2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B

2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是 的中点，则∠D的度数是（　　）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 连接OB，
∵点B是 的中点，
∴∠AOB= ∠AOC=70°，
由圆周角定理得，∠D= ∠AOB=35°，
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理和已知易得到∠ADB=∠AOC，即可解答.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
2．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．8
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： 作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH= OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH= = ，
∴CD=2CH=2 ．
故答案为：C．
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC.根据垂径定理可得HC=HD，进而求出半径OA=4，则OP=OA-AP=2，接着在Rt△OPH中，根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=1，再在Rt△OHC中由勾股定理计算出CH，可得CD的值.
3．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（　　）
A．2 cm B．4 cm
C．2 cm或4 cm D．2 cm或4 cm
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： 连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM= AB= ×8=4（cm），OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM= = =3（cm），
∴CM=OC+OM=5+3=8（cm），
∴AC= = =4 （cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2（cm），
在Rt△AMC中，AC= = =2 （cm）．
故答案为：C．
【分析】由于点C的位置不能确定，分两种情况：画出图形，根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论.
4．（2018·荆州）如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AO=8，BO=6，
∵∠BOA=90°，
∴AB= =10，则⊙P的半径为5，
∵PE⊥BO，
∴BE=EO=3，
∴PE= =4，
∴ED=9，
∴tan∠BOD= =3，
故答案为：B．
【分析】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，在Rt△AOB中，利用勾股定理算出AB的长，即可得出该圆的半径，根据垂径定理得BE=EO=3，再根据勾股定理算出PE的长，从而得出ED的长，最后根据正切函数的定义即可算出答案。
5．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（　　）
A． B． C．34 D．10
【答案】D
【知识点】矩形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解： 设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN= DE=2，
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故答案为：D．
【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用所给的结论即可求出答案.
6．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆周角定理
【解析】【解答】解： 延长BO交⊙O于D，连接CD，
则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，
∴∠CBD=30°，
∵BD=2R，
∴DC=R，
∴BC=
故答案为：D．
【分析】延长BO交⊙O于D，连接CD.根据圆周角定理可得∠D=∠A=60°，∠BCD=90°，再由三角函数可求出BC的长.
7．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　）
A．0≤b＜2 B．﹣2
C．﹣2 2 D．﹣2 ＜b＜2
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解： 当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB= OC=2 ．即b=2 ；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2 ＜b＜2 ．
故答案为：D．
【分析】求出直线y=-x+b与圆相切，且函数经过的象限分别求出此时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间.
8．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（　　）
A．3 B．3 C．6 D．9
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【解答】解： 连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
故BP=6﹣3=3．
故答案为：A．
【分析】连接OA.根据切线的性质可得△AOP是含30°的直角三角形，由此可得2OA=OP，再由OA=OB可求出BP的值.
9．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y= 上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；切线的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解： 如图，
直线y= x+2 与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
当x=0时，y= x+2 =2 ，则D（0，2 ），
当y=0时， x+2 =0，解得x=﹣2，则C（﹣2，0），
∴CD= =4，
∵ OH CD= OC OD，
∴OH= = ，
连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴PA= = ，
当OP的值最小时，PA的值最小，
而OP的最小值为OH的长，
∴PA的最小值为 = ．
故答案为：D．
【分析】作OH⊥CD于H，先利用一次函数解析式得到D、C的坐标，再利用勾股定理可计算出CD=4，则利用面积法可计算出OH，连接OA，利用切线的性质得出用含OP的代数式表示PA，利用垂线段最短求PA的最小值.
10．（2018·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）
A．56° B．62° C．68° D．78°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形内心的定义得出∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，根据三角形的内角和得出∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB），根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出答案。
11．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是 的一点，则∠CPD的度数是（　　）
A．30° B．36° C．45° D．72°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解： 如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD= =72°，
∴∠CPD= ∠COD=36°，
故答案为：B．
【分析】连接OC，OD．利用正多边形和圆的关系可求出圆心角∠COD的度数，再由圆周角定理可得∠CPD的度数.
12．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交 于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作 交OB于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． + B． +2 C． + D．2 +
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解： 连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴EO=2OC，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE= = ，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
= ﹣ ﹣（ ﹣ ）
=4π﹣π﹣ +2
= +2
故答案为：B．
【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，从而求出△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，阴影部分的面积=扇形AOB的面积-扇形COD的面积-S扇形AEC即可求出.
