初中数学北师大版七年级下册5.2探索轴对称的性质练习题
一、选择题
1．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2017八下·东台期中）如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．2
3．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，P1P2=15，则△PMN的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
4．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）
A．750米 B．1000米 C．1500米 D．2000米
5．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，下列结论中正确的有（ ）
⑴△ABC≌△A′B′C′
⑵∠BAC=∠B′A′C′
⑶直线L垂直平分CC′
⑷直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2017八上·蒙阴期末）如图所示，l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论：
①AB∥CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=85°，则∠2的度数为（ ）
A．24° B．25° C．30° D．35°
8．如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．随H点位置的变化而变化
9．如图，一张△ABC纸片，小明将△ABC沿着DE折叠并压平，点A与A′重合，若∠A=78°，则∠1+∠2=（ ）
A．156° B．204° C．102° D．78°
10．（2017八下·宁德期末）如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．60° B．120° C．90° D．45°
12．如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=10，点M、N分别在OA、OB上，求△PMN周长的最小值（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
13．（2016·南岗模拟）如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF= ，则AD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=105°，∠C′=30°，则∠B=（ ）
A．25° B．45° C．30° D．20°
15．（2016·龙岗模拟）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．15cm
二、填空题
16．如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1=110°，∠2=40°，则x= ．
17．（2017八上·盂县期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=120°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是 ．
18．如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为 °．
19．把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕．若∠EFB=35°，则下面五个结论：①∠CEF=35°；②∠AEC=145°；③∠BGE=70°；④∠EFD′=110°；⑤∠D′FD=70°．其中正确的是 ．（只填序号）
20．阅读材料
例：说明代数式 + 的几何意义，并求它的最小值．
解： + = + ，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则 可以看成点P与点A（0，1）的距离， 可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′，B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3 ，即原式的最小值为3 ．
根据以上阅读材料，代数式 + 的最小值为 ．
21．要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，不写作法，保留痕迹．
22．（2017·陕西模拟）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BC=2，D是线段BC上的一个动点，点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，则线段MN长的最小值是 ．
23．如图，△ABC中，AB+BC=8，A、C关于直线DE对称，则△BCD的周长是 ．
24．如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=120°，∠B=100°，那么∠BCD的度数等于 ．
25．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点A落在边BC的中点M处，点D落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP，若AB=2AD=4，则PE= ．
26．如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于E、F，若∠EPF=α，则∠AOB= ．
27．如图，P为△ABC内的一点，D、E、F分别是点P关于边AB、BC、CA所在直线的对称点，那么∠ADB+∠BEC+CFA等于 ．
28．（2017·准格尔旗模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP= 时，四边形APQE的周长最小．
29．如图，一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于 cm．
30．（2017八下·林州期末）如图，把一张矩形的纸沿对角线BD折叠，若AD=8，CE=3，则DE= ．
三、解答题
31．一犯罪分子正在两交叉公路间沿到两公路距离相等的一条小路上逃跑，埋伏在A、B两处的两名公安人员想在距A、B相等的距离处同时抓住这一罪犯．（如图）
请你帮助公安人员在图中设计出抓捕点，并说明理由．
32．（2017八上·蒙阴期末）如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB．
33．如图，△ABC中，∠A=60°，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O．
（1）∠BOC= °；
（2）将△ABC沿BD所在直线折叠，若点E落在BC上的M处，试证明：CM=CD．
34．如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，若△PEF的周长为15，求MN的长．
35．如图，在锐角三角形ABC中，BC=4 ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．
36．如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是P点关于OA、OB的对称点，且MN交OA、OB相交于点E，若△PEF的周长为20，求MN的长．
37．如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N．
（1）若CD的长为18厘米，求△PMN的周长；
（2）若∠AOB=28°，求∠MPN．
38．如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．
39．将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远．
