2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是 的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
2．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
3．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A．2 cm B．4 cm
C．2 cm或4 cm D．2 cm或4 cm
4．（2018·荆州）如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
6．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（ ）
A． B． C． D． R
7．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2 B．﹣2
C．﹣2 2 D．﹣2 ＜b＜2
8．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．9
9．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y= 上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
10．（2018·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
11．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是 的一点，则∠CPD的度数是（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
12．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交 于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作 交OB于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． + B． +2 C． + D．2 +
二、填空题
13．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（1） 同步练习）已知 的半径为 ， ， 是 的两条弦， ， ， ，则弦 和 之间的距离是 ．
14．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA= ．
15．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC= ．
16．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．
17．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为 ．
18．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以
OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题
19．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求 的长．
20．（2018九上·乌鲁木齐期末）如图，点 在⊙ 的直径 的延长线上，点 在⊙ 上， ， ．
（1）求证： 是⊙ 的切线；
（2）若⊙ 的半径为 ，求图中阴影部分的面积．
21．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上．
（1）求证：AE=AB．
（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB= ，BE=2，求BC的长．
22．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）求tan∠E的值．
23．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．
24．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上， = ，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若cos∠ABE= ，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
25．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为 时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为 时，四边形ECOG为正方形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵点B是 的中点，
∴∠AOB= ∠AOC=70°，
由圆周角定理得，∠D= ∠AOB=35°，
故答案为：D．
【分析】连接OB，根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOB= ∠AOC=70°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠D的度数。
2．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH= OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH= = ，
∴CD=2CH=2 ．
故答案为：C．
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理得出HC=HD，在Rt△OPH中，根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出OH= OP=1，在Rt△OHC中，根据勾股定理算出CH的长，从而得出答案。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM= AB= ×8=4（cm），OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM= = =3（cm），
∴CM=OC+OM=5+3=8（cm），
∴AC= = =4 （cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2（cm），
在Rt△AMC中，AC= = =2 （cm）．
故答案为：C．
【分析】连接AC，AO，根据垂径定理得出AM= AB= ×8=4（cm），当C点位置如图1所示时，根据勾股定理算出OM的长，由CM=OC+OM算出CM的长，再根据勾股定理即可算出AC的长；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，CM=OC-OM算出CM的长，再根据勾股定理即可算出AC的长，综上所述即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AO=8，BO=6，
∵∠BOA=90°，
∴AB= =10，则⊙P的半径为5，
∵PE⊥BO，
∴BE=EO=3，
∴PE= =4，
∴ED=9，
∴tan∠BOD= =3，
故答案为：B．