二、填空题
13．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（1） 同步练习）已知 的半径为 ， ， 是 的两条弦， ， ， ，则弦 和 之间的距离是　 　 ．
【答案】2或14
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AF=8cm，CE=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OF=6cm，OE=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm．
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为：2或14
【分析】由题意可知弦AB和CD的位置有两种情况：
①当弦AB和CD在圆心同侧，连接OA、OC，作OFCD交CD与F、AB于E，根据AB∥CD可得OEAB，由垂径定理可得AE=AB，CF=CD，解直角三角形OAE和直角三角形OCF可求得OE和OF的长，则两弦之间的距离=OF-OE即可求解；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，方法同①可求得OE和OF的长，则两弦之间的距离=OF+OE即可求解。
14．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA=　 　．
【答案】30°
【知识点】圆的相关概念；圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵点C是半径OA的中点，
∴OC= OD，
∵DE⊥AB，
∴∠CDO=30°，
∴∠DOA=60°，
∴∠DFA=30°，
故答案为：30°
【分析】根据同圆中半径相等可得2OC=OD，进而可得∠COD=60°，再由圆周角定理可得答案.
15．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解： 连接BD．
∵AB是直径，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴AB=AD÷cos30°=4 ，
∴AC=AB cos60°=2 ，
故答案为：2 ．
【分析】连接BD，根据直径上的圆周角是直角可得∠C=∠D=90°，再由已知可得∠DAB=30°，在Rt△ABD中，利用三角函数可求出AB，再在△ABC中，利用三角函数可求出AC的长.
16．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　 　．
【答案】3或4
【知识点】矩形的判定与性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=x．
在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，
∴x2=42+（8﹣x）2，
∴x=5，
∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM=PK=CD=2BM，
∴BM=4，PM=8，
在Rt△PBM中，PB= =4 ．
综上所述，BP的长为3或4 ．
【分析】分两种情形：当⊙P与直线CD相切时，在Rt△PBM中，利用勾股定理可求出PC，即可得结论；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形，根据矩形的性质和已知可得PM和BM，再由勾股定理可求出BP的值..
17．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为　 　．
【答案】 或
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： 如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴ = ，
∴ = ，
∴r= ．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，
∴A′T= ，
∴r= A′T= ．
综上所述，⊙P的半径为 或 ．
【分析】分两种情形：①⊙P与直线AC相切于点Q，②⊙P与AB相切于点T.分别根据三角形相似和相似的性质来求解.
18．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以
OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】 ﹣ π
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解： ∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠COF=120°，
∵OA=2，
∴扇形OGF的面积为： =
∵OA为半径的圆与CB相切于点E，
∴∠OEC=90°，
∴OC=2OE=4，
∴AC=OC+OA=6，
∴AB= AC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3
∴△ABC的面积为： ×3×3 =
∵△OAF的面积为： ×2× = ，
∴阴影部分面积为： ﹣ ﹣ π= ﹣ π
故答案为： ﹣ π
【分析】利用△ABC的面积减去△AOF的面积减去扇形OGF的面积即可.
三、解答题
19．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求 的长．
【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED
（2）解： ∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ADB=90°，再根据平行线的性质得出∠AEO=90°，根据垂径定理证明即可；
（2）利用垂径定理可求出 ∠AOC=72°， 然后根据弧长公式解答即可.
20．（2018九上·乌鲁木齐期末）如图，点 在⊙ 的直径 的延长线上，点 在⊙ 上， ， ．
（1）求证： 是⊙ 的切线；
（2）若⊙ 的半径为 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠A＝30°．
∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：∠1＝∠2＋∠A＝60°．
∴S扇形BOC＝ ＝ ．
在Rt△OCD中，∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝4，
∴CD＝ ＝ ．
∴SRt△OCD＝ OC×CD＝ ×2× ＝ ．
∴图中阴影部分的面积为： －
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
21．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上．
（1）求证：AE=AB．
（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB= ，BE=2，求BC的长．
【答案】（1）证明： 由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，
∴∠AED=∠ACD，AE=AC，
∵∠ABD=∠AED，
∴∠ABD=∠ACD，
∴AB=AC，
∴AE=AB
（2）解： 如图，过A作AH⊥BE于点H，
∵AB=AE，BE=2，
∴BH=EH=1，
∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB= ，
∴cos∠ABE=cos∠ADB= ，
∴ = ．
∴AC=AB=3，
∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴BC=3 ．
【知识点】圆内接四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得∠AED=∠ACD、AE=AC，从而得∠ABD=∠ACD，再由等腰三角形的判定和已知得证；
（2）作AH⊥BE，根据等腰三角形的性质可得BH=EH=1，根据∠ABE=∠AEB=∠ADB可求出cos∠ABE=cos∠ADB=
，继而得出，据此得AC=AB的值，利用勾股定理可得答案.
