红山区学年度第一学期学情检测试卷
高一年级 数学（卷）
注意事项：
1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，请将第Ⅰ卷选择题的答案用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；请将第Ⅱ卷的答案用黑色中性笔答在答题卡指定答题区域内，在本试卷上答题无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留。
2.所有同学们答卷时请注意：
（1）题号后标注学校的，相应学校的学生解答；
（2）没有标注学校的题所有学生均需解答。
3.本试卷共分，考试时间分钟。
第I卷（选择题 共分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
2.下列图象中，不是函数图象的是（ ）
3.已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
4.设，则“”是”的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
5.命题“，”的否定是（ ）
6.若函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
7.若，，则（ ）
8.（四中）已知，，且，则的最小值是（ ）
8.（实验）已知，，则的最小值为（ ）
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列函数的图象过定点的有（ ）
10.已知实数满足，且，则下列式子一定成立的是（ ）
11.若函数在上单调递增，则的取值可以是（ ）
12.（四中）下列说法中正确为（ ）
已知函数，若，有成立，则实数的值为
若关于的不等式恒成立，则的取值范围为
设集合，则“”是“”的充分不必要条件
函数与函数是同一个函数
12.（实验）下列命题中，正确的有（ ）
函数与函数表示同一函数
已知函数，若，则
若函数，则
若函数的定义域为，则函数的定义域为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算 。
14.函数，则= 。
15.“成立”为真命题，则实数的取值范围 。
16.（四中）已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，且，都有成立，，则不等式的解集为 。
16.(实验)已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 。
四、解答题：写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共分。
17.(本题满分分)
某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为,深为.如果池底每平方米造价为元，池壁每平方米的造价为元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
18.(本题满分分）
已知集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
19.(本题满分分）
已知
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）在下面坐标系中画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）.
20.(本题满分分）
已知函数的图像经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并证明．
21.(本题满分分）
已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立.
(1)证明函数是上的减函数；
(2)若，求的取值范围.
22.（四中）(本题满分分）
已知函数在区间上的最大值为，最小值 ．
(1)求实数的值；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
22.（实验）(本题满分12分）
已知函数.
(1)解不等式
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.赤峰市红山区2023-2024学年第一学期期末考试
高一数学 答案解析
注意事项：
1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，请将第Ⅰ卷选择题的答案用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；请将第Ⅱ卷的答案用黑色中性笔答在答题卡指定答题区域内，在本试卷上答题无效．考试结束后， 将答题卡交回，试卷自行保留．
2.所有同学们答卷时请注意：
⑴题号后标注学校的，相应学校的学生解答；
⑵没有标注学校的题所有学生均需解答.
3.本试卷共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题 共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A＝{0,2}，B＝{－2,－1,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{1,2}
C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
A [由题意知A∩B＝{0,2}．]
2. 下列图象中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
3. 已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（8）的值为（ ）
A． B．
C．2 D．8
【答案】C
4. 设x∈R，则“x<－1”是“|x|>1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为x<－1 |x|>1，而|x|>1 x<－1或x>1，故“x<－1”是“|x|>1”的充分不必要条件．
5. 命题“ x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是( )
A． x∈R，x2－2x－3≤0
B． x∈R，x2－2x－3≥0
C． x∈R，x2－2x－3>0
D． x∈R，x2－2x－3>0
[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“ ”改为“ ”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“>”．故选D.
6. 若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【详解】因为为奇函数，且当时，，
所以当时，，
所以.
故选：C
7. 若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用指数、对数函数单调性，结合“媒介数”比较大小即可.
【解答】依题意，，，即，
而，所以.
故选：C
8.（四中）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．18 B．16 C．10 D．4
【答案】B
【分析】先利用对数运算得，然后利用“1”的代换求解最小值.
【详解】因为，，且，所以，
所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是16.
