福建省厦门市第六中学2023-2024学年高一（上）月考数学试卷（1月份）（含解析）

2023-2024学年福建省厦门六中高一（上）月考数学试卷（1月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.全称量词命题“，”的否定为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.设函数，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示则的解析式可能是( )
A.
B.
C.
D.
7.设函数的定义域为，且，当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设函数若关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各角与角终边相同的是( )
A. B. C. D.
10.已知是函数的零点其中为自然对数的底数，下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.若，满足，则( )
A. B. C. D.
12.已知定义域为的函数对任意实数，都有，且，，则以下结论一定正确的有( )
A. B. 是奇函数
C. 关于中心对称 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数是上的增函数，则的值为 ．
14.已知，则 ______ ．
15.若函数，对恒成立，则实数的取值范围为______ ．
16.已知扇形中，半径，圆心角为若要在扇形上截取一个面积为的矩形，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则的最小值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数，图象经过点，且．
求，的值；
判断并证明函数在区间上的单调性．
18.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
求函数的解析式；
求方程的解集．
19.本小题分
某同学用“五点法”作函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间．
求在区间上的最大值和最小值．
20.本小题分
流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究经过分钟菌落的覆盖面积为，经过分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积单位：与经过时间单位：的关系现有三个函数模型：，，可供选择参考数据：，
选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？结果保留到整数
21.本小题分
已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
求的解析式与单调递增区间；
已知在时，求方程的所有根的和．
22.本小题分
已知函数．
若时，求函数的定义域；
若函数有唯一零点，求实数的取值范围；
若对任意实数，对任意的、时，恒有成立，求正实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
，
所以．
故选：．
利用一元二次不等式解法解出集合，利用集合的交集运算求解即可．
本题考查了一元二次不等式的解法与集合运算问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：“，”的否定为：，．
故选：．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，，
又因为在上单调递增，
所以，
所以．
故选：．
运用对数运算公式化简，将、化为根式，由三角函数诱导公式可计算的值，进而可判断三者大小．
本题主要考查了三个数比较大小，考查了幂函数的单调性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．
本题考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：的定义域为，关于原点对称，
，
故为偶函数，
当时，，，即，
故，
令，
因为在上单调递增，
又因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
又为偶函数，故在上单调递减，
因为，
所以，解得．
故选：．
分析函数的奇偶性及在上的单调性，再求解不等式即可．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：对于，函数的定义域为，且，
则为偶函数，不合题意；
对于，函数的定义域为，不合题意；
对于，，不合题意．
故选：．
对于，由奇偶性可判断，对于，由定义域可判断，对于，由可判断，进而得出答案．
本题考查根据函数图象确定函数解析式，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：令，，
，又，
，，
令，，
，又，
，，
结合已知：，时，
，又，
对，时，，即随增大依次变小，
要使对任意都有，令，则且，
时，，且时，，
当时，令，
则，或，
综上，要使对任意都有，只需．
故选：．
根据题设得到：，时，，注意判断函数值的变化趋势，再求得的最大值，此时结合二次函数性质确定上对应值，即可得的范围．
本题考查分段函数解析式的求解，恒成立问题的求解，化归转化思想，分类讨论思想，属难题．
8.【答案】
【解析】解：作出函数的图象如图所示：
由图可知，，由，可得或，
所以，
又因为，
所以，
故，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选：．
根据题意，作出函数的图象，结合图象可得，，然后再由基本不等式，代入计算，即可得到结果．
本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想及基本不等式的应用，作出图象是关键，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：与终边相同的角构成的集合为，
当时，；
当时，．
故选：．
根据终边相同的角的定义判断即可．
本题主要考查终边相同的角的表示，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：函数在上单调递增，，，
而是方程的零点，因此，故A正确；
由得：，两边取对数得，故B正确；
因，且在上单调递增，则，故C正确；
当，，则，故D不正确．
故选：．
根据给定条件确定所在区间，再逐一分析各个选项，即可得到本题的答案．
本题主要考查函数的零点判定定理、命题真假的判断与应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，由可变形为，
，解得，当且仅当时，，
当且仅当时，，故A正确，B错误；
因为变形可得，
设，所以，
因此
，所以当时，即时，
此时，，取到最大值，故C错误．
