2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.1 锐角三角函数
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设BC=x，则AB=3x，
由勾股定理得，AC= =2 x，
则tanB= =2 ，
故答案为：A．
【分析】根据已知条件可设BC=x，则AB=3x，再由勾股定理可将AC用x表示出来，最后根据锐角三角函数的定义可求得tanB的值。
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，则tanA等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=1，AB=2，
∴AC= = ，
∴tanA= = ，
故答案为：C．
【分析】由勾股定理可求出AC的长，再根据锐角三角函数可求tanA的值。
3．（2016九上·蓬江期末）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】连接AC，则∠A=90°，AC= ，AB=2 ，
则tan∠ABC= = = .
【分析】观察图形，可知连接AC后,∠A=90°,先利用勾股定理分别求出AC、AB的长，再根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正切值。
4．在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由图可得，tanα=2÷1=2．
故选D．
【分析】此题可以根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．
5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
如图，在直角△ABD中，AD=3，BD=4，
则tan∠ABC= ．
故选B．
【分析】先在图中找出∠ABC所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠ABC的值．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA= ，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由tanA= = ，得
BC=3x，CA=4x，
由勾股定理，得
BC2+AC2=AB2，即（3x）2+（4x）2=100，
解得x=2，
AC=4x=4×2=8．
故答案为：D．
【分析】由已知条件tanA的值可将BC和CA表示为3x,4x，再用勾股定理可求得x的值，则AC的长可求。
7．比较tan20°，tan50°，tan70°的大小，下列不等式正确的是（ ）
A．tan70°＜tan50°＜tan20° B．tan50°＜tan20°＜tan70°
C．tan20°＜tan50°＜tan70° D．tan20°＜tan70°＜tan50°
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：由正切函数随角增大而增大，得
tan20°＜tan50°＜tan70°，故C符合题意，
故选：C．
【分析】根据正切函数随锐角的增大而增大，可得答案．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，则∠A的正切值（ ）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍
C．缩小为原来的 D．没有变化
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，如果每个边都缩小为原来的，
∴锐角A的对边与邻边的比值不变，
∴锐角A的正切值不变．
故选D．
【分析】根据题意得到锐角A的对边与邻边的比值不变，然后根据正切的定义可判断锐角A的正切值不变．
9．如图，延长Rt△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°．
∴BE∥AC．
∵AB=BD，
∴AC=2BE．
又∵tan∠BCD=，设BE=x，则AC=2x，
∴tanA===，
【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．
10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan∠DCB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作DE⊥BC于E，
由直角三角形的性质，得
AB=2CD=2BD=10．
由勾股定理，得
BC=8，
由等腰三角形的性质，得
CE= BC=4，
由勾股定理，得
DE= =3，
tan∠DCB= = ．
故答案为：D．
【分析】作DE⊥BC于E，由直角三角形和等腰三角形的性质可求AB和CE的长，再根据锐角三角函数的定义可求tan∠DCB的值。
二、填空题
11．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
tanB= = ．
故答案为： ．
【分析】根据正方形网格的特点，由锐角三角函数可求tanB的值。
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b=3a，则tanA= ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，
∴tanA= ，
∵2b=3a，
∴ = ，
∴tanA= ．
故答案为： ．
【分析】根据锐角三角函数的定义可得tanA= ，然后根据题目所给2b=3a可求解．
13．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：AB2=32+12=10，BC2=22+12=5，AC2=22+12=5，
∴AC=CB，BC2+AC2=AB2，
∴∠BCA=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABC的正弦值为 ．
故答案为： ．
【分析】因为每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，由勾股定理可求出AC、BC的长，知AC=CB，再根据勾股定理的逆定理可得ABC是直角三角形，由锐角三角函数的定义可求∠ABC的正弦值。
14．如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1=∠2，则tan∠OCA= ．
【答案】2
【知识点】余角、补角及其性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠BAO=∠ACO，
∵A（2，0），B（0，4），
∴tan∠OCA=tan∠BAO= =2．
故答案为：2．
【分析】根据等角的余角相等可得∠BAO=∠ACO，根据锐角三角函数的定义求出∠BAO的正切，则tan∠OCA的值即可求。
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5，tanA=2，则BC= ．
【答案】10
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵tanA= ，
∴BC=AC tanA=5×2=10．
故答案是：10．
【分析】根据已知条件tanA=2=可求BC的长。
16．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A的正切值为 ．
【答案】
【知识点】余角、补角及其性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB⊥BC，
∴DC⊥BC，∠ABC=90°，
∴∠C=90°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBC+∠ABD=∠A+∠ABD=90°，
∴∠A=∠DBC，
∵CD=1，BC=3，
∴∠A的正切值为tanA=tan∠DBC= = ，
故答案为： ．
【分析】首先根据同角的余角相等可得∠A=∠DBC，在直角三角形BCD中求出tan∠DBC的值即为∠A的正切值。
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）求tan∠BOA的值；
（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标．
【答案】（1）解：tan∠BOA= = =
（2）解：点C的坐标是（﹣2，4）
【知识点】锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【分析】（1）在直角三角形ABO中，根据锐角三角函数的定义可求tan∠BOA的值；（2）根据旋转的性质可求点C的坐标。
18．如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．
【答案】解：过点A作AH⊥BC于H，∵S△ABC=27，∴ ，∴AH=6，∵AB=10，∴BH= = =8，∴tanB= = = ．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC的面积为27可求出AH的长，在直角三角形ABH中用勾股定理求出BH的长，则tanB的值可求。
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一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，则tanA等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2016九上·蓬江期末）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
4．在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．2
5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．1
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA= ，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
7．比较tan20°，tan50°，tan70°的大小，下列不等式正确的是（ ）
A．tan70°＜tan50°＜tan20° B．tan50°＜tan20°＜tan70°
C．tan20°＜tan50°＜tan70° D．tan20°＜tan70°＜tan50°
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，则∠A的正切值（ ）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍
C．缩小为原来的 D．没有变化
9．如图，延长Rt△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（ ）
A． B．1 C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan∠DCB的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为 ．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b=3a，则tanA= ．
13．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为 ．
14．如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1=∠2，则tan∠OCA= ．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5，tanA=2，则BC= ．
16．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A的正切值为 ．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）求tan∠BOA的值；
（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标．
18．如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设BC=x，则AB=3x，
由勾股定理得，AC= =2 x，
则tanB= =2 ，
故答案为：A．
【分析】根据已知条件可设BC=x，则AB=3x，再由勾股定理可将AC用x表示出来，最后根据锐角三角函数的定义可求得tanB的值。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=1，AB=2，
∴AC= = ，
∴tanA= = ，
故答案为：C．
【分析】由勾股定理可求出AC的长，再根据锐角三角函数可求tanA的值。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】连接AC，则∠A=90°，AC= ，AB=2 ，
则tan∠ABC= = = .