40．（1）如图（1），把三角形纸片ABC的角A沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠A的内部，点A的对称点为点O，判断∠O、∠ODC、∠BEO的大小关系，并写出证明过程．
（2）如图（2），把三角形纸片ABC的角A沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠A的外部，点A的对称点为点O，判断∠O、∠ODC、∠BEO的大小关系吗？并写出证明过程．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE=ED．
∵AD=AE+DE=AE+BE=9．
∴BE=9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．
解得AE=4．
∴△ABE的面积为3×4÷2=6．
故答案为：A．
【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
2．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为4，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
∴所求最小值为2．
故选：D．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果．
3．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，
∴P1M=PM，P2N=PN，
△PMN的周长=MN+PM+PN=MN+P1M+P2N=P1P2，
∵P1P2=15，
∴△PMN的周长为15．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的性质可得P1M=PM，P2N=PN，然后根据三角形的周长定义求出△PMN的周长为P1P2，从而得解．
4．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于M，
∴CA′=AC，
∵AC=DB，
∴CA′=BD，
由分析可知，点M为饮水处，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACD=∠A′CD=∠BDC=90°，
又∵∠A′MC=∠BMD，
在△CA′M和△DBM中，
，
∴△CA′M≌△DBM（AAS），
∴A′M=BM，CM=DM，
即M为CD中点，
∴AM=BM=A′M=500，
所以最短距离为2AM=2×500=1000米，
故答案为：B．
【分析】如图，连接B和A关于CD对称的对称点，交CD于M，因此从A到M再到B点为最短距离．
5．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）正确；（2）正确；（3）正确；（4）“直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上”，应是一定在直线L上的．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的性质求解．
6．【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵l是四边形ABCD的对称轴，
∴∠CAD=∠BAC，∠ACD=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∴∠CAD=∠ACB=∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，AB=BC，故①②正确；
又∵l是四边形ABCD的对称轴，
∴AB=AD，BC=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，故④正确，
∵菱形ABCD不一定是正方形，
∴AB⊥BC不成立，故③错误，
综上所述，正确的结论有①②④共3个．
故选C．
【分析】根据轴对称图形的性质，四边形ABCD沿直线l对折能够完全重合，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD=∠ACB=∠BAC=∠ACD，然后根据内错角相等，两直线平行即可判定AB∥CD，根据等角对等边可得AB=BC，然后判定出四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分即可判定AO=OC；只有四边形ABCD是正方形时，AB⊥BC才成立．
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，
∴∠AEF+∠AFE=180°﹣60°=120°，
∴∠FEB+∠EFC=360°﹣120°=240°，
∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，
∴∠1+∠2=240°﹣120°=120°，
∵∠1=85°，
∴∠2=120°﹣85°=35°，
故答案为：D．
【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°﹣120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．
8．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设CH=x，DE=y，则DH= ﹣x，EH= ﹣y，
∵∠EHG=90°，
∴∠DHE+∠CHG=90°．
∵∠DHE+∠DEH=90°，
∴∠DEH=∠CHG，
又∵∠D=∠C=90°，△DEH∽△CHG，
∴ = = ，即 = = ，
∴CG= ，HG= ，
△CHG的周长为n=CH+CG+HG= ，
在Rt△DEH中，DH2+DE2=EH2
即（ ﹣x）2+y2=（ ﹣y）2
整理得 ﹣x2= ，
∴n=CH+HG+CG= = = ．
∴ = ．
故答案为：B．
【分析】设CH=x，DE=y，则DH= ﹣x，EH= ﹣y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEH∽△CHG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，HG分别用x，y分别表示，△CHG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEH中根据勾股定理可以得到 x﹣x2= y，进而求出△CHG的周长．
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=78°，
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣78°=102°，
∴∠1+∠2=360°﹣2×102°=156°．
故答案为：A．
【分析】先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．
10．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：根据对称的性质以及两点之间线段最短可知选项C是正确的．
故选C．
11．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：
作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°﹣120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
故答案为：B．
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
12．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，
则OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，
MP=P1M，PN=P2N，则△PMN的周长的最小值=P1P2
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2是等边三角形．
