2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：2.3.2 确定二次函数的表达式
一、选择题
1．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2
C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC=2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），
当C点坐标是（0，2）时，图象经过三点，可以设函数解析式是：y=ax2+bx+c，
把（2，0），（﹣1，0），（0，2）分别代入解析式，
得到： ，
解得： ，
则函数解析式是：y=﹣x2+x+2；
同理可以求得当C是（0，﹣2）时解析式是：y=x2﹣x﹣2．
故这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2或y=x2﹣x﹣2．
故选C．
【分析】首先由OC=2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后分别把A、B、C三点的坐标代入函数的解析式，用待定系数法求出．注意本题有两种情况．
2．二次函数图象如图所示，则其解析式是（ ）
A．y=﹣x2+2x+4 B．y=x2+2x+4
C．y=﹣x2﹣2x+4 D．y=﹣x2+2x+3
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，所以B选项错误；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x=﹣＞0，
∴b＞0，所以C选项错误；
∵抛物线与y轴的交点为（0，4），
∴c=4，所以D选项错误．
故选A．
【分析】根据二次函数的性质，观察函数图象，利用开口方向可淘汰B，利用对称性可淘汰C，利用抛物线与y轴的交点坐标可淘汰D，从而得到A为正确选项．
3．过点（1，0），B（3，0），C（﹣1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1， ）
C．（﹣1，5） D．（2， ）
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设抛物线为y=ax2+bx+c，把（1，0），B（3，0），C（﹣1，2）代入得，
解得 ，
∵﹣ =2， =﹣ ．
∴顶点坐标是（2， ）．
故答案为：D．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，即可得出顶点坐标。
4．如图，抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），与y轴交于点（0，﹣3）则此抛物线对此函数的表达式为（ ）
A．y=x2+2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=x2+2x﹣3
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），
设此抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
又抛物线与y轴交于（0，﹣3），
把x=0，y=﹣3代入y=a（x+1）（x﹣3）得：﹣3=a（0+1）（0﹣3），
即﹣3a=﹣3，解得：a=1，
则抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．
故答案为：B．
【分析】根据抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），因此设函数解析式为交点式，即y=a（x+1）（x﹣3），再将（0，﹣3）代入计算即可。
5．（2016九上·独山期中）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（ ）
A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2
C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设这个二次函数的关系式为y=a（x+2）2﹣2，将（0，2）代入得
2=a（0+2）2﹣2
解得：a=1
故这个二次函数的关系式是y=（x+2）2﹣2，
故选D．
【分析】已知二次函数的顶点坐标，设顶点式比较简单．
6．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+5x+4﹣a2的图象，那么a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．±2
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：根据图示知，二次函数y=ax2+5x+4﹣a2的图象经过原点（0，0），
∴0=4﹣a2，
解得，a=±2；
又∵该函数图象的开口方向向下，
∴a＜0，
∴a=﹣2．
故答案为：B．
【分析】观察图像可知抛物线过原点，因此将（0,0）代入函数解析式求出a的值，再根据抛物线的开口方向确定a的值即可。
7．由表格中信息可知，若设y=ax2+bx+c，则下列y与x之间的函数关系式正确的是（ ）
x ﹣1 0 1
ax2
1
ax2+bx+c 8 3
A．y=x2﹣4x+3 B．y=x2﹣3x+4 C．y=x2﹣3x+3 D．y=x2﹣4x+8
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将x=1，ax2=1，代入y=ax2，得a=1．
将x=﹣1，a=1分别代入ax2+bx+c=8，得1﹣b+c=8，
将x=0，a=1分别代入ax2+bx+c=3，得c=3，
则b=﹣4，
∴函数解析式是：y=x2﹣4x+3．
故答案为：A．
【分析】先将（1，1）代入y=ax2中，求出a的值，再将x=-1，0时，函数y=ax2+bx+c的值分别为8，3代入函数解析式，列方程组求a、b、c的值即可。
8．已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）
A．y=2x2+x+2 B．y=x2+3x+2 C．y=x2﹣2x+3 D．y=x2﹣3x+2
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得：
，
解之得 ；
所以该函数的解析式是y=x2﹣3x+2．
故本题选D．
【分析】此题已知三点坐标，利用待定系数法求解即可。