22．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）求tan∠E的值．
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位线
∴OD∥AC，
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC
（2）解： 如图，连接BG，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BGC=90°，
∵∠EFC=90°=∠BGC，
∴EF∥BG，
∴∠CBG=∠E，
Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，
∴CD=4，
S△ABC= ，
6×4=5BG，
BG= ，
由勾股定理得：CG= = ，
∴tan∠CBG=tan∠E= = = ．
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形的熊志可得OD是中位线，则OD∥AC，根据切线的性质可得结论；
（2）连接BG，根据圆周角定理的推论和已知可证明EF∥BG，则∠CBG=∠E，再用三角形的面积求出BG，勾股定理求出CG，从而求出∠CBG的正切值.
23．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．
【答案】（1）解： CM与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，
∴∠G+∠GBD=90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵M点为GE的中点，
∴MC=MG=ME，
∴∠G=∠1，
∵OB=OC，
∴∠B=∠2，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠OCM=90°，
∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线
（2）解： ∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，
∴∠1=∠5，
而∠1=∠G，∠5=∠A，
∴∠G=∠A，
∵∠4=2∠A，
∴∠4=2∠G，
而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，
∴∠EMC=∠4，
而∠FEC=∠CEM，
∴△EFC∽△ECM，
∴ = = ，即 = = ，
∴CE=4，EF= ，
∴MF=ME﹣EF=6﹣ = ．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，从而得到∠OCM=90°，可判断CM为⊙O的切线；
（2）先证明△EFC∽△ECM，利用相似三角形的性质求出CE、EF，然后计算ME-EF即可.
24．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上， = ，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若cos∠ABE= ，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
【答案】（1）证明： 延长CD交⊙O于G，如图，
∵CD⊥AB，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = ，
∴∠CBE=∠GCB，
∴CF=BF
（2）解： 连接OC交BE于H，如图，
∵ = ，
∴OC⊥BE，
在Rt△OBH中，cos∠OBH= = ，
∴BH= ×6= ，
∴OH= = ，
∵ = = ， = = ，
∴ = ，
而∠HOB=∠COM，
∴△OHB∽△OCM，
∴∠OCM=∠OHB=90°，
∴OC⊥CM，
∴直线CM是⊙O的切线．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）延长CD交⊙O于G，利用垂径定理和圆周角定理得∠CBE=∠GCB，从而得证；
（2）连接OC交BE于H，先利用垂径定理得到OC⊥BE，再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH、OH的值，接着再利用两边对应成比例且夹角相等证△OHB∽△OCM，则∠OCM=∠OHB=90°，即可得到结论.
25．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为　 　时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为　 　时，四边形ECOG为正方形．
【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，
∵DO⊥AB，
∴∠3+∠B=90°，
而∠2=∠3，
∴∠2+∠B=90°，
而OB=OC，
∴∠4=∠B，
∴∠1=∠2，
∴CE=FE
（2）30°；22.5°
【知识点】菱形的判定；正方形的判定；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，
而AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴∠3=∠2=60°，
而CE=FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF，
同理可得∠GFE=60°，
利用对称得FG=FC，
∵FG=EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG=FG，
∴EF=FG=GE=CE，
∴四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，
而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠COE=45°，
利用对称得∠EOG=45°，
∴∠COG=90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OGE=∠OCE=90°，
∴四边形ECOG为矩形，
而OC=OG，
故答案为30°，22.5°．
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质和等腰三角形的性质证明∠1=∠2，再由等腰三角形的判定得到结论；
（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，证明△CEF和△FEG都为等边三角形，从而得到EF=FG=GE=CE=CF，可判断；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，利用三角形内角和得∠COE=45°，利用对称得∠EOG=45°，则∠COG=90°，再证明△OEC≌△OEG，继而得∠OGE=∠OCE=90°，从而证明四边形ECOG为正方形.