【分析】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，在Rt△AOB中，利用勾股定理算出AB的长，即可得出该圆的半径，根据垂径定理得BE=EO=3，再根据勾股定理算出PE的长，从而得出ED的长，最后根据正切函数的定义即可算出答案。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN= DE=2，
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故答案为：D．
【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．根据矩形的性质得出GF=DE，MN=EF，根据同圆的半径相等得出MP=FN= DE=2，根据线段的和差，由NP=MN﹣MP=EF﹣MP得出NP的长，根据勾股定理及等式的性质即可由PF2+PG2=2PN2+2FN2算出答案。
6．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，
则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，
∴∠CBD=30°，
∵BD=2R，
∴DC=R，
∴BC= R，
故答案为：D．
【分析】延长BO交⊙O于D，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠BCD=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠A=60°，根据三角形的内角和得出∠CBD=30°，最后根据含30°直角三角形的边之间的关系即可得出BC= R。
7．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB= OC=2 ．即b=2 ；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2 ＜b＜2 ．
故答案为：D．
【分析】当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．根据直线与坐标轴交点的坐标特点即可求出A、B两点的坐标，从而求出OA，OB的长，判断出△OAB是等腰直角三角形．连接圆心O和切点C．根据切线的性质得出OC的长，然后滚局等腰直角三角形的性质得出OB= OC=2 ．即b=2 ；同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ．进而求出b的取值范围。
8．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
故BP=6﹣3=3．
故答案为：A．
【分析】连接OA，根据切线垂直于经过切点的半径得出∠OAP=90°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出OP的长，最后根据BP=OP-OB即可算出答案。
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，直线y= x+2 与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
当x=0时，y= x+2 =2 ，则D（0，2 ），
当y=0时， x+2 =0，解得x=﹣2，则C（﹣2，0），
∴CD= =4，
∵ OH CD= OC OD，
∴OH= = ，
连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴PA= = ，
当OP的值最小时，PA的值最小，
而OP的最小值为OH的长，
∴PA的最小值为 = ．
故答案为：D．
【分析】如图，直线y= x+2 与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，根据直线与坐标轴交点的坐标特点即可求出C，D两点的坐标，根据勾股定理即可算出CD的长，再根据三角形的面积法，由 OH CD= OC OD，算出OH的长，连接OA，如图，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得出OA⊥PA，根据勾股定理表示出PA的长，当OP的值最小时，PA的值最小，而OP的最小值为OH的长，从而得出答案。
10．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形内心的定义得出∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，根据三角形的内角和得出∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB），根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出答案。
11．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD= =72°，
∴∠CPD= ∠COD=36°，
故答案为：B．
【分析】如图，连接OC，OD．根据正五边形的性质算出其中心角∠COD的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可算出∠CPD的度数。
12．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴EO=2OC，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE= = ，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
= ﹣ ﹣（ ﹣ ）
=4π﹣π﹣ +2
= +2
故答案为：B．
【分析】连接OE、AE，根据含30°直角三角形的边之间关系的逆用得出∠CEO=30°，进而根据三角形的内角和得出∠EOC=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△AEO为等边三角形，然后根据扇形面积计算公式算出S扇形AOE，最后根据S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）即可算出答案。
13．【答案】2或14
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AF=8cm，CE=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OF=6cm，OE=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm．
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为：2或14
【分析】由题意可知弦AB和CD的位置有两种情况：
①当弦AB和CD在圆心同侧，连接OA、OC，作OFCD交CD与F、AB于E，根据AB∥CD可得OEAB，由垂径定理可得AE=AB，CF=CD，解直角三角形OAE和直角三角形OCF可求得OE和OF的长，则两弦之间的距离=OF-OE即可求解；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，方法同①可求得OE和OF的长，则两弦之间的距离=OF+OE即可求解。
14．【答案】30°
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵点C是半径OA的中点，
∴OC= OD，
∵DE⊥AB，
∴∠CDO=30°，
∴∠DOA=60°，
∴∠DFA=30°，
故答案为：30°
【分析】根据含30°直角三角形的边之间关系的逆用得出∠CDO=30°，根据三角形的内角和得出∠DOA=60°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠DFA的度数。
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴AB=AD÷cos30°=4 ，
∴AC=AB cos60°=2 ，
故答案为2 ．
【分析】连接BD．根据直径所对的圆周角是直角得出∠C=∠D=90°，根据角平分线的定义得出∠DAB=30°，根据余弦函数的定义，由AB=AD÷cos30°算出AB的长，由AC=AB cos60°即可算出AC的长。
16．【答案】3或4
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=x．
在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，
∴x2=42+（8﹣x）2，
∴x=5，
∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM=PK=CD=2BM，
∴BM=4，PM=8，
在Rt△PBM中，PB= =4 ．
综上所述，BP的长为3或4 ．
【分析】如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=x．在Rt△PBM中，根据勾股定理建立方程，求解即可算出PC的长，进而根据BP=BC﹣PC算出BP的长；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形，根据同圆的半径相等得出PM=PK=CD=2BM，在Rt△PBM中，根据勾股定理算出PB的长，综上所述即可得出答案。
17．【答案】 或
【知识点】切线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴ = ，
∴ = ，
∴r= ．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，
∴A′T= ，
∴r= A′T= ．
综上所述，⊙P的半径为 或 ．
【分析】如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．根据平行线分线段成比例定理得出=根据比例式建立方程即可算出该圆的半径；如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，首先证出△A′BT∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出=，根据比例式即可算出A′T的长，进而求出该圆的半径，综上所述即可得出答案。
18．【答案】 ﹣ π
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠COF=120°，
∵OA=2，
∴扇形OGF的面积为： =
∵OA为半径的圆与CB相切于点E，
∴∠OEC=90°，
∴OC=2OE=4，
∴AC=OC+OA=6，
∴AB= AC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3
∴△ABC的面积为： ×3×3 =
∵△OAF的面积为： ×2× = ，
∴阴影部分面积为： ﹣ ﹣ π= ﹣ π
故答案为： ﹣ π
【分析】根据三角形的内角和得出∠A=60°，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOF是等边三角形，根据邻补角的定义得出∠COF=120°，然后根据扇形的面积公式S=算出扇形OGF的面积，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得出∠OEC=90°，根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出OC的长，进而根据AC=OC+OA算出AC的长，由勾股定理算出BC的长，最后根据阴影部分面积=△ABC的面积-△OAF的面积-扇形OGF的面积即可算出答案。
19．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）解：∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴ ．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ADB=90°， 根据二直线平行同位角相等得出 ∠AEO=∠ADB=90°， 根据垂径定理即可得出 AE=ED；
（2） 根据垂径定理即可得出 ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠ABC=∠CBD=36°， 再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半一半算出 ∠AOC 的度数，最后根据弧长计算公式l=即可算出答案。
20．【答案】（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠A＝30°．
∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：∠1＝∠2＋∠A＝60°．
∴S扇形BOC＝ ＝ ．
在Rt△OCD中，∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝4，
∴CD＝ ＝ ．
∴SRt△OCD＝ OC×CD＝ ×2× ＝ ．
∴图中阴影部分的面积为： －
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
21．【答案】（1）证明：由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，
∴∠AED=∠ACD，AE=AC，
∵∠ABD=∠AED，
∴∠ABD=∠ACD，
∴AB=AC，
∴AE=AB；
（2）解：如图，过A作AH⊥BE于点H，
∵AB=AE，BE=2，
∴BH=EH=1，
∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB= ，
∴cos∠ABE=cos∠ADB= ，
∴ = ．
∴AC=AB=3，
∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴BC=3 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1） 由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC， 根据全等三角形对应边相等，对应角相等得出 ∠AED=∠ACD，AE=AC， 根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ABD=∠AED， 故 ∠ABD=∠ACD， 根据等角对等边即可得出 AB=AC， 故AE=AB；
（2） 如图，过A作AH⊥BE于点H， 根据等腰三角形的三线合一得出 BH=EH=1， 根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ABE=∠AEB=∠ADB ，根据等角的同名三角函数值相等得出 cos∠ABE=cos∠ADB= ， 然后根据锐角三角函数的定义即可算出AB=AC=3，进而根据勾股定理算出BC的长。
22．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位线
∴OD∥AC，
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC；
（2）解：如图，连接BG，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BGC=90°，
∵∠EFC=90°=∠BGC，
∴EF∥BG，
