2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.6 利用 三角函数测高
一、选择题
1．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（ ）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．
A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，
∵CE∥AP，
∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形，
∴CE=PQ=2，CQ=PE，
∵i= = = ，
∴设CQ=4x、BQ=3x，
由BQ2+CQ2=BC2可得（4x）2+（3x）2=102，
解得：x=2或x=﹣2（舍），
则CQ=PE=8，BQ=6，
∴DP=DE+PE=11，
在Rt△ADP中，∵AP= = ≈13.1，
∴AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1，
故答案为：A．
【分析】根据已知条件得到四边形CEPQ为矩形，再由坡度i的定义和勾股定理求出CQ=PE、BQ的值，得到DP=DE+PE的值，由正切的定义求出AB=AP﹣BQ﹣PQ的值.
2．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米， ≈1.414）（ ）
A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，
∵∠BDB'=∠B'DC=22.5°，
∴EB'=B'C，
∵∠BEB′=45°，
∴EB′=B′F=10√2，
∴DF=20+10√2，
∴DC=DF+FC=20+10√2+1.6≈35.74=35.7，
故答案为：C，
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到EB'=B'C，再根据勾股定理求出DC=DF+FC的值.
3．（2017·龙岗模拟）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α=75°，若AC=6米，则树高BC为（ ）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，
∴ =tanα，
∴BC=AC tanα=6tanα=6tan75°（米）．
故选：D．
【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．
4．（2017·苏州模拟）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=30m则信号发射塔顶端到地面的高度（即FG的长）为（ ）
A．（35 +55）m B．（25 +45）m
C．（25 +75）m D．（50+20 ）m
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设CG=xm，
由图可知：EF=（x+20） tan45°，FG=x tan60°，
则（x+20）tan45°+30=xtan60°，
解得x= =25（ +1），
则FG=x tan60°=25（ +1）× =（75+25 ）m．
故选C．
【分析】将题目中所涉及到的仰角转换为直角三角形的内角，利用解直角三角形的知识表示出线段CG的长，根据三角函数值求得CG的长，代入FG=x tanβ即可求得．
5．如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（ ）
A．15 海里 B．30海里 C．45海里 D．30 海里
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作BD⊥AP，垂足为D
．
根据题意，得∠BAD=30°，BD=15海里，
∴∠PBD=60°，
则∠DPB=30°，BP=15×2=30（海里），
故答案为：B．
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出BP的值.
6．如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行（ ）
A． 海里 B． 海里
C． 海里 D． 海里
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：作AC⊥OB于C点，
只要到C处，轮船离电视塔最近，求出BC长即可，
由已知得：∠AOB=30°，∠ABC=45°、OB=20海里，
∴BC=AC，CO=AC÷tan∠AOB=AC÷tan30°= ，
∵CO﹣CB= ﹣AC=20，
解得：AC= 海里，
∴BC=AC=10（ +1）海里，
故答案为：A．
【分析】根据正切的定义和特殊角的三角函数值求出CO的值，求出BC=AC的值.
7．如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是（ ）
A．7 海里/时 B．7 海里/时
C．7 海里/时 D．28 海里/时
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：设货船的航行速度为x海里/时，4小时后货船在点B处，作PQ⊥AB于点Q．
由题意AP=56海里，PB=4x海里，
在直角三角形APQ中，∠APQ=60°，
所以PQ=28．
在直角三角形PQB中，∠BPQ=45°，
所以，PQ=PB×cos45°=2 x．
所以，2 x=28，
解得：x=7 ．
故答案为：A．
【分析】由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出PQ的值，再根据余弦值的定义求出货船的航行速度.
8．如图，小颖家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的400米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）
A．200米 B．200 米 C． 米 D．400 米
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意∠AOB=90°﹣60°=30°，OA=400米，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∴AB= AO=200米．
故答案为：A．
【分析】由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出AB的值即可.
9．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AB=2米，则点P到直线AB距离PC为（ ）
A．3米 B． 米 C．2米 D．1米
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设点P到直线AB距离PC为x米，
在Rt△APC中，AC= x，
在Rt△BPC中，BC= = x，
由题意得， x﹣ x=2，
解得，x= （米），
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求出各个边的关系，再由正切值的定义求出点P到直线AB距离PC的值.
10．如图，数学实习小组在高300米的山腰（即PH=300米）P处进行测量，测得对面山坡上A处的俯角为30°，对面山脚B处的俯角60°，已知tan∠ABC= ，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上，且PH⊥BC，则A，B两点间的距离为（ ）米．
A．200 B．200 C．100 D．100
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵tan∠ABC= ，
∴∠ABC=30°，
由题意得，∠PBH=60°，
∴∠PBA=90°，
在Rt△PBH中，PB= =200 ，
在Rt△PBA中，AB=PB tan∠APB=200，
故答案为：B．
【分析】根据正切值的定义和特殊角的函数值得到∠ABC=30°，∠PBA=90°，求出AB=PB tan∠APB的值.
