2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：2.2.1 二次函数的图象与性质
一、选择题
1．抛物线y=x2，当﹣1≤x≤3时，y的取值范围是（ ）
A．﹣1≤y≤9 B．0≤y≤9 C．1≤y≤9 D．﹣1≤y≤3
2．关于函数y=x2的性质表达正确的一项是（ ）
A．无论x为任何实数，y值总为正 B．当x值增大时，y的值也增大
C．它的图象关于y轴对称 D．它的图象在第一、三象限内
3．抛物线y=﹣x2不具有的性质是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
D．最高点是原点
4．已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=﹣x2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
5．已知a＜﹣2，点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
6．如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=x2图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2014B2013B2014的腰长等于（ ）
A．2013 B．2014 C．2013 D．2014
7．如图，点A在x轴正半轴上，抛物线y=x2与直线y=4在第一象限内的交点为B，则tan∠AOB的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．给出下列命题及函数y=x与y=x2和 的图象：
①如果 ＞a＞a2，那么0＜a＜1；
②如果a2＞a＞ ，那么a＞1或﹣1＜a＜0；
③如 ＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0；
④如果a2＞ ＞a，那么a＜﹣1．则（ ）
A．正确的命题只有① B．正确的命题有①②④
C．错误的命题有②③ D．错误的命题是③④
二、填空题
9．（2016九上·三亚期中）二次函数y=x2的图象开口方向 ．当x= 时，y有最 值，是 ，当x＜0时，y随x的增大而 ．
10．二次函数y=﹣x2的图象，在y轴的右边，y随x的增大而 ．
11．观察二次函数y=x2的图象，并填空．当x＜0时，随着x值的增大，y的值 ；当x＞0时，随着x值的增大，y的值 ．
12．二次函数y=x2的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ，它的顶点坐标为 ．
13．点A（5，y1）和B（2，y2）都在抛物线y=﹣x2上，则y1与y2的关系是（ ）
A．y1≥y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2
三、解答题
14．画出二次函数y=x2的图象．
15．如图，已知抛物线y＝x2上有一点A，A点的横坐标是－1，过点A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，求△AOB的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：
∵y=x2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当﹣1≤x≤0时，y随x的增大而减小，故当x=﹣1时，y有最大值1，当x=0时，y有最小值0；
当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，故当x=3时，y有阳大值9，当x=0时，y有最小值0；
∴当﹣1≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤9，
故答案为：B．
【分析】由抛物线开口方向、对称轴及增减性求得其最大和最小值即可求得答案．
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=x2的图象开口向上，对称轴为y轴．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可。
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：因为a＜0，所以开口向下，顶点坐标（0，0），对称轴是y轴，有最高点是原点．
故答案为：A
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可。
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数y=﹣x2，
∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x=0，即y轴．
∵a＜﹣1，
∴a﹣1＜a＜a+1＜0，
∵在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2＜y3．
故选A．
【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为y轴，根据在对称轴的左侧，y随x的增大而增大即可判断纵坐标的大小．
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵a＜﹣2，
∴a﹣1＜a＜a+1＜﹣1．
∵在函数y=x2的图象上，当x＜0时，y随着x的增大而减小，
∴y1＜y2＜y3．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的对称性和增减性进行判断即可。
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E，
∵△A1B0B1、△A2B1B2都是等腰直角三角形，
∴B1C=B0C=DB0=A1D，B2E=B1E，
设A1（a，a），
将点A1的坐标代入解析式y=x2得：a=a2，
解得：a=0（不符合题意）或a=1，由勾股定理得：A1B0= ，
则B1B0=2，
过B1作B1N⊥A2F，设点A2（x2，y2），
可得A2N=y2﹣2，B1N=x2=y2﹣2，
又点A2在抛物线上，所以y2=x22，即（x2+2）=x22，
解得x2=2，x2=﹣1（不合题意舍去），
则A2B1=2 ，同理可得：A3B2=3 ，A4B3=4 …
∴A2014B2013=2014 ，
∴△A2014B2013B2014的腰长为：2014 ．
故答案为：D．
【分析】利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方法求出第二个，第三个…的腰长，观察其规律，最后得出结果．
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y=4时，x2=4，