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是 的中点，则∠D的度数是（　　）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
2．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．8
3．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（　　）
A．2 cm B．4 cm
C．2 cm或4 cm D．2 cm或4 cm
4．（2018·荆州）如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（　　）
A． B． C．34 D．10
6．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　）
A．0≤b＜2 B．﹣2
C．﹣2 2 D．﹣2 ＜b＜2
8．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（　　）
A．3 B．3 C．6 D．9
9．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y= 上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
10．（2018·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）
A．56° B．62° C．68° D．78°
11．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是 的一点，则∠CPD的度数是（　　）
A．30° B．36° C．45° D．72°
12．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交 于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作 交OB于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． + B． +2 C． + D．2 +
二、填空题
13．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（1） 同步练习）已知 的半径为 ， ， 是 的两条弦， ， ， ，则弦 和 之间的距离是　 　 ．
14．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA=　 　．
15．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=　 　．
16．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　 　．
17．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为　 　．
18．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以
OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是　 　．
三、解答题
19．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求 的长．
20．（2018九上·乌鲁木齐期末）如图，点 在⊙ 的直径 的延长线上，点 在⊙ 上， ， ．
（1）求证： 是⊙ 的切线；
（2）若⊙ 的半径为 ，求图中阴影部分的面积．
21．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上．
（1）求证：AE=AB．
（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB= ，BE=2，求BC的长．
22．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）求tan∠E的值．
23．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．
24．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上， = ，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若cos∠ABE= ，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
25．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 B ）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为　 　时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为　 　时，四边形ECOG为正方形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 连接OB，
∵点B是 的中点，
∴∠AOB= ∠AOC=70°，
由圆周角定理得，∠D= ∠AOB=35°，
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理和已知易得到∠ADB=∠AOC，即可解答.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： 作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH= OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH= = ，
∴CD=2CH=2 ．
故答案为：C．
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC.根据垂径定理可得HC=HD，进而求出半径OA=4，则OP=OA-AP=2，接着在Rt△OPH中，根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=1，再在Rt△OHC中由勾股定理计算出CH，可得CD的值.
3．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： 连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM= AB= ×8=4（cm），OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM= = =3（cm），
∴CM=OC+OM=5+3=8（cm），
∴AC= = =4 （cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2（cm），
在Rt△AMC中，AC= = =2 （cm）．
故答案为：C．
【分析】由于点C的位置不能确定，分两种情况：画出图形，根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AO=8，BO=6，
∵∠BOA=90°，
∴AB= =10，则⊙P的半径为5，
∵PE⊥BO，
∴BE=EO=3，
∴PE= =4，
∴ED=9，
∴tan∠BOD= =3，
故答案为：B．
【分析】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，在Rt△AOB中，利用勾股定理算出AB的长，即可得出该圆的半径，根据垂径定理得BE=EO=3，再根据勾股定理算出PE的长，从而得出ED的长，最后根据正切函数的定义即可算出答案。
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解： 设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN= DE=2，
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故答案为：D．
【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用所给的结论即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆周角定理
【解析】【解答】解： 延长BO交⊙O于D，连接CD，
则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，
∴∠CBD=30°，
∵BD=2R，
∴DC=R，
∴BC=
故答案为：D．
【分析】延长BO交⊙O于D，连接CD.根据圆周角定理可得∠D=∠A=60°，∠BCD=90°，再由三角函数可求出BC的长.
7．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解： 当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB= OC=2 ．即b=2 ；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2 ＜b＜2 ．
故答案为：D．
【分析】求出直线y=-x+b与圆相切，且函数经过的象限分别求出此时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间.
8．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【解答】解： 连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
故BP=6﹣3=3．
故答案为：A．
【分析】连接OA.根据切线的性质可得△AOP是含30°的直角三角形，由此可得2OA=OP，再由OA=OB可求出BP的值.
9．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；切线的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解： 如图，
直线y= x+2 与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
当x=0时，y= x+2 =2 ，则D（0，2 ），
当y=0时， x+2 =0，解得x=﹣2，则C（﹣2，0），
∴CD= =4，
∵ OH CD= OC OD，
∴OH= = ，
连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴PA= = ，
当OP的值最小时，PA的值最小，
而OP的最小值为OH的长，
∴PA的最小值为 = ．
故答案为：D．
【分析】作OH⊥CD于H，先利用一次函数解析式得到D、C的坐标，再利用勾股定理可计算出CD=4，则利用面积法可计算出OH，连接OA，利用切线的性质得出用含OP的代数式表示PA，利用垂线段最短求PA的最小值.