∴∠CBG=∠E，
Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，
∴CD=4，
S△ABC= ，
6×4=5BG，
BG= ，
由勾股定理得：CG= = ，
∴tan∠CBG=tan∠E= = = ．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） 如图，连接OD， 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠BDC=90°， 根据等腰三角形的三线合一得出 AD=BD， 根据三角形的中位线平行于第三边得出 OD∥AC， 根据圆的切线垂直于经过切点的半径得出 OD⊥DF， 根据平行线的性质得出 DF⊥AC；
（2） 如图，连接BG， 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠BGC=90°， 然后根据同位角相等二直线平行得出 EF∥BG， 根据二直线平行内错角相等得出 ∠CBG=∠E， Rt△BDC中 ，根据勾股定理算出CD的长，然后根据面积法，由 S△ABC= 算出BG的长，最后根据勾股定理算出CG的长，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，由 tan∠CBG=tan∠E= 即可算出答案。
23．【答案】（1）解：CM与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，
∴∠G+∠GBD=90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵M点为GE的中点，
∴MC=MG=ME，
∴∠G=∠1，
∵OB=OC，
∴∠B=∠2，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠OCM=90°，
∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线
（2）解：∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，
∴∠1=∠5，
而∠1=∠G，∠5=∠A，
∴∠G=∠A，
∵∠4=2∠A，
∴∠4=2∠G，
而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，
∴∠EMC=∠4，
而∠FEC=∠CEM，
∴△EFC∽△ECM，
∴ = = ，即 = = ，
∴CE=4，EF= ，
∴MF=ME﹣EF=6﹣ = ．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1） CM与⊙O相切．理由如下： 连接OC，如图， 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ACB=90°， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 MC=MG=ME， 根据等边对等角得出 ∠G=∠1， ∠B=∠2， 故 ∠1+∠2=90°， 根据角的和差得出 ∠OCM=90°，根据垂直于半径外端点的直线是圆的切线得出 CM为⊙O的切线 ；
（2）根据同角的余角相等得出 ∠1=∠5， 又 ∠1=∠G，∠5=∠A， 故 ∠G=∠A， 根据三角形的外角定理得出 ∠EMC=∠G+∠1=2∠G， 又 ∠4=2∠G， 故 ∠EMC=∠4， 从而判断出 △EFC∽△ECM， 根据相似三角形对应边成比例得出 = = ，根据比例式即可求出CE，EF的长，从而利用线段的和差算出答案。
24．【答案】（1）证明：延长CD交⊙O于G，如图，
∵CD⊥AB，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = ，
∴∠CBE=∠GCB，
∴CF=BF；
（2）解：连接OC交BE于H，如图，
∵ = ，
∴OC⊥BE，
在Rt△OBH中，cos∠OBH= = ，
∴BH= ×6= ，
∴OH= = ，
∵ = = ， = = ，
∴ = ，
而∠HOB=∠COM，
∴△OHB∽△OCM，
∴∠OCM=∠OHB=90°，
∴OC⊥CM，
∴直线CM是⊙O的切线．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 延长CD交⊙O于G，如图， 根据垂径定理得出 = ， 又 = ， 故 = ， 根据等弧所对的圆周角相等 ∠CBE=∠GCB， 再根据等角对等边即可得出结论： CF=BF；
（2）根据垂径定理得出 OC⊥BE， 根据余弦函数的定义，由 cos∠OBH= 算出BH的长，然后根据勾股定理算出OH的长，接着利用有两组对边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出 △OHB∽△OCM ，由相似三角形对应角相等得出 ∠OCM=∠OHB=90°， 从而根据垂直于半径外端点的直线是圆的切线即可得出结论。
25．【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，
∵DO⊥AB，
∴∠3+∠B=90°，
而∠2=∠3，
∴∠2+∠B=90°，
而OB=OC，
∴∠4=∠B，
∴∠1=∠2，
∴CE=FE；
（2）30°；22.5°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；切线的性质
【解析】【解答】解：（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，
而AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴∠3=∠2=60°，
而CE=FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF，
同理可得∠GFE=60°，
利用对称得FG=FC，
∵FG=EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG=FG，
∴EF=FG=GE=CE，
∴ 四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，
而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠COE=45°，
利用对称得∠EOG=45°，
∴∠COG=90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OGE=∠OCE=90°，
∴四边形ECOG为矩形，
而OC=OG，
∴四边形ECOG为正方形．
故答案为30°，22.5°．
【分析】（1） 连接OC，如图， 根据圆的切线垂直于经过切点的半径得出 OC⊥CE， 然后根据等角的补角相等得出 ∠1=∠2， 根据等角对等边得出CE=FE；
（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，根据三角形的内角和即可得出∠B=30°，∠3=∠2=60°，进而根据有一个角是直角的等腰三角形是等边三角形得出：△CEF为等边三角形，根据等边三角形三边相等得出CE=CF=EF，同理可得∠GFE=60°，利用对称得FG=FC，进而判断出△FEG为等边三角形，利用等边三角形的性质及等量代换得出EF=FG=GE=CE，根据四边相等的四边形是菱形得出结论；②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，根据等边对等角得出∠OCA=∠OAC=67.5°，根据三角形的内角和得出∠AOC=45°，根据角的和差得出∠COE=45°，利用对称得∠EOG=45°，故∠COG=90°，利用SAS判断出△OEC≌△OEG，根据全等三角形对应角相等得出∠OGE=∠OCE=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形得出：四边形ECOG为矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出结论：四边形ECOG为正方形．
