2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练：18.2.2《菱形》
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2 ，0），C（0，﹣2），D（2 ，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断．在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形．
【分析】，根据题意画出草图，求出各边的长，由菱形的判定定理可得结论。
2．用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形．由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．故答案为：B．
【分析】根据菱形的判定定理四边相等的四边形是菱形可判断结果。
3．（2016八下·龙湖期中）如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：① ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故①正确；
② ABCD中，∠BAD=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故②错误；
③ ABCD中，AB=BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故③正确；
D、 ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故④错误．
故选A．
【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
4．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD=BC AE=CD AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断结果。
5．在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为a，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形．根据题意得，拼成的四边形四边相等，则是菱形．故答案为：B．
【分析】根据菱形的判定定理四边相等的四边形是菱形可判断结果。
6．用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）.
A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】由题意可得到的四边形的四条边相等，即是菱形，故选D．
【分析】本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．
7．能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线相等且互相垂直 B．对角线相等且互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形，故答案为：D．
【分析】根据菱形的判定定理可知D正确。
8．四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，
2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），）
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，
由非负数的性质可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0，
∴a=b=c=d，
∴四边形一定是菱形，
故答案为：C．
【分析】将a、b、c、d所满足的等式变形整理可得a=b=c=d，根据菱形的判定可得四边形一定是菱形。
9．如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（ ）
A．是正方形 B．是长方形
C．是菱形 D．以上答案都不对
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】 因为圆O的弦AB垂直平分半径OC，
由垂径定理可知，半径OC垂直平分AB，即 OC与AB互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．
故选C．
【分析】根据垂径定理和特殊四边形的判定方法求解．对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
10．如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）
A．12m B．20m C．22m D．24m
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】连接AC，
已知∠A=120°，ABCD为菱形，则∠B=60°，从而得出△ABC为正三角形，以△ABC的顶点所组成的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是△ ABC边长的 ，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为 ×6×10＝20m，故答案为：B．
【分析】连接AC，根据菱形的性质和已知条件可证△ABC为正三角形，以△ABC的顶点所组成的小三角形也是正三角形，则可得正六边形的边长与△ ABC边长之间的数量关系，则种花部分图形的周长可求。
11．能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分且相等
B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相垂直且对角相等
D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴A、B、D都不正确；∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形是菱形，∴C正确．故答案为：C．
【分析】根据两组对角相等的四边形是平行四边形和对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知C正确．
12．下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（ ）
A．有一组对边平行且相等，有一个角是直角
B．两组对边分别相等，且有一组邻角相等
C．有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直
D．有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；B．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；C．错误，可判定为等腰梯形，而不是菱形；D．正确，有一组对边平行且相等可判定为平行四边形，有一条对角线平分一个内角，则可判定有一组邻边相等，而一组邻边相等的平行四边形是菱形．故答案为：D．
【分析】根据菱形的判定定理可知D正确。
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
A．CF＞GB B．GB=CF C．CF＜GB D．无法确定
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，
在△ACF与△AHF中
∵AF平分∠CAB交CD于E ，
又∵AF=AF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH，
同理在△ACE与△AHE中，△ACE≌△AHE，
可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
又∵∠CAD与∠CAB为同一角，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AHE=∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，
∴CF=EH=，EH=GB，
∴CF=GB．
故答案为：B．
【分析】过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，先证△ACF≌△AHF，△ACE≌△AHE，然后可判断四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，即可证CF=GB。
14．如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（ ）
A．36° B．72° C．120° D．44°
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接AD，BD，
∵AB=AC，AC=CD，
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABDC是菱形，
∵DE垂直平分腰AB，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠A=2∠DAB=120°，
∴∠A的度数为120°．
故答案为：C．
【分析】连接AD，BD，先证四边形ABDC是菱形，再由菱形的性质可证△ABD是等边三角形，则∠A的度数可求。
二、填空题
15．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．
【答案】AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD．四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一）
【分析】根据菱形的性质和平行四边形的性质可知需要添加的条件是：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD。
16．如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．
【答案】AB=AD或AC⊥BD
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴可添加：AB=AD或AC⊥BD．因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=AD或AC⊥BD．
【分析】根据菱形的判定定理可知添加的条件是：AB=AD或AC⊥BD。
17．如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 ．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）
【答案】AC⊥EF
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
证明：∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠AFB，
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=FAD，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
同理ED=CD，
∵AD=BC，AB=CD，
∴AE=CF，
又∵AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形，
∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，
则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
故答案为：AC⊥EF．
【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．
18．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5） ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： ABCD是菱形； ABCD是菱形．
【答案】（1）（2）（6）；（3）（4）（5）或者（3）（4）（6）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：（1）（2）（6） ABCD是菱形．
先由（1）（2）得出四边形是平行四边形，
再由（6）和（2）得出∠DAC=∠DCA，
由等角对等边得AD=CD，
所以平行四边形是菱形．（3）（4）（5） ABCD是菱形．