9．若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2﹣4x﹣1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（ ）
A．y=﹣x2+2x﹣5 B．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＞0）
C．y=﹣2x2﹣4x﹣5 D．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＜0）
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：抛物线y=2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，﹣3），且抛物线开口向下．
A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣4），A不符合题意；
B、抛物线开口向上，顶点坐标是（1，﹣3），B不符合题意；
C、抛物线开口向下，顶点坐标是（﹣1，﹣3），C不符合题意；
D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣3），C符合题意．
故答案为：D．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，根据a的值，可知抛物线开口向下，再根据所求二次函数与原二次函数有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，可知所求二次函数顶点坐标为（1，﹣3）且开口向下，即可得出答案。
10．如果抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，12），（0，5）和（2，﹣3），则a+b+c的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．1
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
所以a+b+c=1﹣6+5=0
故答案为：C．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，即可得出a+b+c的值。
二、填空题
11．经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 ．
【答案】y=﹣ x2+ x+3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣ ，
则抛物线解析式为y=﹣ （x+2）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3，
故答案为y=﹣ x2+ x+3．
【分析】观察已知点的坐标特点，其中两点是图像与x轴的两交点坐标，因此设函数解析式为交点式即y=a（x+2）（x﹣4），再将点C的坐标代入即可得出答案。
12．（2017九上·南平期末）抛物线y=x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
则抛物线的解析式是 ．
【答案】y=x2﹣4x+3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将x=0、y=3代入y=x2+bx+c，得：c=3，
由表可知，抛物线的对称轴x=﹣ =2，
解得：b=﹣4，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3，
故答案为：y=x2﹣4x+3．
【分析】将x=0、y=3代入解析式求得c，再根据抛物线的对称轴x=﹣ =2可得b，即可得抛物线的解析式．
13．若一个二次函数的二次项系数为﹣1，且图象的顶点坐标为（0，﹣3）．则这个二次函数的表达式为
【答案】y=﹣x2﹣3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：图象顶点坐标为（0，﹣3），
可以设函数解析式是y=ax2﹣3，
又∵二次函数的二次项系数为﹣1，
∴a=﹣1，
因而解析式是：y=﹣x2﹣3，
故答案为y=﹣x2﹣3．
【分析】已知顶点坐标利用顶点式求解比较简单．
14．（2016·西安模拟）已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=﹣3，此二次函数的解析式为 ．
【答案】y=﹣（x+7）（x﹣1）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵该函数图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=﹣3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标是（0，﹣7）、（0，1）．
故设该抛物线解析式为y=a（x+7）（x﹣1）（a≠0）．
把顶点（﹣3，4）代入得到：4=a（﹣3+7）（﹣3﹣1），
解得a=﹣1．
则该二次函数解析式为：y=﹣（x+7）（x﹣1）．
故答案是：y=﹣（x+7）（x﹣1）．
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两个交点坐标，然后把顶点坐标（﹣3，4）代入函数解析式y=a（x+7）（x﹣1）求得系数a的值．
15．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线x=2；
乙说：与x轴的两个交点距离为6；
丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足
上述全部条件的一条抛物线的解析式： ．
【答案】y=﹣ （x﹣2）2+3或y= （x﹣2）2﹣3．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意得：抛物线与x轴的两个交点的坐标为（﹣1，0），（5，0），顶点坐标为（2，3）或（2，﹣3），
设函数解析式为y=a（x﹣2）2+3或y=a（x﹣2）2﹣3；
把点（5，0）代入y=a（x﹣2）2+3得a=﹣ ；
把点（5，0）代入y=a（x﹣2）2﹣3得a= ；
∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为y=﹣ （x﹣2）2+3或y= （x﹣2）2﹣3．
【分析】根据对称轴是直线x=2，与x轴的两个交点距离为6，所以与x轴的两个交点的坐标为（-1，0），（5，0），再根据顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，可得顶点的纵坐标为±3，得顶点坐标为（2，3）或（2，-3），然后利用顶点式求得抛物线的解析式即可。