△PMN的周长=P1P2，
∴P1P2=OP1=OP2=OP=10．
故答案为：B
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长=P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解．
13．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵DC∥AB，
∴∠FCA=∠CAB，又∠FAC=∠CAB，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC= ，
∴FD=FE，
∵DC=AB=8，AF= ，
∴FD=FE=8﹣ = ，
∴AD=BC=EC= =6，
故选：D．
【分析】根据平行线的性质和翻转变换的性质得到FD=FE，FA=FC，根据勾股定理计算即可．
14．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∠C=∠C'=30°，
则△ABC中，∠B=180°﹣105°﹣30°=45°．
故答案为：B．
【分析】首先根据对称的两个图形全等求得∠C的度数，然后在△ABC中利用三角形内角和求解．
15．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：连结PG、PH，如图，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴OM垂直平分PG，ON垂直平分PH，
∴AP=AG，BP=BH，
∴△PAB的周长=AP+AB+BP
=AG+AB+BH
=GH
=10cm．
故选B．
【分析】连结PG、PH，如图，根据轴对称的性质得OM垂直平分PG，ON垂直平分PH，则根据线段垂直平分线的性质得AP=AG，BP=BH，于是利用等线段代换可得△PAB的周长=GH=10cm．
16．【答案】30°
【知识点】轴对称的性质
17．【答案】120°
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°﹣∠BAD=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，利用三角形内角和定理即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．
18．【答案】180
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，
∴∠B=∠HOG，∠A=∠DOE，∠C=∠EOF，∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE=360°，
∵∠HOG+∠EOF+∠DOE=∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠1+∠2=360°﹣180°=180°，
故答案为：180．
【分析】根据翻折变换前后对应角不变，故∠B=∠HOG，∠A=∠DOE，∠C=∠EOF，∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE=360°，进而求出∠1+∠2的度数．
19．【答案】①③⑤
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
20．【答案】10
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
21．【答案】解：作点A关于燃气管道L的对称点A′，连接A′B交L于点P，即点P即为所求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】作出A镇关于燃气管道的对称点A′，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题，A′B与燃气管道的交点即为所求的点P的位置．
22．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AM，AN，AD，
∵点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，
∴AM=AD=AN，
∴∠MAB=∠DAB，∠NAC=∠DAC，
∵∠BAC=45°，
∴∠MAN=90°，
∴△MAN是等腰直角三角形，
∴MN= AM，
∴当AM取最小值时，MN最小，
即AD取最小值时，MN最小，
∴当AD⊥BC时，AD最小，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH=BH= AB，
∴CH=（1﹣ ）AB，
∵BH2+CH2=BC2，
∴（ AB）2+[（1﹣ ）AB]2=4，
∴AB2=4+2 ，
∴AD= ，
∴MN= ，
∴线段MN长的最小值是 ．
【分析】因为点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，得到AM=AD=AN，根据等边对等角，得到∠MAB=∠DAB，∠NAC=∠DAC，因为∠BAC=45°，得到△MAN是等腰直角三角形，根据勾股定理得出当AM取最小值时，MN最小；根据勾股定理求出线段MN长的最小值.
23．【答案】8
【知识点】轴对称的性质
24．【答案】100°
【知识点】轴对称的性质
25．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）
26．【答案】90°﹣ α
【知识点】轴对称的性质
27．【答案】360°
【知识点】轴对称的性质
28．【答案】4
【知识点】矩形的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°．
设BP=x，则CQ=BC﹣BP﹣PQ=8﹣x﹣2=6﹣x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6﹣x=2，
解得x=4．
故答案为4．
【分析】根据对称的性质，得到GH=DF、EH、∠H、∠GEH的值，根据等腰三角形的性质，得到CQ=EC，求出四边形APQE的最小周长．
29．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）
30．【答案】5
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：
由翻折的性质可知：∠CBD=∠C′BD，BC=BC′=AD=8．
∵四边形ABC′D是矩形，
∴AD∥BC′．
∴∠EDB=∠DBC．
∴∠EBD=∠EDB．
∴ED=BE．
∴DE=BE=BC﹣EC=8﹣3=5．
故答案为：5．
【分析】如图所示，先证明∠CBD=∠C′BD，BC=BC′=AD=8，然后由平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，从而可证明∠EBD=∠EDB，于是得到ED=BE，从而可求得答案．
31．【答案】解：作∠MON的平分线OC，连接AB，作线段的垂直平分线与OC交于点P，则点P为抓捕点．
如图，
理由：角平分线上的点到角两边的距离相等（即犯罪分子在∠MON的角平分线上，点P也在其上）
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（所以点P在线段AB的垂直平分线上）．
∴两线的交点，即点P符合要求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】角平分线上的点到角两边的距离相，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，两线交点即为所求．
32．【答案】证明：如图，连接BC
∵CD⊥AB于D，D是AB的中点，即CD垂直平分AB，
∴AC=BC（中垂线的性质），
∵E为AC中点，BE⊥AC，
∴BC=AB（中垂线的性质），
∴AC=AB．
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【分析】作辅助线：连接BC，由CD垂直于AB，且D为AB中点，即CD所在直线为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到AC=BC，又E为AC中点，且BE垂直于AC，即BE所在的直线为AC的垂直平分线，同理可得BC=AB，等量代换即可得证．
