2023-2024学年天津市耀华中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是( )
A. B. C. D.
2.为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为( )
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交
3.圆与圆的位置关系为
( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
4.空间四边形中，若向量，点，分别为线段，的中点，则的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
5.我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？( )
A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤
6.设是由正数组成的等比数列，为其前项和．已知，，则( )
A. B. C. D.
7.等比数列中，，公比，用表示它的前项之积，即，则数列中的最大项是( )
A. B. C. D.
8.已知数列的前项之和，则的值为( )
A. B. C. D.
9.以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，与轴交于，两点，若，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
10.对于实数，表示不超过的最大整数已知数列的通项公式，前项和为，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知离心率为的双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，则实数 ______ ．
12.直线：，：与圆：的四个交点把圆分成的四条弧长相等，则 ______ ．
13.已知数列满足，且，则______．
14.若数列的通项公式，则数列的前项的和 ______ ．
15.等差数列 中，是它的前项和，且，，则
此数列的公差
是各项中最大的一项
一定是中的最大值．
其中正确的是______ 填序号．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．
Ⅰ证明：；
Ⅱ求的长；
Ⅲ若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆的左、右焦点，，离心率为，点是椭圆上的动点，的最大面积是．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ圆经过椭圆的左右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，且，，三点共线，直线交椭圆于两点，，且．
求直线的斜率；
当的面积取到最大值时，求直线的方程．
18.本小题分
已知数列的首项为，对任意的，定义．
Ⅰ若，
求的值和数列的通项公式；
求数列的前项和；
Ⅱ若，且，，求数列的前项的和．
19.本小题分
已知数列中，，
求数列的通项；
求数列的前项和；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：易知点为，
因为直线的斜率是，
所以与直线垂直直线的斜率为，
所以要求直线方程是即．
故选C．
先求点坐标和与直线垂直直线的斜率，再由点斜式写出直线方程．
本题主要考查两直线垂直的条件和直线方程的点斜式，同时考查圆一般方程的圆心坐标．
2.【答案】
【解析】解：由圆的方程得到圆心坐标为，半径，
由为圆内一点得到：，
则圆心到已知直线的距离，
所以直线与圆的位置关系为：相离．
故选：．
由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为为圆内一点，所以到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，根据求出的不等式即可得到大于半径，得到直线与圆的位置关系是相离．
此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径，属于基础题．
求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．
【解答】
解：圆的圆心，半径．
圆的圆心，半径，
两圆的圆心距，
，，
，
所以两圆相交，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的线性运算、向量坐标运算，属于基础题．
点，分别为线段，的中点，为空间内任一点，可得，，，代入计算即可得出．
【解答】
解：，，
点，分别为线段，的中点，为空间内任一点，
，，，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由每一尺的重量构成等差数列，，，利用求和公式即可得出．
【解答】
解：由每一尺的重量构成等差数列，，，
该金锤共重斤．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：设由正数组成的等比数列的公比为，则，
由题意可得，解得，
，解得，或舍去，
，
故选：
由题意可得，再由可得，进而可得的值，由求和公式可得．
本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题设，
，
或时，取最大值，且时，；时，，
最大．
故选：．
确定数列的通项，求出，即可求得数列中的最大项．
本题考查等比数列的通项公式，考查学生的计算能力，属于基础题．此题若直接用列举法可很简明求解：，，，，，，，，，，当时，，又，，故最大．
8.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，，
故，
据通项公式得，
．
故选：．
首先运用求出通项，判断正负情况，再运用即可得到答案．