16．如图，边长为1的正方形ABCO，以A为顶点，且经过点C的抛物线与对角线交于点D，点D的坐标为 ．
【答案】（ ， ）
【知识点】正方形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：A的坐标是（1，0）、C坐标是（0，1），设出解析式是y=a（x﹣1）2，把C的坐标代入得：a（﹣1）2=1，
解得：a=1，
则抛物线的解析式是：y=（x﹣1）2；
∵B的坐标是（1，1），
设OB解析式的解析式是y=kx，则k=1，则OB的解析式是y=x．
根据题意得： ，
解得： （舍去），或 ．
则D的坐标是：（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
【分析】根据图形首先求得A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式和直线OB的解析式，然后两函数解析式联立组成的方程组即可求解。
三、解答题
17．已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积．
【答案】（1）解：把A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c得：
，
解得： ，
则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3
（2）解：把x=﹣2代入抛物线解析式得：y=5，即D（﹣2，5），
∵A（3，0），即OA=3，
∴S△AOD= ×3×5=
【知识点】三元一次方程组解法及应用；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，设函数解析式为一般形式，再将点的坐标代入函数解析式，建立方程组，即可求出答案。
（2）先将x=-2代入函数解析式求出对应的函数值，就可得出点D的坐标，再结合点A的坐标，根据三角形的面积公式，即可得出答案。
18．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
（1）求该函数的表达式；
（2）当y＜5时，x的取值范围是 ．
【答案】（1）解：由题意得图象的顶点坐标为（2，1），设函数的表达式为y=a（x﹣2）2+1．由题意得函数的图象经过点（0，5），所以5=a （﹣2）2+1．所以a=1．
所以函数的表达式为y=（x﹣2）2+1（或y=x2﹣4x+5）；
（2）0＜x＜4
【知识点】函数的表示方法；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（2）由所给数据可知当x=2时，y有最小值1，
∴二次函数的对称轴为x=2，
又由表格数据可知当y＜5时，对应的x的范围为0＜x＜4，
故答案为：0＜x＜4．
【分析】（1）观察表中点的坐标特点，可知图像的顶点坐标为（2，1），因此设函数解析式为顶点式，再代入除顶点外的一点坐标即可求出函数解析式。
（2）由表格中的数据可知当y＜5时，对应的x的范围为0＜x＜4。
1 / 12017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：2.3.2 确定二次函数的表达式
一、选择题
1．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2
C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2
2．二次函数图象如图所示，则其解析式是（ ）
A．y=﹣x2+2x+4 B．y=x2+2x+4
C．y=﹣x2﹣2x+4 D．y=﹣x2+2x+3
3．过点（1，0），B（3，0），C（﹣1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1， ）
C．（﹣1，5） D．（2， ）
4．如图，抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），与y轴交于点（0，﹣3）则此抛物线对此函数的表达式为（ ）
A．y=x2+2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=x2+2x﹣3
5．（2016九上·独山期中）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（ ）
A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2
C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2
6．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+5x+4﹣a2的图象，那么a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．±2
7．由表格中信息可知，若设y=ax2+bx+c，则下列y与x之间的函数关系式正确的是（ ）
x ﹣1 0 1
ax2
1
ax2+bx+c 8 3
A．y=x2﹣4x+3 B．y=x2﹣3x+4 C．y=x2﹣3x+3 D．y=x2﹣4x+8
8．已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）
A．y=2x2+x+2 B．y=x2+3x+2 C．y=x2﹣2x+3 D．y=x2﹣3x+2
9．若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2﹣4x﹣1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（ ）
A．y=﹣x2+2x﹣5 B．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＞0）
C．y=﹣2x2﹣4x﹣5 D．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＜0）
10．如果抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，12），（0，5）和（2，﹣3），则a+b+c的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．1
二、填空题
11．经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 ．
