湘教版九年级数学上册 4.1.3 余弦 同步练习
一、选择题
1．在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，则cosA的值等于（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】①当AB为斜边，∠C=90°，
.
②当AC为斜边，∠B=90°，
由勾股定理得：
综上所述，cosA的值等于 或 。
故答案为：C。
【分析】根据AC和BC分别为斜边的情况下，可根据三角函数求出余弦值。
2．（2018九上·内乡期末）已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sinα=cos60°= ，
∴α=30°．
故答案为：A．
【分析】利用特殊角的三角函数值，就可求出锐角α的值。
3．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，BC=5，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠A=90°，AB=4，BC=5，
∴cosB= ，
故答案为：A．
【分析】根据三角函数可求出余弦值。
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（ ）个。
① ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴cosA= = = ，
故①、②、④正确．
故答案为：C．
【分析】根据三角函数余弦值的定义，可选出符合题意的选项。
5．关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）= （1﹣tanαtanβ≠0），
合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°=sin（30°+60°）=sin30°cos60°+cos30°sin60°= =1。
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°= ，②tan105°=﹣2﹣ ，③sin15°= ，④cos90°=0.
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】①sin105°=sin（45°+60°）
=sin60°cos45°+cos60°sin45°
= × + ×
= ，故①正确；
②tan105°=tan（60°+45°）
=
=
=
=﹣2﹣ ，故②正确；
③sin15°=sin（60°﹣45°）
=sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
= × ﹣ ×
= ，故③正确；
④cos90°=cos（45°+45°）
=cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
= × ﹣ ×
=0，故④正确；
故正确的有4个．
故答案为：D．
【分析】根据三角函数的值，利用公式进行化简计算，可得出正确的选项。
二、填空题
6．计算：2cos45°= ．
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】原式=2× = ．
故答案为： .
【分析】根据特殊角的余弦值，可求出结果。
7．（2018九上·定安期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cos A= ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示，
∵∠C=90°，AB=10，BC=8，
由勾股定理得，AC＝ ，
∴cosA= = = .
故答案为： .
【分析】利用三角函数的定义进行计算即可，由勾股定理先求出AC的长，再利用∠A的余弦函数进行计算。
8．求值：sin260°+cos260°= ．
【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】原式=（ ）2+（ ）2=1．
故答案为：1．
【分析】将三角形特殊角的函数值代入，可求出结果。
9．在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则cosA的值是 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD= AB，
∵CD=4，
∴AB=8，
∵AC=6，
∴cosA= = = ，
故答案为： .
【分析】根据三角函数的余弦值是邻边与斜边的比值，可求出结果。
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=BC，则cos∠B= ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】设AD=BC=x，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ABC∽△CBD，
∴ = ，即 = ，
∴BD= x（负根已经舍弃），
∴cos∠B= = ．
故答案为： .
【分析】根据三角函数中余弦为邻边与斜边的比值可求出结果。
三、解答题
11．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，求∠B的余弦值．
【答案】解：如图，
在Rt△ABC中，∵BC=2、AC=4，
∴AB= = =2 ，
则cosB= = = ．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据勾股定理可解出AB的长度，根据三角函数的余弦值为邻边与斜边的比值，可求出结果。
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值．
【答案】解：∵∠C=90°，MN⊥AB，
∴∠C=∠ANM=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴ = = ，
设AC=3x，AB=4x，
由勾股定理得：BC= = x，
在Rt△ABC中，cosB= = = .
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据相似三角形的性质，可利用勾股定理，解出BC的长度，根据余弦为邻边与斜边的比值，可求出结果。
13．计算： ﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）
【答案】解: 原式= ﹣ （ ﹣ ）
= ﹣
=
=
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】把45°、30°、60°的相应三角函数值代入，再根据二次根式的加减计算即可得.
14．规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx cosy+cosx siny．据此
（1）判断下列等式成立的是 （填序号）．
①cos（﹣60°）=﹣ ；②sin2x=2sinx cosx；③sin（x﹣y）=sinx cosy﹣cosx siny．
（2）利用上面的规定求①sin75°，②sin15°．
【答案】（1）②③
（2）解：①sin75°=sin（30°+45°）
=sin30° cos45°+cos30° sin45°
= × + ×
= +
= ；
②sin15°=sin（45°﹣30°）
=sin45° cos30°﹣cos45° sin30°
= × ﹣ ×
= ．
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】①cos（﹣60°）=cos60°= ，错误；
②sin2x=sinx cosx+cosx sinx=2sinx cosx，正确；
③sin（x﹣y）=sinx cos（﹣y）+cosx sin（﹣y）=sinx cosy﹣cosx siny，正确．
故答案为：②③。
【分析】（1）根据三角函数的特殊角的值，可代入求出等式的值。
（2）根据新定义，可解出75°和15°的正弦值。
1 / 1湘教版九年级数学上册 4.1.3 余弦 同步练习
一、选择题
1．在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，则cosA的值等于（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
2．（2018九上·内乡期末）已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
3．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，BC=5，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（ ）个。
① ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）= （1﹣tanαtanβ≠0），
合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°=sin（30°+60°）=sin30°cos60°+cos30°sin60°= =1。
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°= ，②tan105°=﹣2﹣ ，③sin15°= ，④cos90°=0.