8.（实验）已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当即，时，有最小值.故选：B.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列函数的图象过定点的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
10. 已知实数a，b，c满足aA． B．
C． D．ac（a-c）>0
【答案】BD
【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意知，实数满足且，可得不确定，
对于A中，当时，，所以A不正确；
对于B中，由，可得，所以B正确；
对于C中，由，因为的符号不确定，所以C不正确；
对于D中，由，可得，所以D正确.
故选：BD.
11. 若函数在上单调递增，则的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】BC
【解析】因为当时，函数为单调递增函数，
又函数在上是单调函数，则需满足，解得，
所以实数的范围为，
所以满足范围的选项是选项BC
12.（四中）下列说法中正确为（ ）
A．已知函数，若，有成立，则实数a的值为4
B．若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为
C．设集合，则“”是“”的充分不必要条件
D．函数与函数是同一个函数
【答案】AC
【详解】对于A：由成立，可得函数的对称轴为，
又二次函数的对称轴为，
所以，解得，故A正确；
对于B：当时，可得成立，满足题意，
当时，可得，解得，
综上k的取值范围为，故B错误；
对于C：当时，，所以，充分性成立，
若，则或，解得或，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：函数定义域为R，函数的定义域为，
定义域不同，故不是同一函数，故D错误，
故选：AC.
12.（实验）下列命题中，正确的有（ ）
A．函数与函数表示同一函数
B．已知函数，若，则
C．若函数，则
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
【解答过程】解：的定义域是， 的定义域是 或，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误;
函数，若，则所以，故B正确；
若函数，则，故C正确；
若函数的定义域为，则函数中，，所以，即函数的定义域为，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
【答案】1
14.函数，则= .
【答案】
15.“ x∈[﹣1，2]，x2≥a成立”为真命题，则实数a的取值范围 ________ ．
【解答】解：“ x∈[﹣1，2]，x2﹣a≥0成立”为真命题，
则a≤x2在x∈[﹣1，2]上恒成立，
因为x∈[﹣1，2]，所以x2∈[0，4]，所以a≤0，
答案：a≤0
16.（四中）已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为______________．
答案：
16.(实验)已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为______________．
【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称，
又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，
由，知，作出函数的大致图象，如下：
由图可知，当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以不等式的解集为.
四、解答题：写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分.
17.(本题满分10分)
某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800,深为3m.如果池底每平方米造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
18.(本题满分12分）
已知集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2)或
（1）
当时，集合，或，
．
（2）
若，则，
①当时，；
②，则且，.
综上所述，或．
19.(本题满分12分）
已知
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）在下面坐标系中画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）.
【详解】（1）奇函数，证明略
（2）的图像为：
单调递增区间为：，，
单调递减区间为：，.
20.(本题满分12分）
已知函数的图像经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并证明．
【解析】（1）由题意知函数的图像经过点，
故，解得，
故；
（2）函数在上单调递减；
证明：设，且，
则
，
因为，故，
即，故函数在上单调递减.
21.(本题满分12分）
已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立.
(1)证明函数y＝f(x)是R上的减函数；
(2)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范围.
【解析】（1）证明 设x1>x2，则x1－x2>0，
∴f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)
又当x>0时，f(x)<0恒成立，所以，即f(x1)∴函数y＝f(x)是R上的减函数.
（2）由f(x2－2)＋f(x)<0且f(0)＝0及f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(x2－2＋x)又y＝f(x)在R上是减函数，所以x2－2＋x>0，解得x>1或x<－2.
故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).
22.（四中）(本题满分12分）
已知函数在区间上的最大值为2，最小值为 ．
(1)求实数a，b的值；
(2)若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）,令，设，，
∵，对称轴为，∴在上单调递增，
则 即 解得，
∴实数a的值为1，b的值为0．
（2）由，得，
令，则，，
当时，恒成立，即；
当时，，
令，则只需，
由于均为上的单调递增函数，所以，在上单调递增，
∴，∴，
综上，实数k的取值范围为．
22.（实验）(本题满分12分）
已知函数.
(1)解不等式
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
【详解】（1）
（2），
因为对任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