12．（2017九上·南平期末）抛物线y=x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
则抛物线的解析式是 ．
13．若一个二次函数的二次项系数为﹣1，且图象的顶点坐标为（0，﹣3）．则这个二次函数的表达式为
14．（2016·西安模拟）已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=﹣3，此二次函数的解析式为 ．
15．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线x=2；
乙说：与x轴的两个交点距离为6；
丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足
上述全部条件的一条抛物线的解析式： ．
16．如图，边长为1的正方形ABCO，以A为顶点，且经过点C的抛物线与对角线交于点D，点D的坐标为 ．
三、解答题
17．已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积．
18．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
（1）求该函数的表达式；
（2）当y＜5时，x的取值范围是 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC=2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），
当C点坐标是（0，2）时，图象经过三点，可以设函数解析式是：y=ax2+bx+c，
把（2，0），（﹣1，0），（0，2）分别代入解析式，
得到： ，
解得： ，
则函数解析式是：y=﹣x2+x+2；
同理可以求得当C是（0，﹣2）时解析式是：y=x2﹣x﹣2．
故这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2或y=x2﹣x﹣2．
故选C．
【分析】首先由OC=2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后分别把A、B、C三点的坐标代入函数的解析式，用待定系数法求出．注意本题有两种情况．
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，所以B选项错误；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x=﹣＞0，
∴b＞0，所以C选项错误；
∵抛物线与y轴的交点为（0，4），
∴c=4，所以D选项错误．
故选A．
【分析】根据二次函数的性质，观察函数图象，利用开口方向可淘汰B，利用对称性可淘汰C，利用抛物线与y轴的交点坐标可淘汰D，从而得到A为正确选项．
3．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设抛物线为y=ax2+bx+c，把（1，0），B（3，0），C（﹣1，2）代入得，
解得 ，
∵﹣ =2， =﹣ ．
∴顶点坐标是（2， ）．
故答案为：D．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，即可得出顶点坐标。
4．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），
设此抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
又抛物线与y轴交于（0，﹣3），
把x=0，y=﹣3代入y=a（x+1）（x﹣3）得：﹣3=a（0+1）（0﹣3），
即﹣3a=﹣3，解得：a=1，
则抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．
故答案为：B．
【分析】根据抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），因此设函数解析式为交点式，即y=a（x+1）（x﹣3），再将（0，﹣3）代入计算即可。
5．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设这个二次函数的关系式为y=a（x+2）2﹣2，将（0，2）代入得
2=a（0+2）2﹣2
解得：a=1
故这个二次函数的关系式是y=（x+2）2﹣2，
故选D．
【分析】已知二次函数的顶点坐标，设顶点式比较简单．
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：根据图示知，二次函数y=ax2+5x+4﹣a2的图象经过原点（0，0），
∴0=4﹣a2，
解得，a=±2；
又∵该函数图象的开口方向向下，
∴a＜0，
∴a=﹣2．
故答案为：B．
【分析】观察图像可知抛物线过原点，因此将（0,0）代入函数解析式求出a的值，再根据抛物线的开口方向确定a的值即可。
7．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将x=1，ax2=1，代入y=ax2，得a=1．
将x=﹣1，a=1分别代入ax2+bx+c=8，得1﹣b+c=8，
将x=0，a=1分别代入ax2+bx+c=3，得c=3，
则b=﹣4，
∴函数解析式是：y=x2﹣4x+3．
故答案为：A．
【分析】先将（1，1）代入y=ax2中，求出a的值，再将x=-1，0时，函数y=ax2+bx+c的值分别为8，3代入函数解析式，列方程组求a、b、c的值即可。
8．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得：
，
解之得 ；
所以该函数的解析式是y=x2﹣3x+2．
故本题选D．
【分析】此题已知三点坐标，利用待定系数法求解即可。
9．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：抛物线y=2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，﹣3），且抛物线开口向下．
A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣4），A不符合题意；
B、抛物线开口向上，顶点坐标是（1，﹣3），B不符合题意；
C、抛物线开口向下，顶点坐标是（﹣1，﹣3），C不符合题意；
D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣3），C符合题意．
