三角形全等.
6．【答案】证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE-∠BAE=∠EAC-∠BAE，∴∠BAD=∠EAC，在△BAD和△EAC中，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD=EC。
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由角的和差得到∠BAD=∠EAC，再由全等三角形的判定方法SAS，得到△BAD≌△EAC，得到对应边相等.
7．【答案】解：∵∠ABP+∠BPF=90°，∠ACP+∠CPE=90°，∠BPF=∠CPE，∴∠ABP=∠ACP，在△ACQ和△PBA中，∴△ACQ≌△PBA（SAS），∴AP=AQ，∠Q=∠PAF，∵∠PAF+∠APF=90°，∴∠APF+∠Q=90°，∴AP⊥AQ.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，得到△ACQ≌△PBA，得到对应边、对应角相等，由角的和差得到AP⊥AQ.
8．【答案】（1）证明：∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO=∠EAO．
在△ACO和△AEO中
∴△AOC≌△A0E
（2）证明：∵△AOC≌△A0E，∴∠ACO=∠AEO。又∵∠ACO+∠DCB=90°，∠AEO+∠EOD=90°，∴∠DCB=∠DOE.
∴OE∥BC.
【知识点】平行线的判定；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定方法SAS，得到△AOC≌△A0E；由（1）得到对应角相等，再由内错角相等，两直线平行，得到OE∥BC.
9．【答案】（1）证明：在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴AC=DB
（2）解：BF=CE，理由如下：根据题意得：AE=DF，∴AF=DE，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，∵∠ABC=∠DCB，∴∠BAD=∠CDA，在△BAF和△CDE中，∴△BAF≌△CDE（SAS），
∴BF=CE.
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定方法SAS，得到三角形全等，得到对应边相等；（2）由已知条件和角的和差再由SAS，得到△BAF≌△CDE，得到对应边相等.
10．【答案】解：（有，△ABE≌△ACD；理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴AB=AC，BD=CE，∠B=∠C，
∴BE=CD，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE和△ACD（SAS）
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据已知条件和全等三角形的判定方法SAS，得到△ABE和△ACD.
11．【答案】（1）证明：∵AG∥DE，
∴∠G=∠DEF，
∵△AGF和△DEF中，
，
∴△AGF≌△DEF（AAS）
（2）解：①证明：∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB，∵∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°，∴∠ABF=∠DEF；②∵△AGF≌△DEF，∴∠G=∠DEF，∵∠ABF=∠DEF，∴∠ABF=∠G，∴AG=AB，∵△AGF≌△DEF，∴AG=DE，∴DE=AB，∵△ABC和△DEC中， ，∴△ABC≌△DEC（SAS）∴AC=CD，∠BAC=∠EDC，∵AC∥DE，∴∠EDC=∠ACD，∴∠ACD=∠BAC=30°，∴∠CAD=75°，∵∠ABF=∠G，∠BAC=30°，∴∠G=15°，∵∠CAD=∠G+∠AFG，
∴∠AFG=60°
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质得到内错角相等，根据全等三角形的判定方法AAS，得到△AGF≌△DEF；（2）由角的和差得到∠ABF=∠DEF；由（1）得到全等三角形的对应边、对应角相等，根据SAS，得到△ABC≌△DEC，得到对应边、对应角相等，由角的和差求出∠AFG的值.
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