10．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形内心的定义得出∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，根据三角形的内角和得出∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB），根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出答案。
11．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解： 如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD= =72°，
∴∠CPD= ∠COD=36°，
故答案为：B．
【分析】连接OC，OD．利用正多边形和圆的关系可求出圆心角∠COD的度数，再由圆周角定理可得∠CPD的度数.
12．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解： 连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴EO=2OC，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE= = ，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
= ﹣ ﹣（ ﹣ ）
=4π﹣π﹣ +2
= +2
故答案为：B．
【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，从而求出△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，阴影部分的面积=扇形AOB的面积-扇形COD的面积-S扇形AEC即可求出.
13．【答案】2或14
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AF=8cm，CE=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OF=6cm，OE=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm．
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为：2或14
【分析】由题意可知弦AB和CD的位置有两种情况：
①当弦AB和CD在圆心同侧，连接OA、OC，作OFCD交CD与F、AB于E，根据AB∥CD可得OEAB，由垂径定理可得AE=AB，CF=CD，解直角三角形OAE和直角三角形OCF可求得OE和OF的长，则两弦之间的距离=OF-OE即可求解；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，方法同①可求得OE和OF的长，则两弦之间的距离=OF+OE即可求解。
14．【答案】30°
【知识点】圆的相关概念；圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵点C是半径OA的中点，
∴OC= OD，
∵DE⊥AB，
∴∠CDO=30°，
∴∠DOA=60°，
∴∠DFA=30°，
故答案为：30°
【分析】根据同圆中半径相等可得2OC=OD，进而可得∠COD=60°，再由圆周角定理可得答案.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解： 连接BD．
∵AB是直径，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴AB=AD÷cos30°=4 ，
∴AC=AB cos60°=2 ，
故答案为：2 ．
【分析】连接BD，根据直径上的圆周角是直角可得∠C=∠D=90°，再由已知可得∠DAB=30°，在Rt△ABD中，利用三角函数可求出AB，再在△ABC中，利用三角函数可求出AC的长.
16．【答案】3或4
【知识点】矩形的判定与性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=x．
在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，
∴x2=42+（8﹣x）2，
∴x=5，
∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM=PK=CD=2BM，
∴BM=4，PM=8，
在Rt△PBM中，PB= =4 ．
综上所述，BP的长为3或4 ．
【分析】分两种情形：当⊙P与直线CD相切时，在Rt△PBM中，利用勾股定理可求出PC，即可得结论；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形，根据矩形的性质和已知可得PM和BM，再由勾股定理可求出BP的值..
17．【答案】 或
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： 如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴ = ，
∴ = ，
∴r= ．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，
∴A′T= ，
∴r= A′T= ．
综上所述，⊙P的半径为 或 ．
【分析】分两种情形：①⊙P与直线AC相切于点Q，②⊙P与AB相切于点T.分别根据三角形相似和相似的性质来求解.
18．【答案】 ﹣ π
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解： ∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠COF=120°，
∵OA=2，
∴扇形OGF的面积为： =
∵OA为半径的圆与CB相切于点E，
∴∠OEC=90°，
∴OC=2OE=4，
∴AC=OC+OA=6，
∴AB= AC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3
∴△ABC的面积为： ×3×3 =
∵△OAF的面积为： ×2× = ，
∴阴影部分面积为： ﹣ ﹣ π= ﹣ π
故答案为： ﹣ π
【分析】利用△ABC的面积减去△AOF的面积减去扇形OGF的面积即可.
19．【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED
（2）解： ∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ADB=90°，再根据平行线的性质得出∠AEO=90°，根据垂径定理证明即可；
（2）利用垂径定理可求出 ∠AOC=72°， 然后根据弧长公式解答即可.