故答案为：D．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，根据a的值，可知抛物线开口向下，再根据所求二次函数与原二次函数有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，可知所求二次函数顶点坐标为（1，﹣3）且开口向下，即可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
所以a+b+c=1﹣6+5=0
故答案为：C．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，即可得出a+b+c的值。
11．【答案】y=﹣ x2+ x+3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣ ，
则抛物线解析式为y=﹣ （x+2）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3，
故答案为y=﹣ x2+ x+3．
【分析】观察已知点的坐标特点，其中两点是图像与x轴的两交点坐标，因此设函数解析式为交点式即y=a（x+2）（x﹣4），再将点C的坐标代入即可得出答案。
12．【答案】y=x2﹣4x+3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将x=0、y=3代入y=x2+bx+c，得：c=3，
由表可知，抛物线的对称轴x=﹣ =2，
解得：b=﹣4，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3，
故答案为：y=x2﹣4x+3．
【分析】将x=0、y=3代入解析式求得c，再根据抛物线的对称轴x=﹣ =2可得b，即可得抛物线的解析式．
13．【答案】y=﹣x2﹣3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：图象顶点坐标为（0，﹣3），
可以设函数解析式是y=ax2﹣3，
又∵二次函数的二次项系数为﹣1，
∴a=﹣1，
因而解析式是：y=﹣x2﹣3，
故答案为y=﹣x2﹣3．
【分析】已知顶点坐标利用顶点式求解比较简单．
14．【答案】y=﹣（x+7）（x﹣1）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵该函数图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=﹣3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标是（0，﹣7）、（0，1）．
故设该抛物线解析式为y=a（x+7）（x﹣1）（a≠0）．
把顶点（﹣3，4）代入得到：4=a（﹣3+7）（﹣3﹣1），
解得a=﹣1．
则该二次函数解析式为：y=﹣（x+7）（x﹣1）．
故答案是：y=﹣（x+7）（x﹣1）．
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两个交点坐标，然后把顶点坐标（﹣3，4）代入函数解析式y=a（x+7）（x﹣1）求得系数a的值．
15．【答案】y=﹣ （x﹣2）2+3或y= （x﹣2）2﹣3．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意得：抛物线与x轴的两个交点的坐标为（﹣1，0），（5，0），顶点坐标为（2，3）或（2，﹣3），
设函数解析式为y=a（x﹣2）2+3或y=a（x﹣2）2﹣3；
把点（5，0）代入y=a（x﹣2）2+3得a=﹣ ；
把点（5，0）代入y=a（x﹣2）2﹣3得a= ；
∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为y=﹣ （x﹣2）2+3或y= （x﹣2）2﹣3．
【分析】根据对称轴是直线x=2，与x轴的两个交点距离为6，所以与x轴的两个交点的坐标为（-1，0），（5，0），再根据顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，可得顶点的纵坐标为±3，得顶点坐标为（2，3）或（2，-3），然后利用顶点式求得抛物线的解析式即可。
16．【答案】（ ， ）
【知识点】正方形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：A的坐标是（1，0）、C坐标是（0，1），设出解析式是y=a（x﹣1）2，把C的坐标代入得：a（﹣1）2=1，
解得：a=1，
则抛物线的解析式是：y=（x﹣1）2；
∵B的坐标是（1，1），
设OB解析式的解析式是y=kx，则k=1，则OB的解析式是y=x．
根据题意得： ，
解得： （舍去），或 ．
则D的坐标是：（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
【分析】根据图形首先求得A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式和直线OB的解析式，然后两函数解析式联立组成的方程组即可求解。
17．【答案】（1）解：把A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c得：
，
解得： ，
则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3
（2）解：把x=﹣2代入抛物线解析式得：y=5，即D（﹣2，5），
∵A（3，0），即OA=3，
∴S△AOD= ×3×5=
【知识点】三元一次方程组解法及应用；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，设函数解析式为一般形式，再将点的坐标代入函数解析式，建立方程组，即可求出答案。
（2）先将x=-2代入函数解析式求出对应的函数值，就可得出点D的坐标，再结合点A的坐标，根据三角形的面积公式，即可得出答案。
18．【答案】（1）解：由题意得图象的顶点坐标为（2，1），设函数的表达式为y=a（x﹣2）2+1．由题意得函数的图象经过点（0，5），所以5=a （﹣2）2+1．所以a=1．
所以函数的表达式为y=（x﹣2）2+1（或y=x2﹣4x+5）；
（2）0＜x＜4
【知识点】函数的表示方法；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（2）由所给数据可知当x=2时，y有最小值1，
∴二次函数的对称轴为x=2，
又由表格数据可知当y＜5时，对应的x的范围为0＜x＜4，
故答案为：0＜x＜4．
【分析】（1）观察表中点的坐标特点，可知图像的顶点坐标为（2，1），因此设函数解析式为顶点式，再代入除顶点外的一点坐标即可求出函数解析式。
（2）由表格中的数据可知当y＜5时，对应的x的范围为0＜x＜4。
1 / 1