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是 的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵点B是 的中点，
∴∠AOB= ∠AOC=70°，
由圆周角定理得，∠D= ∠AOB=35°，
故答案为：D．
【分析】连接OB，根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOB= ∠AOC=70°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠D的度数。
2．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH= OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH= = ，
∴CD=2CH=2 ．
故答案为：C．
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理得出HC=HD，在Rt△OPH中，根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出OH= OP=1，在Rt△OHC中，根据勾股定理算出CH的长，从而得出答案。
3．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A．2 cm B．4 cm
C．2 cm或4 cm D．2 cm或4 cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM= AB= ×8=4（cm），OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM= = =3（cm），
∴CM=OC+OM=5+3=8（cm），
∴AC= = =4 （cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2（cm），
在Rt△AMC中，AC= = =2 （cm）．
故答案为：C．
【分析】连接AC，AO，根据垂径定理得出AM= AB= ×8=4（cm），当C点位置如图1所示时，根据勾股定理算出OM的长，由CM=OC+OM算出CM的长，再根据勾股定理即可算出AC的长；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，CM=OC-OM算出CM的长，再根据勾股定理即可算出AC的长，综上所述即可得出答案。
4．（2018·荆州）如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AO=8，BO=6，
∵∠BOA=90°，
∴AB= =10，则⊙P的半径为5，
∵PE⊥BO，
∴BE=EO=3，
∴PE= =4，
∴ED=9，
∴tan∠BOD= =3，
故答案为：B．
【分析】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，在Rt△AOB中，利用勾股定理算出AB的长，即可得出该圆的半径，根据垂径定理得BE=EO=3，再根据勾股定理算出PE的长，从而得出ED的长，最后根据正切函数的定义即可算出答案。
5．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN= DE=2，
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故答案为：D．
【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．根据矩形的性质得出GF=DE，MN=EF，根据同圆的半径相等得出MP=FN= DE=2，根据线段的和差，由NP=MN﹣MP=EF﹣MP得出NP的长，根据勾股定理及等式的性质即可由PF2+PG2=2PN2+2FN2算出答案。
6．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（ ）
A． B． C． D． R
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，
则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，
∴∠CBD=30°，
∵BD=2R，
∴DC=R，
∴BC= R，
故答案为：D．
【分析】延长BO交⊙O于D，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠BCD=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠A=60°，根据三角形的内角和得出∠CBD=30°，最后根据含30°直角三角形的边之间的关系即可得出BC= R。
7．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2 B．﹣2
C．﹣2 2 D．﹣2 ＜b＜2
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB= OC=2 ．即b=2 ；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2 ＜b＜2 ．
故答案为：D．
【分析】当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．根据直线与坐标轴交点的坐标特点即可求出A、B两点的坐标，从而求出OA，OB的长，判断出△OAB是等腰直角三角形．连接圆心O和切点C．根据切线的性质得出OC的长，然后滚局等腰直角三角形的性质得出OB= OC=2 ．即b=2 ；同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ．进而求出b的取值范围。
8．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．9
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
故BP=6﹣3=3．
故答案为：A．
【分析】连接OA，根据切线垂直于经过切点的半径得出∠OAP=90°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出OP的长，最后根据BP=OP-OB即可算出答案。
9．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y= 上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，直线y= x+2 与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
当x=0时，y= x+2 =2 ，则D（0，2 ），
当y=0时， x+2 =0，解得x=﹣2，则C（﹣2，0），
∴CD= =4，
∵ OH CD= OC OD，
∴OH= = ，
连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴PA= = ，
当OP的值最小时，PA的值最小，
而OP的最小值为OH的长，
∴PA的最小值为 = ．
故答案为：D．