20．【答案】（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠A＝30°．
∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：∠1＝∠2＋∠A＝60°．
∴S扇形BOC＝ ＝ ．
在Rt△OCD中，∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝4，
∴CD＝ ＝ ．
∴SRt△OCD＝ OC×CD＝ ×2× ＝ ．
∴图中阴影部分的面积为： －
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
21．【答案】（1）证明： 由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，
∴∠AED=∠ACD，AE=AC，
∵∠ABD=∠AED，
∴∠ABD=∠ACD，
∴AB=AC，
∴AE=AB
（2）解： 如图，过A作AH⊥BE于点H，
∵AB=AE，BE=2，
∴BH=EH=1，
∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB= ，
∴cos∠ABE=cos∠ADB= ，
∴ = ．
∴AC=AB=3，
∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴BC=3 ．
【知识点】圆内接四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得∠AED=∠ACD、AE=AC，从而得∠ABD=∠ACD，再由等腰三角形的判定和已知得证；
（2）作AH⊥BE，根据等腰三角形的性质可得BH=EH=1，根据∠ABE=∠AEB=∠ADB可求出cos∠ABE=cos∠ADB=
，继而得出，据此得AC=AB的值，利用勾股定理可得答案.
22．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位线
∴OD∥AC，
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC
（2）解： 如图，连接BG，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BGC=90°，
∵∠EFC=90°=∠BGC，
∴EF∥BG，
∴∠CBG=∠E，
Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，
∴CD=4，
S△ABC= ，
6×4=5BG，
BG= ，
由勾股定理得：CG= = ，
∴tan∠CBG=tan∠E= = = ．
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形的熊志可得OD是中位线，则OD∥AC，根据切线的性质可得结论；
（2）连接BG，根据圆周角定理的推论和已知可证明EF∥BG，则∠CBG=∠E，再用三角形的面积求出BG，勾股定理求出CG，从而求出∠CBG的正切值.
23．【答案】（1）解： CM与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，
∴∠G+∠GBD=90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵M点为GE的中点，
∴MC=MG=ME，
∴∠G=∠1，
∵OB=OC，
∴∠B=∠2，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠OCM=90°，
∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线
（2）解： ∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，
∴∠1=∠5，
而∠1=∠G，∠5=∠A，
∴∠G=∠A，
∵∠4=2∠A，
∴∠4=2∠G，
而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，
∴∠EMC=∠4，
而∠FEC=∠CEM，
∴△EFC∽△ECM，
∴ = = ，即 = = ，
∴CE=4，EF= ，
∴MF=ME﹣EF=6﹣ = ．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，从而得到∠OCM=90°，可判断CM为⊙O的切线；
（2）先证明△EFC∽△ECM，利用相似三角形的性质求出CE、EF，然后计算ME-EF即可.
24．【答案】（1）证明： 延长CD交⊙O于G，如图，
∵CD⊥AB，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = ，
∴∠CBE=∠GCB，
∴CF=BF
（2）解： 连接OC交BE于H，如图，
∵ = ，
∴OC⊥BE，
在Rt△OBH中，cos∠OBH= = ，
∴BH= ×6= ，
∴OH= = ，
∵ = = ， = = ，
∴ = ，
而∠HOB=∠COM，
∴△OHB∽△OCM，
∴∠OCM=∠OHB=90°，
∴OC⊥CM，
∴直线CM是⊙O的切线．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）延长CD交⊙O于G，利用垂径定理和圆周角定理得∠CBE=∠GCB，从而得证；
（2）连接OC交BE于H，先利用垂径定理得到OC⊥BE，再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH、OH的值，接着再利用两边对应成比例且夹角相等证△OHB∽△OCM，则∠OCM=∠OHB=90°，即可得到结论.
25．【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，
∵DO⊥AB，
∴∠3+∠B=90°，
而∠2=∠3，
∴∠2+∠B=90°，
而OB=OC，
∴∠4=∠B，
∴∠1=∠2，
∴CE=FE
（2）30°；22.5°
【知识点】菱形的判定；正方形的判定；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，
而AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴∠3=∠2=60°，
而CE=FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF，
同理可得∠GFE=60°，
利用对称得FG=FC，
∵FG=EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG=FG，
∴EF=FG=GE=CE，
∴四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，
而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠COE=45°，
利用对称得∠EOG=45°，
∴∠COG=90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OGE=∠OCE=90°，
∴四边形ECOG为矩形，
而OC=OG，
故答案为30°，22.5°．
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质和等腰三角形的性质证明∠1=∠2，再由等腰三角形的判定得到结论；
（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，证明△CEF和△FEG都为等边三角形，从而得到EF=FG=GE=CE=CF，可判断；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，利用三角形内角和得∠COE=45°，利用对称得∠EOG=45°，则∠COG=90°，再证明△OEC≌△OEG，继而得∠OGE=∠OCE=90°，从而证明四边形ECOG为正方形.
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