33．【答案】（1）120
（2）连接OM，
∵∠BOC=120°，
∴∠BOE=60°，
由翻叠的性质可得：△BOE≌△BOM，
∴∠BOE=∠BOM=60°，
∴∠MOC=∠DOC=60°，
∵OC为∠DCM的角平分线，
∴∠DCO=∠MCO，
在△DCO与△MCO中，
∵ ，
∴△DCO≌△MCO （ASA），
∴CM=CD
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=60°，
∴∠ACB+∠ABC=180°﹣60°=120°，
∵∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+ ∠ACB= ×120°=60°，
∴∠BOC=180°﹣60°=120°，
故答案为：120；
【分析】（1）先根据三角形内角和得：∠ACB+∠ABC=120°，由角平分线定义得：∠OBC+∠OCB=60°，最后由三角形内角和可得结论；（2）证明△DCO≌△MCO可得结论．
34．【答案】解：∵点M是点P关于AO，的对称点，
∴AO垂直平分MP，
∴EP=EM．
同理PF=FN．
∵MN=ME+EF+FN，
∴MN=EP+EF+PF，
∵△PEF的周长为15，
∴MN=EP+EF+PF=15
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】根据轴对称的性质可知EP=EM，PF=FN，结合△PEF的周长为15，利用等量代换可知MN=EP+EF+PF=15．
35．【答案】解：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC=4 ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC cos45°=4 × =4．
故CM+MN的最小值为4．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=4 ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．
36．【答案】解：∵点M是P点关于OA的对称点，
∴EP=EM，
∵N是P点关于OB的对称点，
∴PF=FN，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，
∵△PEF的周长为20，
∴MN=20cm
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】根据轴对称的性质可知：EP=EM，PF=FN，所以线段MN的长=△PEF的周长，再根据△PEF的周长为20，即可得出MN的长．
37．【答案】（1）解：∵点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵△PMN的周长=PN+PM+MN，PN+PM+MN=CD=18cm，
∴△PMN的周长=18cm．
（2）解：∵P关于OA、OB的对称
∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD
∴CM=PM，PN=DN
∴∠PMN=2∠C，∠PNM=2∠D，
∵∠PRM=∠PTN=90°，
∴在四边形OTPR中，
∴∠CPD+∠O=180°，
∴∠CPD=180°﹣28°=152°
∴∠C+∠D=28°
∴∠MPN=180°﹣28°×2=124°
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据对称轴的意义，可以求出PM=CM，ND=NP，CD=18cm，可以求出△PMN的周长．（2）要求∠MPN的度数，要在△MPN中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与∠CPD的关系，利用已知∠AOB=28°可求出∠CPD，答案可得．
38．【答案】解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．
连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．
连接OM、ON，
由轴对称的性质可知，OM=ON=OP=8，
∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×30°=60°，
则△MON为等边三角形，
∴MN=8，
∵QP=QM，RN=RP，
∴△PQR周长=MN=8
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可．
39．【答案】解：作A点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，连接A′B′，则BB′=2+3=5，
则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，故将军应将马赶到河边的P地点．
作FB′=EA′，且FB′⊥CD，
∵FB′=EA′，FB′⊥CD，BB′∥A′A，
∴四边形A′B′BA是矩形，
∴B'A'=EF，
在Rt△BB′A′中，
BA′= =13，
答：将军最短需要走13公里
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】将此题转化为轴对称问题，作出A点关于河岸的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为将军要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．
40．【答案】（1）解：∠O= （∠ODC+∠OEB）；
理由：由折叠知，∠O=∠A，∠ADE=∠ODE，∠AED=∠OEB，
∵∠ODC+∠ODE+∠ADE=180°，
即：∠ODC+2∠ODE=180°，
∴∠ODE=90°﹣ ∠ODC，
同理：∠OED=90°﹣ ∠OEB，
在△ODE中，∠O+∠ODE+∠OED=180°，
∴∠O+90°﹣ ∠ODC+90°﹣ ∠OEB=180°，
∴∠O=（∠ODC+∠OEB）
（2）解：∠O= （∠ODC﹣∠OEB）； 理由：由折叠知，∠O=∠A，∠ADE=∠ODE，∠AED=∠OED，
∵∠ODC+∠ODE+∠ADE=180°，
即：∠ODC+2∠ODE=180°，
∴∠ODE=90°﹣ ∠ODC，
∵∠AED=∠OED，
∴∠AEO=360°﹣∠OED﹣∠AED=360°﹣2∠OED，
∵∠AEO=180°﹣∠OEB，
∴360°﹣2∠OED=180°﹣∠OEB，
∴∠OED=90°+ ∠OEB，
∵在△ODE中，∠O+∠ODE+∠OED=180°，
∴∠O+90°﹣ ∠ODC+90°+ ∠OEB=180°，
∴∠O= （∠ODC﹣∠OEB）
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据图1中∠A与∠O是相等的，再结合四边形的内角和定理及互补角的性质可得结论∠O= （∠ODC+∠BEO）；（2）根据图2中由于折叠∠A与∠O是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论∠O= （∠ODC﹣∠BEO）．
1 / 1初中数学北师大版七年级下册5.2探索轴对称的性质练习题
一、选择题
1．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE=ED．
∵AD=AE+DE=AE+BE=9．
∴BE=9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．
解得AE=4．
∴△ABE的面积为3×4÷2=6．
故答案为：A．
【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
2．（2017八下·东台期中）如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．2
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为4，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