本题主要考查数列的通项与前项和之间的关系式，注意的情况，是一道基础题．
9.【答案】
【解析】解：设，
轴，，
，
，
，化简整理得，，
，，即，
，，解得或舍，
．
故选：．
把代入双曲线方程可得点的坐标，从而求得，再由，可推出，然后结合和，得解．
本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由题知，，
所以
，
当，时，，
当，，，，时，，
当，，，，时，，
当，，，，时，，
当，，，，时，，
所以．
故选：．
由，利用裂项相消法求得，再由的定义求解．
本题考查了裂项相消求和，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单性质、双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力，属于基础题．
先由双曲线的离心率求出的值，由此得到双曲线的左焦点，再求出抛物线的焦点坐标，利用它们重合，从而求出实数．
【解答】
解：双曲线的离心率为，
，
双曲线的左焦点是，
抛物线的焦点
．
故答案为：．
12.【答案】或
【解析】解：圆：，
则，
圆心，半径，
线：，：平行，且将原分成的四条弧长相等，
则，解得或，
故的值为或．
故答案为：或．
根据已知条件，先求出圆心、半径，再结合点到直线的距离公式，以及三角形的性质，列出方程组，即可求解
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查数列的求通项公式问题，所涉及的方法为叠乘法，属于基础题．
由于所给的递推公式条件是后项与前一项的比值，故可由此推导从第二项起每一项与它前一项的比值直至第项与第项，然后采用叠乘法通过，即可求出．
【解答】
解：由已知得，
，
，
，，
所以1
，
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：由题意，
所以数列的前项的和为．
故答案为：．
由题意用分组求和法即可得解．
本题考查了分组求和，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由，可得，
所以正确
，所以正确
由于，所以最大错误
由于，，最大，所以正确
故答案为：
由已知可得，；，，由于，所以最大，结合，，，可得最大；可得答案．
本题主要考查了等差数列的性质，通过对等差数列性质的研究，培养学生探索、发现的求知精神，养成探索、总结的良好习惯．
16.【答案】Ⅰ证明：底面，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
由题意，，，
，，
，，
，．
Ⅱ解：，
的长为．
Ⅲ解：，
，由点在棱上，设，，
，
，，解得，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
取平面的法向量，
则二面角的平面角满足：
，
二面角的余弦值为．
【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线线垂直、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是较难的题．
Ⅰ以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出
，，由，能证明．
Ⅱ由，能求出的长．
Ⅲ由，求出，进而求出平面的法向量和平面的法向量，由此利用向量法能求出二面角的余弦值．
17.【答案】解：Ⅰ由题意，，，
的最大面积为：，所以，
所以椭圆的方程为：；
Ⅱ 因为圆经过椭圆的左右焦点，
所以圆心在轴上，设点，
因为圆与椭圆在第一象限的交点为，所以，
因为，，三点共线，所以，
将点的坐标代入椭圆的方程可得，即 ，
所以直线的斜率为，
因为，所以直线的斜率也为，
设直线的方程为：，设，，
联立直线与椭圆的方程整理可得，
，，，
，
点到直线：的距离，
法一：所以，
当，及时面积最大，
所以面积最大时直线的方程为：；
法二：，
当且仅当，即时等号成立；
所以当，即时的面积最大，此时直线的方程为：．
【解析】Ⅰ由椭圆的离心率及三角形的周长可得，的值，再由，，之间的关系可得的值，进而求出椭圆的方程；
Ⅱ由题意可得圆的圆心在轴上，设的坐标，由，，三点共线可得的坐标，进而求出直线的斜率；
因为，所以直线的斜率也为，设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长的值，再求到弦的距离求出三角形的面积，由二次函数的单调性求出面积的最大值或者有均值不等式求出面积的最大值．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及面积公式和由二次函数的单调性求最大值问题，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ由题意，，
所以当，时，
，
又，
所以数列的通项公式为，
所以；
由得，
所以数列的前项和为
；
Ⅱ若，且，，
则，
所以数列是周期为的周期数列，且其前项分别为，它们的和为，
数列的前项的和为．
【解析】Ⅰ由累加法结合等差数列求和公式即可得解；直接由裂项相消法求和即可；
Ⅱ首项根据定义得出数列是周期为的周期数列，由此即可求解．
本题考查了累加法求通项和裂项相消法求和，属于中档题．
19.【答案】解：因为
所以，
两式相减得
所以，
因此数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列
所以，
故
由可知当时，
当时，，
，
两式相减得
又也满足上式，
，
等价于，
由可知当时，
设，
则，
，又及，
所求实数的取值范围为．
【解析】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要注意错位相减求和法和转化与化归思想的合理运用，属于较难题．
因为，由，得由此能够求出；
由可知当，当时，，由错位相减法得到，又因为也满足上式，所以．
等价于，当时，，设，则，由此能求出实数的取值范围．
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