【分析】如图，直线y= x+2 与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，根据直线与坐标轴交点的坐标特点即可求出C，D两点的坐标，根据勾股定理即可算出CD的长，再根据三角形的面积法，由 OH CD= OC OD，算出OH的长，连接OA，如图，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得出OA⊥PA，根据勾股定理表示出PA的长，当OP的值最小时，PA的值最小，而OP的最小值为OH的长，从而得出答案。
10．（2018·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形内心的定义得出∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，根据三角形的内角和得出∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB），根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出答案。
11．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是 的一点，则∠CPD的度数是（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD= =72°，
∴∠CPD= ∠COD=36°，
故答案为：B．
【分析】如图，连接OC，OD．根据正五边形的性质算出其中心角∠COD的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可算出∠CPD的度数。
12．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交 于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作 交OB于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． + B． +2 C． + D．2 +
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴EO=2OC，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE= = ，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
= ﹣ ﹣（ ﹣ ）
=4π﹣π﹣ +2
= +2
故答案为：B．
【分析】连接OE、AE，根据含30°直角三角形的边之间关系的逆用得出∠CEO=30°，进而根据三角形的内角和得出∠EOC=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△AEO为等边三角形，然后根据扇形面积计算公式算出S扇形AOE，最后根据S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）即可算出答案。
二、填空题
13．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（1） 同步练习）已知 的半径为 ， ， 是 的两条弦， ， ， ，则弦 和 之间的距离是 ．
【答案】2或14
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AF=8cm，CE=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OF=6cm，OE=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm．
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为：2或14
【分析】由题意可知弦AB和CD的位置有两种情况：
①当弦AB和CD在圆心同侧，连接OA、OC，作OFCD交CD与F、AB于E，根据AB∥CD可得OEAB，由垂径定理可得AE=AB，CF=CD，解直角三角形OAE和直角三角形OCF可求得OE和OF的长，则两弦之间的距离=OF-OE即可求解；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，方法同①可求得OE和OF的长，则两弦之间的距离=OF+OE即可求解。
14．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA= ．
【答案】30°
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵点C是半径OA的中点，
∴OC= OD，
∵DE⊥AB，
∴∠CDO=30°，
∴∠DOA=60°，
∴∠DFA=30°，
故答案为：30°
【分析】根据含30°直角三角形的边之间关系的逆用得出∠CDO=30°，根据三角形的内角和得出∠DOA=60°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠DFA的度数。
15．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC= ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴AB=AD÷cos30°=4 ，
∴AC=AB cos60°=2 ，
故答案为2 ．
【分析】连接BD．根据直径所对的圆周角是直角得出∠C=∠D=90°，根据角平分线的定义得出∠DAB=30°，根据余弦函数的定义，由AB=AD÷cos30°算出AB的长，由AC=AB cos60°即可算出AC的长。
16．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．
【答案】3或4
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=x．
在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，
∴x2=42+（8﹣x）2，
∴x=5，
∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM=PK=CD=2BM，
∴BM=4，PM=8，
在Rt△PBM中，PB= =4 ．
综上所述，BP的长为3或4 ．
【分析】如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=x．在Rt△PBM中，根据勾股定理建立方程，求解即可算出PC的长，进而根据BP=BC﹣PC算出BP的长；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形，根据同圆的半径相等得出PM=PK=CD=2BM，在Rt△PBM中，根据勾股定理算出PB的长，综上所述即可得出答案。
17．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为 ．
【答案】 或
【知识点】切线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴ = ，
∴ = ，
∴r= ．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，
∴A′T= ，
∴r= A′T= ．
综上所述，⊙P的半径为 或 ．
【分析】如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．根据平行线分线段成比例定理得出=根据比例式建立方程即可算出该圆的半径；如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，首先证出△A′BT∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出=，根据比例式即可算出A′T的长，进而求出该圆的半径，综上所述即可得出答案。