二、填空题
11．如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为 米（结果保留根号）．
【答案】100
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，连接AN，
由题意知，BM⊥AA'，BA=BA'
∴AN=A'N，
∴∠ANB=∠A'NB=45°，
∵∠AMB=22.5°，
∴∠MAN=∠ANB﹣∠AMB=22.5°=∠AMN，
∴AN=MN=200米，
在Rt△ABN中，∠ANB=45°，
∴AB= AN=100 （米），
故答案为100 ．
【分析】根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到AN=A'N，再根据勾股定理求出AB的值.
12．一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为 米．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△BCD中，∵tan∠CBD= ，
∴BD= ，
在Rt△ACD中，∵tan∠A== ，
∴tanα= ，
解得：CD= ，
故答案为： ．
【分析】根据解直角三角形正切的定义，得到塔高CD的代数式.
13．如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头 A北偏东60°的方向，在码头 B北偏西45°的方向，AC=4km．游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到 A、B所用时间相等，则 = （结果保留根号）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：作CD⊥AB于点B．
∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°﹣60°=30°，
∴CD=AC sin∠CAD=4× =2（km），
∵Rt△BCD中，∠CBD=90°，
∴BC= CD=2 （km），
∴ = = = ．
故答案是： ．
【分析】根据解直角三角形中正弦的定义求出CD=AC sin∠CAD的值，由勾股定理求出BC的值，求出比值即可.
14．如图，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向．办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离 ．
【答案】（60+20 ）米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意可知：
∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=30°，∠BPC=45°．
在Rt△BPC中，
∵∠BCP=90°，∠B=∠BPC=45°，
∴BC=PC=60．
在Rt△ACP中，
∵∠ACP=90°，∠APC=30°，
tan30°= ，
∴AC=PC tan30°=tan30°×60=60× =20 （米）．
∴AB=AC+BC=60+20 （米）．
答：教学楼A与办公楼B之间的距离是（60+20 ）米．
故答案是：（60+20 ）米．
【分析】根据已知条件得到BC=PC的值，再根据正切的定义求出AC=PC tan30°的值，得到AB=AC+BC的值.
15．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为 米．（结果保留根号）
【答案】（30+10 ）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，
设CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30，
∴HD=x﹣30+10=x﹣20，
在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，
∴tan30°= ，
∴ = ，
解得x=30+10 ．
∴河的宽度为（30+10 ）米．
【分析】根据三角函数的正切定义直接求出河的宽度.
16．在一次数学实验活动中，老师带领学生去测一条南北流向的河的宽度．如图，某同学在河东岸点A处观测河对岸水边有点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，则这条河的宽度 米．（参考数据： ）
【答案】30
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，
设CE=x，
由题意得∠CBE=45°，∠CAE=31°，
∴∠CBE=∠BCE=45°，
∴CE=BE=x，AE=20+x，
∵tan31°= = ，
∴ = ，
∴x=30，
∴CE=30米．
故答案为30．
【分析】根据解直角三角形中正切值的定义，求出CE的值.
三、解答题
17．在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD（如图所示），已知标语牌的高AB=5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．（计算结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
【答案】解：如图作FH⊥AE于H．
由题意可知∠HAF=∠HFA=45°，
∴AH=HF，设AH=HF=x，则EF=2x，EH= x，
在Rt△AEB中，∵∠E=30°，AB=5米，
∴AE=2AB=10米，
∴x+ x=10，
∴x=5 ﹣5，
∴EF=2x=10 ﹣10≈7.3米，
答：E与点F之间的距离为7.3米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据勾股定理得到各个边的关系，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出点E与点F之间的距离.
18．如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点A处测得码头C在船的东北方向，航行40分钟后到达B处，这时码头C恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头C的最近距离．（结果精确到0.1海里，参考数据 ≈1.41， ≈1.73）
【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，AB=30× =20，∵∠NAC=45°，∠NAB=75°，∴∠DAB=30°，∴BD= AB=10，由勾股定理可知：AD=10 ∵BC∥AN，∴∠BCD=45°，∴CD=BD=10，∴AC=10 +10∵∠DAB=30°，∴CE= AC=5 +5≈13.7答：船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据题意得到AB的值，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半和勾股定理，求出AD的值，得到CE的值.