∴所求最小值为2．
故选：D．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果．
3．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，P1P2=15，则△PMN的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，
∴P1M=PM，P2N=PN，
△PMN的周长=MN+PM+PN=MN+P1M+P2N=P1P2，
∵P1P2=15，
∴△PMN的周长为15．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的性质可得P1M=PM，P2N=PN，然后根据三角形的周长定义求出△PMN的周长为P1P2，从而得解．
4．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）
A．750米 B．1000米 C．1500米 D．2000米
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于M，
∴CA′=AC，
∵AC=DB，
∴CA′=BD，
由分析可知，点M为饮水处，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACD=∠A′CD=∠BDC=90°，
又∵∠A′MC=∠BMD，
在△CA′M和△DBM中，
，
∴△CA′M≌△DBM（AAS），
∴A′M=BM，CM=DM，
即M为CD中点，
∴AM=BM=A′M=500，
所以最短距离为2AM=2×500=1000米，
故答案为：B．
【分析】如图，连接B和A关于CD对称的对称点，交CD于M，因此从A到M再到B点为最短距离．
5．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，下列结论中正确的有（ ）
⑴△ABC≌△A′B′C′
⑵∠BAC=∠B′A′C′
⑶直线L垂直平分CC′
⑷直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）正确；（2）正确；（3）正确；（4）“直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上”，应是一定在直线L上的．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的性质求解．
6．（2017八上·蒙阴期末）如图所示，l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论：
①AB∥CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵l是四边形ABCD的对称轴，
∴∠CAD=∠BAC，∠ACD=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∴∠CAD=∠ACB=∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，AB=BC，故①②正确；
又∵l是四边形ABCD的对称轴，
∴AB=AD，BC=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，故④正确，
∵菱形ABCD不一定是正方形，
∴AB⊥BC不成立，故③错误，
综上所述，正确的结论有①②④共3个．
故选C．
【分析】根据轴对称图形的性质，四边形ABCD沿直线l对折能够完全重合，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD=∠ACB=∠BAC=∠ACD，然后根据内错角相等，两直线平行即可判定AB∥CD，根据等角对等边可得AB=BC，然后判定出四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分即可判定AO=OC；只有四边形ABCD是正方形时，AB⊥BC才成立．
7．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=85°，则∠2的度数为（ ）
A．24° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，
∴∠AEF+∠AFE=180°﹣60°=120°，
∴∠FEB+∠EFC=360°﹣120°=240°，
∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，
∴∠1+∠2=240°﹣120°=120°，
∵∠1=85°，
∴∠2=120°﹣85°=35°，
故答案为：D．
【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°﹣120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．
8．如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．随H点位置的变化而变化
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设CH=x，DE=y，则DH= ﹣x，EH= ﹣y，
∵∠EHG=90°，
∴∠DHE+∠CHG=90°．
∵∠DHE+∠DEH=90°，
∴∠DEH=∠CHG，
又∵∠D=∠C=90°，△DEH∽△CHG，
∴ = = ，即 = = ，
∴CG= ，HG= ，
△CHG的周长为n=CH+CG+HG= ，
在Rt△DEH中，DH2+DE2=EH2
即（ ﹣x）2+y2=（ ﹣y）2
整理得 ﹣x2= ，
∴n=CH+HG+CG= = = ．
∴ = ．
故答案为：B．
【分析】设CH=x，DE=y，则DH= ﹣x，EH= ﹣y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEH∽△CHG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，HG分别用x，y分别表示，△CHG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEH中根据勾股定理可以得到 x﹣x2= y，进而求出△CHG的周长．
9．如图，一张△ABC纸片，小明将△ABC沿着DE折叠并压平，点A与A′重合，若∠A=78°，则∠1+∠2=（ ）
A．156° B．204° C．102° D．78°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=78°，
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣78°=102°，
∴∠1+∠2=360°﹣2×102°=156°．
故答案为：A．
【分析】先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．
10．（2017八下·宁德期末）如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：根据对称的性质以及两点之间线段最短可知选项C是正确的．
故选C．
11．如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．60° B．120° C．90° D．45°
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：
作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°﹣120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
故答案为：B．
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
12．如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=10，点M、N分别在OA、OB上，求△PMN周长的最小值（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，
则OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，
MP=P1M，PN=P2N，则△PMN的周长的最小值=P1P2
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2是等边三角形．
△PMN的周长=P1P2，
∴P1P2=OP1=OP2=OP=10．
故答案为：B
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长=P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解．
13．（2016·南岗模拟）如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF= ，则AD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵DC∥AB，
∴∠FCA=∠CAB，又∠FAC=∠CAB，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC= ，
∴FD=FE，
∵DC=AB=8，AF= ，
∴FD=FE=8﹣ = ，
∴AD=BC=EC= =6，
故选：D．
【分析】根据平行线的性质和翻转变换的性质得到FD=FE，FA=FC，根据勾股定理计算即可．
14．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=105°，∠C′=30°，则∠B=（ ）
A．25° B．45° C．30° D．20°
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∠C=∠C'=30°，
则△ABC中，∠B=180°﹣105°﹣30°=45°．
故答案为：B．
【分析】首先根据对称的两个图形全等求得∠C的度数，然后在△ABC中利用三角形内角和求解．
15．（2016·龙岗模拟）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．15cm
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：连结PG、PH，如图，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴OM垂直平分PG，ON垂直平分PH，
∴AP=AG，BP=BH，
∴△PAB的周长=AP+AB+BP
=AG+AB+BH
=GH
=10cm．
故选B．
【分析】连结PG、PH，如图，根据轴对称的性质得OM垂直平分PG，ON垂直平分PH，则根据线段垂直平分线的性质得AP=AG，BP=BH，于是利用等线段代换可得△PAB的周长=GH=10cm．
二、填空题
16．如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1=110°，∠2=40°，则x= ．
【答案】30°
【知识点】轴对称的性质
17．（2017八上·盂县期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=120°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是 ．
【答案】120°
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°﹣∠BAD=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，利用三角形内角和定理即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．
18．如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为 °．
【答案】180
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，
∴∠B=∠HOG，∠A=∠DOE，∠C=∠EOF，∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE=360°，
∵∠HOG+∠EOF+∠DOE=∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠1+∠2=360°﹣180°=180°，
故答案为：180．
【分析】根据翻折变换前后对应角不变，故∠B=∠HOG，∠A=∠DOE，∠C=∠EOF，∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE=360°，进而求出∠1+∠2的度数．
19．把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕．若∠EFB=35°，则下面五个结论：①∠CEF=35°；②∠AEC=145°；③∠BGE=70°；④∠EFD′=110°；⑤∠D′FD=70°．其中正确的是 ．（只填序号）
【答案】①③⑤
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
20．阅读材料
例：说明代数式 + 的几何意义，并求它的最小值．
解： + = + ，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则 可以看成点P与点A（0，1）的距离， 可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′，B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3 ，即原式的最小值为3 ．
根据以上阅读材料，代数式 + 的最小值为 ．
【答案】10
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
21．要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，不写作法，保留痕迹．
【答案】解：作点A关于燃气管道L的对称点A′，连接A′B交L于点P，即点P即为所求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】作出A镇关于燃气管道的对称点A′，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题，A′B与燃气管道的交点即为所求的点P的位置．
22．（2017·陕西模拟）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BC=2，D是线段BC上的一个动点，点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，则线段MN长的最小值是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AM，AN，AD，
∵点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，
∴AM=AD=AN，
∴∠MAB=∠DAB，∠NAC=∠DAC，
∵∠BAC=45°，
∴∠MAN=90°，
∴△MAN是等腰直角三角形，
∴MN= AM，
∴当AM取最小值时，MN最小，
即AD取最小值时，MN最小，
∴当AD⊥BC时，AD最小，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH=BH= AB，
∴CH=（1﹣ ）AB，
∵BH2+CH2=BC2，
∴（ AB）2+[（1﹣ ）AB]2=4，
∴AB2=4+2 ，
∴AD= ，
∴MN= ，
∴线段MN长的最小值是 ．
【分析】因为点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，得到AM=AD=AN，根据等边对等角，得到∠MAB=∠DAB，∠NAC=∠DAC，因为∠BAC=45°，得到△MAN是等腰直角三角形，根据勾股定理得出当AM取最小值时，MN最小；根据勾股定理求出线段MN长的最小值.