由可变形为，解得，
当且仅当时取等号，故D正确．
故选：．
根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假，其中选项，利用三角换元及三角恒等变换进行求解．
本题主要考查了基本不等式及三角函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对，令可得，，
因为，
所以，
A正确；
对，因为，
所以不是奇函数，
B错误；
对，令，
则有，
所以，
所以关于中心对称，
C正确；
对，令可得，，
即，
所以函数是偶函数，
由关于中心对称，
可得，
结合函数为偶函数，可得，
所以函数的周期为，
令，
可得，
所以，
所以，
所以，
所以
，
D错误．
故选：．
令可得，即可判断选项A；根据奇函数的定义可判断选项B；利用对称性的定义，令，则有，即可判断选项C；利用函数的周期性即可判断选项D．
本题考查了函数的性质，重点考查了函数的奇偶性及周期性，属中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是中档题．
根据幂函数的定义得出，求出的值，再根据是上的增函数确定满足题意的值．
【解答】
解：函数是幂函数，则，
即，
解得或；
当时，不是上的增函数，不满足题意；
当时，是上的增函数，满足题意．
则的值为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由，得，
解得，
所以，
故答案为：．
利用两角和与差的三角函数公式求出，进行求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数公式，同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为函数的定义域为，
，，且，
则，
因为，所以，
又，
所以，即，故函数在上单调递增，
因为，
所以，
令，则，
所以不等式可化为，且对恒成立，
所以，
解得，
所以，实数的取值范围为．
故答案为：．
结合函数单调性，应用换元法转化为二次函数恒成立问题求解．
本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设，则，
，，
所以，
，
故，
解得；
当 时，．
故答案为：．
连接，设，求得，，代入四边形面积公式，求得的最小值，再由倍角公式求的最小值．
本题考查扇形面积公式的应用，考查三角函数求最值，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】解：因为的图象经过点，且，
所以，解得，
所以，；
由可知，
在区间上单调递增，
理由如下：
任取，，且，则
，
因为，，且，
所以，，，
所以，
所以，即，
所以在区间上单调递增．
【解析】由，列方程组可求出，的值；
根据函数单调性的定义可判断证明出在区间上的单调性．
本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
18.【答案】解：设，则，因为是定义在上的偶函数，
则，
所以；
令，则，
因为是定义在上的偶函数，所以，
所以或不合题意，舍去，
或，
或，
所以方程的解集为．
【解析】当，则，利用题中条件即可求得的表达式，最后写成分段函数的形式；
令，则，利用建立方程解出后，再解关于的方程即可．
本题主要考查了函数的解析式的求解，还考查了函数奇偶性的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由表格可知，，所以，
所以，，所以，，
由，得，
所以，
要求原函数的单调递减区间，只需，，
解得，，因为，
令，得；令，得，
所以所求的单调递减区间为，；
当时，，
因为在上单调递减，在上递增，
所以原函数的最小值为，又，，
所以的最大值为．
【解析】根据最低点的坐标求出的值，再利用最值点的横向距离求出周期，进而求出的值，然后结合复合函数同增异减求出的单调区间；
利用换元思想求出的最值．
本题考查三角函数的据图求式，以及单调区间、最值得求法问题，属于中档题．
20.【答案】解：因为的增长速度越来越快，
和的增长速度越来越慢，
所以应选函数模型．
由题意得，解得，
所以该函数模型为；
由题意得，即，
所以，
又，
所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过．
【解析】根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择，并求出解析式；
根据题意，，求出的取值范围，进而得出结果．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：，
又图象的相邻两对称轴间的距离为，
则的最小正周期为，得，
又为奇函数，则，，
又，得，
所以的解析式为，
令，解得，
所以函数的递增区间为．
结合有，
又，则，则，所以，
又，
解得或，即或，
当时，或或，解得或或；
当时，根据图象可得有两个不同的根，不妨记为，，
则，所以，
综上知，在时，方程的所有根的和为．
【解析】先根据二倍角公式及辅助角公式化简整理得到，再根据函数的周期性及奇偶性即可求出和，从而得到的解析式，进而利用整体代换即可求出其单调递增区间；
先解方程得或，即或，利用正弦函数的图象及性质即可求解．
本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
22.【答案】解：时，，
要使函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为；
函数有唯一零点，
即有唯一零点，
即有唯一零点，
当时，，解得，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，其，
当时，，方程有两个相等的实数根，，符合题意；
当时，，方程有两个不相等的实数根，，，
若为方程的解，则，解得；
若为方程的解，则，解得；
要使方程有唯一实数解，则，
综上，实数的取值范围为，；
由于的内部函数为减函数，外部函数为增函数，
由复合函数的单调性知，为上的减函数，
故，，
任意的、，不等式恒成立，
可转化为：，
可等价转化为，
令，，则．
二次函数的对称轴方程为，由，开口向上，
当时，，函数在上单调递减，，解得，不符合题意，舍去；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
，即，
解得，取交集得；
当时，，函数在上单调递增，
，
解得，取交集；
综上，正实数的取值范围为，即．
【解析】本题考查函数的定义域，函数的零点问题，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查逻辑思维能力与综合运算能力，属于较难题．
时，要使函数有意义，解不等式即可求得的定义域；
函数有唯一零点，可等价转化为有唯一零点，分与两类讨论，即可求得实数的取值范围；
依题意，、，不等式恒成立，令，，则求得二次函数的对称轴方程为，由，开口向上，利用二次函数的单调性，对分类讨论，可求得正实数的取值范围．
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