1 / 12017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.6 利用 三角函数测高
一、选择题
1．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（ ）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．
A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米
2．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米， ≈1.414）（ ）
A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米
3．（2017·龙岗模拟）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α=75°，若AC=6米，则树高BC为（ ）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
4．（2017·苏州模拟）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=30m则信号发射塔顶端到地面的高度（即FG的长）为（ ）
A．（35 +55）m B．（25 +45）m
C．（25 +75）m D．（50+20 ）m
5．如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（ ）
A．15 海里 B．30海里 C．45海里 D．30 海里
6．如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行（ ）
A． 海里 B． 海里
C． 海里 D． 海里
7．如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是（ ）
A．7 海里/时 B．7 海里/时
C．7 海里/时 D．28 海里/时
8．如图，小颖家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的400米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）
A．200米 B．200 米 C． 米 D．400 米
9．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AB=2米，则点P到直线AB距离PC为（ ）
A．3米 B． 米 C．2米 D．1米
10．如图，数学实习小组在高300米的山腰（即PH=300米）P处进行测量，测得对面山坡上A处的俯角为30°，对面山脚B处的俯角60°，已知tan∠ABC= ，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上，且PH⊥BC，则A，B两点间的距离为（ ）米．
A．200 B．200 C．100 D．100
二、填空题
11．如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为 米（结果保留根号）．
12．一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为 米．
13．如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头 A北偏东60°的方向，在码头 B北偏西45°的方向，AC=4km．游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到 A、B所用时间相等，则 = （结果保留根号）．
14．如图，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向．办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离 ．
15．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为 米．（结果保留根号）
16．在一次数学实验活动中，老师带领学生去测一条南北流向的河的宽度．如图，某同学在河东岸点A处观测河对岸水边有点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，则这条河的宽度 米．（参考数据： ）
三、解答题
17．在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD（如图所示），已知标语牌的高AB=5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．（计算结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
18．如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点A处测得码头C在船的东北方向，航行40分钟后到达B处，这时码头C恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头C的最近距离．（结果精确到0.1海里，参考数据 ≈1.41， ≈1.73）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，
∵CE∥AP，
∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形，
∴CE=PQ=2，CQ=PE，
∵i= = = ，
∴设CQ=4x、BQ=3x，
由BQ2+CQ2=BC2可得（4x）2+（3x）2=102，
解得：x=2或x=﹣2（舍），
则CQ=PE=8，BQ=6，
∴DP=DE+PE=11，
在Rt△ADP中，∵AP= = ≈13.1，
∴AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1，
故答案为：A．
【分析】根据已知条件得到四边形CEPQ为矩形，再由坡度i的定义和勾股定理求出CQ=PE、BQ的值，得到DP=DE+PE的值，由正切的定义求出AB=AP﹣BQ﹣PQ的值.
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，
∵∠BDB'=∠B'DC=22.5°，
∴EB'=B'C，
∵∠BEB′=45°，
∴EB′=B′F=10√2，
∴DF=20+10√2，
∴DC=DF+FC=20+10√2+1.6≈35.74=35.7，
故答案为：C，
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到EB'=B'C，再根据勾股定理求出DC=DF+FC的值.
3．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，
∴ =tanα，
∴BC=AC tanα=6tanα=6tan75°（米）．
故选：D．
【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设CG=xm，
由图可知：EF=（x+20） tan45°，FG=x tan60°，
则（x+20）tan45°+30=xtan60°，
解得x= =25（ +1），
则FG=x tan60°=25（ +1）× =（75+25 ）m．
故选C．
【分析】将题目中所涉及到的仰角转换为直角三角形的内角，利用解直角三角形的知识表示出线段CG的长，根据三角函数值求得CG的长，代入FG=x tanβ即可求得．
5．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作BD⊥AP，垂足为D
．
根据题意，得∠BAD=30°，BD=15海里，
∴∠PBD=60°，
则∠DPB=30°，BP=15×2=30（海里），
故答案为：B．
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出BP的值.
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：作AC⊥OB于C点，
只要到C处，轮船离电视塔最近，求出BC长即可，
由已知得：∠AOB=30°，∠ABC=45°、OB=20海里，
∴BC=AC，CO=AC÷tan∠AOB=AC÷tan30°= ，
∵CO﹣CB= ﹣AC=20，
解得：AC= 海里，
∴BC=AC=10（ +1）海里，
故答案为：A．
【分析】根据正切的定义和特殊角的三角函数值求出CO的值，求出BC=AC的值.