解得x1=2，x2=﹣2（舍去），
∴点B的坐标为（2，4），
∴tan∠AOB= =2．
故答案为：B．
【分析】把y=4代入二次函数解析式求出x的值，得到点B的坐标，然后根据正切值的定义列式计算即可得解．
8．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；通过函数图象获取信息并解决问题；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：①如果 ＞a＞a2，那么0＜a＜1，符合题意；
②如果a2＞a＞ ，那么a＞1或﹣1＜a＜0，符合题意；
③如果 ＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0，不符合题意；
④如果a2＞ ＞a，那么a＜﹣1，符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的增减性对四个结论进行判断即可。
9．【答案】向上；0；小；0；减小
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=x2的图象开口方向向上，当x=0时，y有最小值，是0，当x＜0时，y随x的增大而减小．
【分析】二次函数y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0）且a决定函数的开口方向，a＞0时，开口方向向上，a＜0时，开口方向向下．在顶点处，y具有最大或最小值，在对称轴的两侧，y随x的变化相反．
10．【答案】减小
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵a=﹣1，
∴函数图象开口向下，且对称轴是y轴．
∴在y轴的右边y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【分析】根据二次函数的增减性进行判断即可。
11．【答案】减小；增大
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：观察图象可知：当x＜0时，随着x值的增大，y的值减小；
当x＞0时，随着x值的增大，y的值增大．
【分析】根据二次函数的增减性进行判断即可。
12．【答案】抛物线；上；y轴；（0，0）
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：观察图象可知，
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
它的开口向上，它的对称轴为y轴，它的顶点坐标为（0，0）．
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可。
13．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（5，y1）和B（2，y2）都在抛物线y=﹣x2上，
∴y1=﹣25，y2=﹣4，
∴y1＜y2．
故答案为：C
【分析】根据二次函数的增减性进行判断即可。
14．【答案】解：函数y=x2的图象如图所示，
【知识点】描点法画函数图象
【解析】【分析】利用列表，描点，连线画出图象即可。
15．【答案】解：如图，
由y＝(－1） 可得，y＝1，则A（－1，1），所以B（1，1）.故AB＝2，OC＝1，所以△AOB的面积＝0.5×2×1＝1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】先求得A点的坐标，进而根据对称性求得B的坐标，从而求得AB=2，然后根据三角形面积公式求得即可．
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一、选择题
1．抛物线y=x2，当﹣1≤x≤3时，y的取值范围是（ ）
A．﹣1≤y≤9 B．0≤y≤9 C．1≤y≤9 D．﹣1≤y≤3
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：
∵y=x2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当﹣1≤x≤0时，y随x的增大而减小，故当x=﹣1时，y有最大值1，当x=0时，y有最小值0；
当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，故当x=3时，y有阳大值9，当x=0时，y有最小值0；
∴当﹣1≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤9，
故答案为：B．
【分析】由抛物线开口方向、对称轴及增减性求得其最大和最小值即可求得答案．
2．关于函数y=x2的性质表达正确的一项是（ ）
A．无论x为任何实数，y值总为正 B．当x值增大时，y的值也增大
C．它的图象关于y轴对称 D．它的图象在第一、三象限内
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=x2的图象开口向上，对称轴为y轴．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可。
3．抛物线y=﹣x2不具有的性质是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
D．最高点是原点
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：因为a＜0，所以开口向下，顶点坐标（0，0），对称轴是y轴，有最高点是原点．
故答案为：A
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可。
4．已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=﹣x2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数y=﹣x2，
∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x=0，即y轴．
∵a＜﹣1，
∴a﹣1＜a＜a+1＜0，
∵在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2＜y3．
故选A．
【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为y轴，根据在对称轴的左侧，y随x的增大而增大即可判断纵坐标的大小．
5．已知a＜﹣2，点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵a＜﹣2，
∴a﹣1＜a＜a+1＜﹣1．
∵在函数y=x2的图象上，当x＜0时，y随着x的增大而减小，