18．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以
OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】 ﹣ π
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠COF=120°，
∵OA=2，
∴扇形OGF的面积为： =
∵OA为半径的圆与CB相切于点E，
∴∠OEC=90°，
∴OC=2OE=4，
∴AC=OC+OA=6，
∴AB= AC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3
∴△ABC的面积为： ×3×3 =
∵△OAF的面积为： ×2× = ，
∴阴影部分面积为： ﹣ ﹣ π= ﹣ π
故答案为： ﹣ π
【分析】根据三角形的内角和得出∠A=60°，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOF是等边三角形，根据邻补角的定义得出∠COF=120°，然后根据扇形的面积公式S=算出扇形OGF的面积，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得出∠OEC=90°，根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出OC的长，进而根据AC=OC+OA算出AC的长，由勾股定理算出BC的长，最后根据阴影部分面积=△ABC的面积-△OAF的面积-扇形OGF的面积即可算出答案。
三、解答题
19．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求 的长．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）解：∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴ ．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ADB=90°， 根据二直线平行同位角相等得出 ∠AEO=∠ADB=90°， 根据垂径定理即可得出 AE=ED；
（2） 根据垂径定理即可得出 ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠ABC=∠CBD=36°， 再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半一半算出 ∠AOC 的度数，最后根据弧长计算公式l=即可算出答案。
20．（2018九上·乌鲁木齐期末）如图，点 在⊙ 的直径 的延长线上，点 在⊙ 上， ， ．
（1）求证： 是⊙ 的切线；
（2）若⊙ 的半径为 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠A＝30°．
∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：∠1＝∠2＋∠A＝60°．
∴S扇形BOC＝ ＝ ．
在Rt△OCD中，∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝4，
∴CD＝ ＝ ．
∴SRt△OCD＝ OC×CD＝ ×2× ＝ ．
∴图中阴影部分的面积为： －
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
21．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上．
（1）求证：AE=AB．
（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB= ，BE=2，求BC的长．
【答案】（1）证明：由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，
∴∠AED=∠ACD，AE=AC，
∵∠ABD=∠AED，
∴∠ABD=∠ACD，
∴AB=AC，
∴AE=AB；
（2）解：如图，过A作AH⊥BE于点H，
∵AB=AE，BE=2，
∴BH=EH=1，
∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB= ，
∴cos∠ABE=cos∠ADB= ，
∴ = ．
∴AC=AB=3，
∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴BC=3 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1） 由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC， 根据全等三角形对应边相等，对应角相等得出 ∠AED=∠ACD，AE=AC， 根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ABD=∠AED， 故 ∠ABD=∠ACD， 根据等角对等边即可得出 AB=AC， 故AE=AB；
（2） 如图，过A作AH⊥BE于点H， 根据等腰三角形的三线合一得出 BH=EH=1， 根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ABE=∠AEB=∠ADB ，根据等角的同名三角函数值相等得出 cos∠ABE=cos∠ADB= ， 然后根据锐角三角函数的定义即可算出AB=AC=3，进而根据勾股定理算出BC的长。
22．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）求tan∠E的值．
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位线
∴OD∥AC，
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC；
（2）解：如图，连接BG，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BGC=90°，
∵∠EFC=90°=∠BGC，
∴EF∥BG，
∴∠CBG=∠E，
Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，
∴CD=4，
S△ABC= ，
6×4=5BG，
BG= ，
由勾股定理得：CG= = ，
∴tan∠CBG=tan∠E= = = ．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） 如图，连接OD， 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠BDC=90°， 根据等腰三角形的三线合一得出 AD=BD， 根据三角形的中位线平行于第三边得出 OD∥AC， 根据圆的切线垂直于经过切点的半径得出 OD⊥DF， 根据平行线的性质得出 DF⊥AC；
（2） 如图，连接BG， 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠BGC=90°， 然后根据同位角相等二直线平行得出 EF∥BG， 根据二直线平行内错角相等得出 ∠CBG=∠E， Rt△BDC中 ，根据勾股定理算出CD的长，然后根据面积法，由 S△ABC= 算出BG的长，最后根据勾股定理算出CG的长，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，由 tan∠CBG=tan∠E= 即可算出答案。