23．如图，△ABC中，AB+BC=8，A、C关于直线DE对称，则△BCD的周长是 ．
【答案】8
【知识点】轴对称的性质
24．如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=120°，∠B=100°，那么∠BCD的度数等于 ．
【答案】100°
【知识点】轴对称的性质
25．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点A落在边BC的中点M处，点D落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP，若AB=2AD=4，则PE= ．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）
26．如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于E、F，若∠EPF=α，则∠AOB= ．
【答案】90°﹣ α
【知识点】轴对称的性质
27．如图，P为△ABC内的一点，D、E、F分别是点P关于边AB、BC、CA所在直线的对称点，那么∠ADB+∠BEC+CFA等于 ．
【答案】360°
【知识点】轴对称的性质
28．（2017·准格尔旗模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP= 时，四边形APQE的周长最小．
【答案】4
【知识点】矩形的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°．
设BP=x，则CQ=BC﹣BP﹣PQ=8﹣x﹣2=6﹣x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6﹣x=2，
解得x=4．
故答案为4．
【分析】根据对称的性质，得到GH=DF、EH、∠H、∠GEH的值，根据等腰三角形的性质，得到CQ=EC，求出四边形APQE的最小周长．
29．如图，一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于 cm．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）
30．（2017八下·林州期末）如图，把一张矩形的纸沿对角线BD折叠，若AD=8，CE=3，则DE= ．
【答案】5
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：
由翻折的性质可知：∠CBD=∠C′BD，BC=BC′=AD=8．
∵四边形ABC′D是矩形，
∴AD∥BC′．
∴∠EDB=∠DBC．
∴∠EBD=∠EDB．
∴ED=BE．
∴DE=BE=BC﹣EC=8﹣3=5．
故答案为：5．
【分析】如图所示，先证明∠CBD=∠C′BD，BC=BC′=AD=8，然后由平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，从而可证明∠EBD=∠EDB，于是得到ED=BE，从而可求得答案．
三、解答题
31．一犯罪分子正在两交叉公路间沿到两公路距离相等的一条小路上逃跑，埋伏在A、B两处的两名公安人员想在距A、B相等的距离处同时抓住这一罪犯．（如图）
请你帮助公安人员在图中设计出抓捕点，并说明理由．
【答案】解：作∠MON的平分线OC，连接AB，作线段的垂直平分线与OC交于点P，则点P为抓捕点．
如图，
理由：角平分线上的点到角两边的距离相等（即犯罪分子在∠MON的角平分线上，点P也在其上）
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（所以点P在线段AB的垂直平分线上）．
∴两线的交点，即点P符合要求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】角平分线上的点到角两边的距离相，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，两线交点即为所求．
32．（2017八上·蒙阴期末）如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB．
【答案】证明：如图，连接BC
∵CD⊥AB于D，D是AB的中点，即CD垂直平分AB，
∴AC=BC（中垂线的性质），
∵E为AC中点，BE⊥AC，
∴BC=AB（中垂线的性质），
∴AC=AB．
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【分析】作辅助线：连接BC，由CD垂直于AB，且D为AB中点，即CD所在直线为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到AC=BC，又E为AC中点，且BE垂直于AC，即BE所在的直线为AC的垂直平分线，同理可得BC=AB，等量代换即可得证．
33．如图，△ABC中，∠A=60°，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O．
（1）∠BOC= °；
（2）将△ABC沿BD所在直线折叠，若点E落在BC上的M处，试证明：CM=CD．
【答案】（1）120
（2）连接OM，
∵∠BOC=120°，
∴∠BOE=60°，
由翻叠的性质可得：△BOE≌△BOM，
∴∠BOE=∠BOM=60°，
∴∠MOC=∠DOC=60°，
∵OC为∠DCM的角平分线，
∴∠DCO=∠MCO，
在△DCO与△MCO中，
∵ ，
∴△DCO≌△MCO （ASA），
∴CM=CD
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=60°，
∴∠ACB+∠ABC=180°﹣60°=120°，
∵∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+ ∠ACB= ×120°=60°，
∴∠BOC=180°﹣60°=120°，
故答案为：120；
【分析】（1）先根据三角形内角和得：∠ACB+∠ABC=120°，由角平分线定义得：∠OBC+∠OCB=60°，最后由三角形内角和可得结论；（2）证明△DCO≌△MCO可得结论．
34．如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，若△PEF的周长为15，求MN的长．
【答案】解：∵点M是点P关于AO，的对称点，
∴AO垂直平分MP，
∴EP=EM．
同理PF=FN．
∵MN=ME+EF+FN，
∴MN=EP+EF+PF，
∵△PEF的周长为15，
∴MN=EP+EF+PF=15
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】根据轴对称的性质可知EP=EM，PF=FN，结合△PEF的周长为15，利用等量代换可知MN=EP+EF+PF=15．
35．如图，在锐角三角形ABC中，BC=4 ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．