【分析】观察图形，可知连接AC后,∠A=90°,先利用勾股定理分别求出AC、AB的长，再根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正切值。
4．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由图可得，tanα=2÷1=2．
故选D．
【分析】此题可以根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．
5．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
如图，在直角△ABD中，AD=3，BD=4，
则tan∠ABC= ．
故选B．
【分析】先在图中找出∠ABC所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠ABC的值．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由tanA= = ，得
BC=3x，CA=4x，
由勾股定理，得
BC2+AC2=AB2，即（3x）2+（4x）2=100，
解得x=2，
AC=4x=4×2=8．
故答案为：D．
【分析】由已知条件tanA的值可将BC和CA表示为3x,4x，再用勾股定理可求得x的值，则AC的长可求。
7．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：由正切函数随角增大而增大，得
tan20°＜tan50°＜tan70°，故C符合题意，
故选：C．
【分析】根据正切函数随锐角的增大而增大，可得答案．
8．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，如果每个边都缩小为原来的，
∴锐角A的对边与邻边的比值不变，
∴锐角A的正切值不变．
故选D．
【分析】根据题意得到锐角A的对边与邻边的比值不变，然后根据正切的定义可判断锐角A的正切值不变．
9．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°．
∴BE∥AC．
∵AB=BD，
∴AC=2BE．
又∵tan∠BCD=，设BE=x，则AC=2x，
∴tanA===，
【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作DE⊥BC于E，
由直角三角形的性质，得
AB=2CD=2BD=10．
由勾股定理，得
BC=8，
由等腰三角形的性质，得
CE= BC=4，
由勾股定理，得
DE= =3，
tan∠DCB= = ．
故答案为：D．
【分析】作DE⊥BC于E，由直角三角形和等腰三角形的性质可求AB和CE的长，再根据锐角三角函数的定义可求tan∠DCB的值。
11．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
tanB= = ．
故答案为： ．
【分析】根据正方形网格的特点，由锐角三角函数可求tanB的值。
12．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，
∴tanA= ，
∵2b=3a，
∴ = ，
∴tanA= ．
故答案为： ．
【分析】根据锐角三角函数的定义可得tanA= ，然后根据题目所给2b=3a可求解．
13．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：AB2=32+12=10，BC2=22+12=5，AC2=22+12=5，
∴AC=CB，BC2+AC2=AB2，
∴∠BCA=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABC的正弦值为 ．
故答案为： ．
【分析】因为每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，由勾股定理可求出AC、BC的长，知AC=CB，再根据勾股定理的逆定理可得ABC是直角三角形，由锐角三角函数的定义可求∠ABC的正弦值。
14．【答案】2
【知识点】余角、补角及其性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠BAO=∠ACO，
∵A（2，0），B（0，4），
∴tan∠OCA=tan∠BAO= =2．
故答案为：2．
【分析】根据等角的余角相等可得∠BAO=∠ACO，根据锐角三角函数的定义求出∠BAO的正切，则tan∠OCA的值即可求。
15．【答案】10
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵tanA= ，
∴BC=AC tanA=5×2=10．
故答案是：10．
【分析】根据已知条件tanA=2=可求BC的长。
16．【答案】
【知识点】余角、补角及其性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB⊥BC，
∴DC⊥BC，∠ABC=90°，
∴∠C=90°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBC+∠ABD=∠A+∠ABD=90°，
∴∠A=∠DBC，
∵CD=1，BC=3，
∴∠A的正切值为tanA=tan∠DBC= = ，
故答案为： ．
【分析】首先根据同角的余角相等可得∠A=∠DBC，在直角三角形BCD中求出tan∠DBC的值即为∠A的正切值。
17．【答案】（1）解：tan∠BOA= = =
（2）解：点C的坐标是（﹣2，4）
【知识点】锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【分析】（1）在直角三角形ABO中，根据锐角三角函数的定义可求tan∠BOA的值；（2）根据旋转的性质可求点C的坐标。
18．【答案】解：过点A作AH⊥BC于H，∵S△ABC=27，∴ ，∴AH=6，∵AB=10，∴BH= = =8，∴tanB= = = ．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC的面积为27可求出AH的长，在直角三角形ABH中用勾股定理求出BH的长，则tanB的值可求。
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