∴y1＜y2＜y3．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的对称性和增减性进行判断即可。
6．如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=x2图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2014B2013B2014的腰长等于（ ）
A．2013 B．2014 C．2013 D．2014
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E，
∵△A1B0B1、△A2B1B2都是等腰直角三角形，
∴B1C=B0C=DB0=A1D，B2E=B1E，
设A1（a，a），
将点A1的坐标代入解析式y=x2得：a=a2，
解得：a=0（不符合题意）或a=1，由勾股定理得：A1B0= ，
则B1B0=2，
过B1作B1N⊥A2F，设点A2（x2，y2），
可得A2N=y2﹣2，B1N=x2=y2﹣2，
又点A2在抛物线上，所以y2=x22，即（x2+2）=x22，
解得x2=2，x2=﹣1（不合题意舍去），
则A2B1=2 ，同理可得：A3B2=3 ，A4B3=4 …
∴A2014B2013=2014 ，
∴△A2014B2013B2014的腰长为：2014 ．
故答案为：D．
【分析】利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方法求出第二个，第三个…的腰长，观察其规律，最后得出结果．
7．如图，点A在x轴正半轴上，抛物线y=x2与直线y=4在第一象限内的交点为B，则tan∠AOB的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y=4时，x2=4，
解得x1=2，x2=﹣2（舍去），
∴点B的坐标为（2，4），
∴tan∠AOB= =2．
故答案为：B．
【分析】把y=4代入二次函数解析式求出x的值，得到点B的坐标，然后根据正切值的定义列式计算即可得解．
8．给出下列命题及函数y=x与y=x2和 的图象：
①如果 ＞a＞a2，那么0＜a＜1；
②如果a2＞a＞ ，那么a＞1或﹣1＜a＜0；
③如 ＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0；
④如果a2＞ ＞a，那么a＜﹣1．则（ ）
A．正确的命题只有① B．正确的命题有①②④
C．错误的命题有②③ D．错误的命题是③④
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；通过函数图象获取信息并解决问题；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：①如果 ＞a＞a2，那么0＜a＜1，符合题意；
②如果a2＞a＞ ，那么a＞1或﹣1＜a＜0，符合题意；
③如果 ＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0，不符合题意；
④如果a2＞ ＞a，那么a＜﹣1，符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的增减性对四个结论进行判断即可。
二、填空题
9．（2016九上·三亚期中）二次函数y=x2的图象开口方向 ．当x= 时，y有最 值，是 ，当x＜0时，y随x的增大而 ．
【答案】向上；0；小；0；减小
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=x2的图象开口方向向上，当x=0时，y有最小值，是0，当x＜0时，y随x的增大而减小．
【分析】二次函数y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0）且a决定函数的开口方向，a＞0时，开口方向向上，a＜0时，开口方向向下．在顶点处，y具有最大或最小值，在对称轴的两侧，y随x的变化相反．
10．二次函数y=﹣x2的图象，在y轴的右边，y随x的增大而 ．
【答案】减小
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵a=﹣1，
∴函数图象开口向下，且对称轴是y轴．
∴在y轴的右边y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【分析】根据二次函数的增减性进行判断即可。
11．观察二次函数y=x2的图象，并填空．当x＜0时，随着x值的增大，y的值 ；当x＞0时，随着x值的增大，y的值 ．
【答案】减小；增大
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：观察图象可知：当x＜0时，随着x值的增大，y的值减小；
当x＞0时，随着x值的增大，y的值增大．
【分析】根据二次函数的增减性进行判断即可。
12．二次函数y=x2的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ，它的顶点坐标为 ．
【答案】抛物线；上；y轴；（0，0）
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：观察图象可知，
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
它的开口向上，它的对称轴为y轴，它的顶点坐标为（0，0）．
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可。
13．点A（5，y1）和B（2，y2）都在抛物线y=﹣x2上，则y1与y2的关系是（ ）
A．y1≥y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（5，y1）和B（2，y2）都在抛物线y=﹣x2上，
∴y1=﹣25，y2=﹣4，
∴y1＜y2．
故答案为：C
【分析】根据二次函数的增减性进行判断即可。
三、解答题
14．画出二次函数y=x2的图象．
【答案】解：函数y=x2的图象如图所示，
【知识点】描点法画函数图象
【解析】【分析】利用列表，描点，连线画出图象即可。
15．如图，已知抛物线y＝x2上有一点A，A点的横坐标是－1，过点A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，求△AOB的面积．
【答案】解：如图，
由y＝(－1） 可得，y＝1，则A（－1，1），所以B（1，1）.故AB＝2，OC＝1，所以△AOB的面积＝0.5×2×1＝1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】先求得A点的坐标，进而根据对称性求得B的坐标，从而求得AB=2，然后根据三角形面积公式求得即可．
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