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．计算：2cos45°= ．
7．（2018九上·定安期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cos A= ．
8．求值：sin260°+cos260°= ．
9．在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则cosA的值是 ．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=BC，则cos∠B= ．
三、解答题
11．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，求∠B的余弦值．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值．
13．计算： ﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）
14．规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx cosy+cosx siny．据此
（1）判断下列等式成立的是 （填序号）．
①cos（﹣60°）=﹣ ；②sin2x=2sinx cosx；③sin（x﹣y）=sinx cosy﹣cosx siny．
（2）利用上面的规定求①sin75°，②sin15°．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】①当AB为斜边，∠C=90°，
.
②当AC为斜边，∠B=90°，
由勾股定理得：
综上所述，cosA的值等于 或 。
故答案为：C。
【分析】根据AC和BC分别为斜边的情况下，可根据三角函数求出余弦值。
2．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sinα=cos60°= ，
∴α=30°．
故答案为：A．
【分析】利用特殊角的三角函数值，就可求出锐角α的值。
3．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠A=90°，AB=4，BC=5，
∴cosB= ，
故答案为：A．
【分析】根据三角函数可求出余弦值。
4．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴cosA= = = ，
故①、②、④正确．
故答案为：C．
【分析】根据三角函数余弦值的定义，可选出符合题意的选项。
5．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】①sin105°=sin（45°+60°）
=sin60°cos45°+cos60°sin45°
= × + ×
= ，故①正确；
②tan105°=tan（60°+45°）
=
=
=
=﹣2﹣ ，故②正确；
③sin15°=sin（60°﹣45°）
=sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
= × ﹣ ×
= ，故③正确；
④cos90°=cos（45°+45°）
=cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
= × ﹣ ×
=0，故④正确；
故正确的有4个．
故答案为：D．
【分析】根据三角函数的值，利用公式进行化简计算，可得出正确的选项。
6．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】原式=2× = ．
故答案为： .
【分析】根据特殊角的余弦值，可求出结果。
7．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示，
∵∠C=90°，AB=10，BC=8，
由勾股定理得，AC＝ ，
∴cosA= = = .
故答案为： .
【分析】利用三角函数的定义进行计算即可，由勾股定理先求出AC的长，再利用∠A的余弦函数进行计算。
8．【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】原式=（ ）2+（ ）2=1．
故答案为：1．
【分析】将三角形特殊角的函数值代入，可求出结果。
9．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD= AB，
∵CD=4，
∴AB=8，
∵AC=6，
∴cosA= = = ，
故答案为： .
【分析】根据三角函数的余弦值是邻边与斜边的比值，可求出结果。
10．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】设AD=BC=x，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ABC∽△CBD，
∴ = ，即 = ，
∴BD= x（负根已经舍弃），
∴cos∠B= = ．
故答案为： .
【分析】根据三角函数中余弦为邻边与斜边的比值可求出结果。
11．【答案】解：如图，
在Rt△ABC中，∵BC=2、AC=4，
∴AB= = =2 ，
则cosB= = = ．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据勾股定理可解出AB的长度，根据三角函数的余弦值为邻边与斜边的比值，可求出结果。
12．【答案】解：∵∠C=90°，MN⊥AB，
∴∠C=∠ANM=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴ = = ，
设AC=3x，AB=4x，
由勾股定理得：BC= = x，
在Rt△ABC中，cosB= = = .
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据相似三角形的性质，可利用勾股定理，解出BC的长度，根据余弦为邻边与斜边的比值，可求出结果。
13．【答案】解: 原式= ﹣ （ ﹣ ）
= ﹣
=
=
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】把45°、30°、60°的相应三角函数值代入，再根据二次根式的加减计算即可得.
14．【答案】（1）②③
（2）解：①sin75°=sin（30°+45°）
=sin30° cos45°+cos30° sin45°
= × + ×
= +
= ；
②sin15°=sin（45°﹣30°）
=sin45° cos30°﹣cos45° sin30°
= × ﹣ ×
= ．
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】①cos（﹣60°）=cos60°= ，错误；
②sin2x=sinx cosx+cosx sinx=2sinx cosx，正确；
③sin（x﹣y）=sinx cos（﹣y）+cosx sin（﹣y）=sinx cosy﹣cosx siny，正确．
故答案为：②③。
【分析】（1）根据三角函数的特殊角的值，可代入求出等式的值。
（2）根据新定义，可解出75°和15°的正弦值。
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