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：设货船的航行速度为x海里/时，4小时后货船在点B处，作PQ⊥AB于点Q．
由题意AP=56海里，PB=4x海里，
在直角三角形APQ中，∠APQ=60°，
所以PQ=28．
在直角三角形PQB中，∠BPQ=45°，
所以，PQ=PB×cos45°=2 x．
所以，2 x=28，
解得：x=7 ．
故答案为：A．
【分析】由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出PQ的值，再根据余弦值的定义求出货船的航行速度.
8．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意∠AOB=90°﹣60°=30°，OA=400米，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∴AB= AO=200米．
故答案为：A．
【分析】由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出AB的值即可.
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设点P到直线AB距离PC为x米，
在Rt△APC中，AC= x，
在Rt△BPC中，BC= = x，
由题意得， x﹣ x=2，
解得，x= （米），
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求出各个边的关系，再由正切值的定义求出点P到直线AB距离PC的值.
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵tan∠ABC= ，
∴∠ABC=30°，
由题意得，∠PBH=60°，
∴∠PBA=90°，
在Rt△PBH中，PB= =200 ，
在Rt△PBA中，AB=PB tan∠APB=200，
故答案为：B．
【分析】根据正切值的定义和特殊角的函数值得到∠ABC=30°，∠PBA=90°，求出AB=PB tan∠APB的值.
11．【答案】100
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，连接AN，
由题意知，BM⊥AA'，BA=BA'
∴AN=A'N，
∴∠ANB=∠A'NB=45°，
∵∠AMB=22.5°，
∴∠MAN=∠ANB﹣∠AMB=22.5°=∠AMN，
∴AN=MN=200米，
在Rt△ABN中，∠ANB=45°，
∴AB= AN=100 （米），
故答案为100 ．
【分析】根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到AN=A'N，再根据勾股定理求出AB的值.
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△BCD中，∵tan∠CBD= ，
∴BD= ，
在Rt△ACD中，∵tan∠A== ，
∴tanα= ，
解得：CD= ，
故答案为： ．
【分析】根据解直角三角形正切的定义，得到塔高CD的代数式.
13．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：作CD⊥AB于点B．
∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°﹣60°=30°，
∴CD=AC sin∠CAD=4× =2（km），
∵Rt△BCD中，∠CBD=90°，
∴BC= CD=2 （km），
∴ = = = ．
故答案是： ．
【分析】根据解直角三角形中正弦的定义求出CD=AC sin∠CAD的值，由勾股定理求出BC的值，求出比值即可.
14．【答案】（60+20 ）米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意可知：
∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=30°，∠BPC=45°．
在Rt△BPC中，
∵∠BCP=90°，∠B=∠BPC=45°，
∴BC=PC=60．
在Rt△ACP中，
∵∠ACP=90°，∠APC=30°，
tan30°= ，
∴AC=PC tan30°=tan30°×60=60× =20 （米）．
∴AB=AC+BC=60+20 （米）．
答：教学楼A与办公楼B之间的距离是（60+20 ）米．
故答案是：（60+20 ）米．
【分析】根据已知条件得到BC=PC的值，再根据正切的定义求出AC=PC tan30°的值，得到AB=AC+BC的值.
15．【答案】（30+10 ）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，
设CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30，
∴HD=x﹣30+10=x﹣20，
在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，
∴tan30°= ，
∴ = ，
解得x=30+10 ．
∴河的宽度为（30+10 ）米．
【分析】根据三角函数的正切定义直接求出河的宽度.
16．【答案】30
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，
设CE=x，
由题意得∠CBE=45°，∠CAE=31°，
∴∠CBE=∠BCE=45°，
∴CE=BE=x，AE=20+x，
∵tan31°= = ，
∴ = ，
∴x=30，
∴CE=30米．
故答案为30．
【分析】根据解直角三角形中正切值的定义，求出CE的值.
17．【答案】解：如图作FH⊥AE于H．
由题意可知∠HAF=∠HFA=45°，
∴AH=HF，设AH=HF=x，则EF=2x，EH= x，
在Rt△AEB中，∵∠E=30°，AB=5米，
∴AE=2AB=10米，
∴x+ x=10，
∴x=5 ﹣5，
∴EF=2x=10 ﹣10≈7.3米，
答：E与点F之间的距离为7.3米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据勾股定理得到各个边的关系，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出点E与点F之间的距离.
18．【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，AB=30× =20，∵∠NAC=45°，∠NAB=75°，∴∠DAB=30°，∴BD= AB=10，由勾股定理可知：AD=10 ∵BC∥AN，∴∠BCD=45°，∴CD=BD=10，∴AC=10 +10∵∠DAB=30°，∴CE= AC=5 +5≈13.7答：船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据题意得到AB的值，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半和勾股定理，求出AD的值，得到CE的值.
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