23．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．
【答案】（1）解：CM与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，
∴∠G+∠GBD=90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵M点为GE的中点，
∴MC=MG=ME，
∴∠G=∠1，
∵OB=OC，
∴∠B=∠2，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠OCM=90°，
∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线
（2）解：∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，
∴∠1=∠5，
而∠1=∠G，∠5=∠A，
∴∠G=∠A，
∵∠4=2∠A，
∴∠4=2∠G，
而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，
∴∠EMC=∠4，
而∠FEC=∠CEM，
∴△EFC∽△ECM，
∴ = = ，即 = = ，
∴CE=4，EF= ，
∴MF=ME﹣EF=6﹣ = ．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1） CM与⊙O相切．理由如下： 连接OC，如图， 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ACB=90°， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 MC=MG=ME， 根据等边对等角得出 ∠G=∠1， ∠B=∠2， 故 ∠1+∠2=90°， 根据角的和差得出 ∠OCM=90°，根据垂直于半径外端点的直线是圆的切线得出 CM为⊙O的切线 ；
（2）根据同角的余角相等得出 ∠1=∠5， 又 ∠1=∠G，∠5=∠A， 故 ∠G=∠A， 根据三角形的外角定理得出 ∠EMC=∠G+∠1=2∠G， 又 ∠4=2∠G， 故 ∠EMC=∠4， 从而判断出 △EFC∽△ECM， 根据相似三角形对应边成比例得出 = = ，根据比例式即可求出CE，EF的长，从而利用线段的和差算出答案。
24．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上， = ，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若cos∠ABE= ，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
【答案】（1）证明：延长CD交⊙O于G，如图，
∵CD⊥AB，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = ，
∴∠CBE=∠GCB，
∴CF=BF；
（2）解：连接OC交BE于H，如图，
∵ = ，
∴OC⊥BE，
在Rt△OBH中，cos∠OBH= = ，
∴BH= ×6= ，
∴OH= = ，
∵ = = ， = = ，
∴ = ，
而∠HOB=∠COM，
∴△OHB∽△OCM，
∴∠OCM=∠OHB=90°，
∴OC⊥CM，
∴直线CM是⊙O的切线．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 延长CD交⊙O于G，如图， 根据垂径定理得出 = ， 又 = ， 故 = ， 根据等弧所对的圆周角相等 ∠CBE=∠GCB， 再根据等角对等边即可得出结论： CF=BF；
（2）根据垂径定理得出 OC⊥BE， 根据余弦函数的定义，由 cos∠OBH= 算出BH的长，然后根据勾股定理算出OH的长，接着利用有两组对边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出 △OHB∽△OCM ，由相似三角形对应角相等得出 ∠OCM=∠OHB=90°， 从而根据垂直于半径外端点的直线是圆的切线即可得出结论。
25．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为 时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为 时，四边形ECOG为正方形．
【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，
∵DO⊥AB，
∴∠3+∠B=90°，
而∠2=∠3，
∴∠2+∠B=90°，
而OB=OC，
∴∠4=∠B，
∴∠1=∠2，
∴CE=FE；
（2）30°；22.5°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；切线的性质
【解析】【解答】解：（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，
而AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴∠3=∠2=60°，
而CE=FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF，
同理可得∠GFE=60°，
利用对称得FG=FC，
∵FG=EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG=FG，
∴EF=FG=GE=CE，
∴ 四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，
而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠COE=45°，
利用对称得∠EOG=45°，
∴∠COG=90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OGE=∠OCE=90°，
∴四边形ECOG为矩形，
而OC=OG，
∴四边形ECOG为正方形．
故答案为30°，22.5°．
【分析】（1） 连接OC，如图， 根据圆的切线垂直于经过切点的半径得出 OC⊥CE， 然后根据等角的补角相等得出 ∠1=∠2， 根据等角对等边得出CE=FE；
（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，根据三角形的内角和即可得出∠B=30°，∠3=∠2=60°，进而根据有一个角是直角的等腰三角形是等边三角形得出：△CEF为等边三角形，根据等边三角形三边相等得出CE=CF=EF，同理可得∠GFE=60°，利用对称得FG=FC，进而判断出△FEG为等边三角形，利用等边三角形的性质及等量代换得出EF=FG=GE=CE，根据四边相等的四边形是菱形得出结论；②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，根据等边对等角得出∠OCA=∠OAC=67.5°，根据三角形的内角和得出∠AOC=45°，根据角的和差得出∠COE=45°，利用对称得∠EOG=45°，故∠COG=90°，利用SAS判断出△OEC≌△OEG，根据全等三角形对应角相等得出∠OGE=∠OCE=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形得出：四边形ECOG为矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出结论：四边形ECOG为正方形．
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