【答案】解：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC=4 ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC cos45°=4 × =4．
故CM+MN的最小值为4．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=4 ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．
36．如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是P点关于OA、OB的对称点，且MN交OA、OB相交于点E，若△PEF的周长为20，求MN的长．
【答案】解：∵点M是P点关于OA的对称点，
∴EP=EM，
∵N是P点关于OB的对称点，
∴PF=FN，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，
∵△PEF的周长为20，
∴MN=20cm
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】根据轴对称的性质可知：EP=EM，PF=FN，所以线段MN的长=△PEF的周长，再根据△PEF的周长为20，即可得出MN的长．
37．如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N．
（1）若CD的长为18厘米，求△PMN的周长；
（2）若∠AOB=28°，求∠MPN．
【答案】（1）解：∵点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵△PMN的周长=PN+PM+MN，PN+PM+MN=CD=18cm，
∴△PMN的周长=18cm．
（2）解：∵P关于OA、OB的对称
∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD
∴CM=PM，PN=DN
∴∠PMN=2∠C，∠PNM=2∠D，
∵∠PRM=∠PTN=90°，
∴在四边形OTPR中，
∴∠CPD+∠O=180°，
∴∠CPD=180°﹣28°=152°
∴∠C+∠D=28°
∴∠MPN=180°﹣28°×2=124°
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据对称轴的意义，可以求出PM=CM，ND=NP，CD=18cm，可以求出△PMN的周长．（2）要求∠MPN的度数，要在△MPN中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与∠CPD的关系，利用已知∠AOB=28°可求出∠CPD，答案可得．
38．如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．
【答案】解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．
连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．
连接OM、ON，
由轴对称的性质可知，OM=ON=OP=8，
∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×30°=60°，
则△MON为等边三角形，
∴MN=8，
∵QP=QM，RN=RP，
∴△PQR周长=MN=8
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可．
39．将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远．
【答案】解：作A点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，连接A′B′，则BB′=2+3=5，
则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，故将军应将马赶到河边的P地点．
作FB′=EA′，且FB′⊥CD，
∵FB′=EA′，FB′⊥CD，BB′∥A′A，
∴四边形A′B′BA是矩形，
∴B'A'=EF，
在Rt△BB′A′中，
BA′= =13，
答：将军最短需要走13公里
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】将此题转化为轴对称问题，作出A点关于河岸的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为将军要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．
40．（1）如图（1），把三角形纸片ABC的角A沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠A的内部，点A的对称点为点O，判断∠O、∠ODC、∠BEO的大小关系，并写出证明过程．
（2）如图（2），把三角形纸片ABC的角A沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠A的外部，点A的对称点为点O，判断∠O、∠ODC、∠BEO的大小关系吗？并写出证明过程．
【答案】（1）解：∠O= （∠ODC+∠OEB）；
理由：由折叠知，∠O=∠A，∠ADE=∠ODE，∠AED=∠OEB，
∵∠ODC+∠ODE+∠ADE=180°，
即：∠ODC+2∠ODE=180°，
∴∠ODE=90°﹣ ∠ODC，
同理：∠OED=90°﹣ ∠OEB，
在△ODE中，∠O+∠ODE+∠OED=180°，
∴∠O+90°﹣ ∠ODC+90°﹣ ∠OEB=180°，
∴∠O=（∠ODC+∠OEB）
（2）解：∠O= （∠ODC﹣∠OEB）； 理由：由折叠知，∠O=∠A，∠ADE=∠ODE，∠AED=∠OED，
∵∠ODC+∠ODE+∠ADE=180°，
即：∠ODC+2∠ODE=180°，
∴∠ODE=90°﹣ ∠ODC，
∵∠AED=∠OED，
∴∠AEO=360°﹣∠OED﹣∠AED=360°﹣2∠OED，
∵∠AEO=180°﹣∠OEB，
∴360°﹣2∠OED=180°﹣∠OEB，
∴∠OED=90°+ ∠OEB，
∵在△ODE中，∠O+∠ODE+∠OED=180°，
∴∠O+90°﹣ ∠ODC+90°+ ∠OEB=180°，
∴∠O= （∠ODC﹣∠OEB）
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据图1中∠A与∠O是相等的，再结合四边形的内角和定理及互补角的性质可得结论∠O= （∠ODC+∠BEO）；（2）根据图2中由于折叠∠A与∠O是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论∠O= （∠ODC﹣∠BEO）．
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