由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．（3）（4）（6） ABCD是菱形．
由（3）（4）得出四边形是平行四边形，
再由（6）得出∠DAC=∠DCA，
由等角对等边得AD=CD，
所以平行四边形是菱形．
【分析】根据菱形的判定定理可判断。
19．若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 （写一个即可），使四边形ABCD是菱形．
【答案】AB=BC或者AC⊥BD
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：AB=BC或AC⊥BD．
【分析】根据菱形的判定定理可补充条件：AB=BC或AC⊥BD。
三、解答题
20．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点，∴∠BAE=∠CAE，∵AE=AE
∴△ABE≌△ACE（SAS）
（2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE= AE）时，四边形ABEC是菱形理由如下：∵AE=2AD，∴AD=DE，又∵点D为BC中点，∴BD=CD，∴四边形ABEC为平行四边形，∵AB=AC，
∴四边形ABEC为菱形
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）用SAS可证△ABE≌△ACE；（2）先由有两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证四边形ABEC为平行四边形，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证四边形ABEC为菱形。
21．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=CF．
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB（SAS）
（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．∵E是AB的中点，∴DE= AB=BE．由题意可知EB∥DF且EB=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．
∴四边形BFDE是菱形
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）用SAS可证△AED≌△CFB；（2）先根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形BFDE是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证四边形BFDE是菱形。
22．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，∵AD=DA，∴△ADE≌△DAF，
∴AE=DF
（2）证明：若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠DAF=∠FDA．
∴AF=DF．
∴平行四边形AEDF为菱形
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据已知条件由角边角可证△ADE≌△DAF，则AE=DF；（2）由已知可证四边形AEDF是平行四边形，再由AF=DF可证平行四边形AEDF为菱形。
23．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
【答案】证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点，∴BE= AB，DE= AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD （ASA ），∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据菱形的判定有四边相等的四边形是菱形可求证。
24．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：如图，在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB
（2）解：据已知有BN=CN．证明如下：∵CN∥BD，BN∥AC，
∴四边形BMCN是平行四边形，
由（1）知，∠MBC=∠MCB，
∴BM=CM（等角对等边），
∴四边形BMCN是菱形，
∴BN=由CN
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据已知条件用SSS公理可证得△ABC≌△DCB，（2）CN∥BD，BN∥AC，可证四边形BMCN是平行四边形，再由题意可得BM=CM，则四边形BMCN是菱形，所以BN=CN
1 / 12017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练：18.2.2《菱形》
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2 ，0），C（0，﹣2），D（2 ，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
2．用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
3．（2016八下·龙湖期中）如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
4．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形
5．在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
6．用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）.
A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
7．能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线相等且互相垂直 B．对角线相等且互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
8．四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
9．如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（ ）
A．是正方形 B．是长方形
C．是菱形 D．以上答案都不对
10．如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）
A．12m B．20m C．22m D．24m
11．能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分且相等
B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相垂直且对角相等
D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角
12．下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（ ）
A．有一组对边平行且相等，有一个角是直角
B．两组对边分别相等，且有一组邻角相等
C．有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直
D．有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
A．CF＞GB B．GB=CF C．CF＜GB D．无法确定
14．如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（ ）
A．36° B．72° C．120° D．44°
二、填空题
15．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．
16．如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．
17．如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 ．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）
18．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5） ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： ABCD是菱形； ABCD是菱形．
19．若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 （写一个即可），使四边形ABCD是菱形．
三、解答题
20．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．
21．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
22．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
23．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
24．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断．在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形．
【分析】，根据题意画出草图，求出各边的长，由菱形的判定定理可得结论。
2．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形．由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．故答案为：B．
【分析】根据菱形的判定定理四边相等的四边形是菱形可判断结果。
3．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：① ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故①正确；
② ABCD中，∠BAD=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故②错误；
③ ABCD中，AB=BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故③正确；
D、 ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故④错误．
故选A．
【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
4．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD=BC AE=CD AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断结果。
5．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为a，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形．根据题意得，拼成的四边形四边相等，则是菱形．故答案为：B．
【分析】根据菱形的判定定理四边相等的四边形是菱形可判断结果。
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】由题意可得到的四边形的四条边相等，即是菱形，故选D．
【分析】本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．
7．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形，故答案为：D．
【分析】根据菱形的判定定理可知D正确。
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，
2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），）
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，
由非负数的性质可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0，
∴a=b=c=d，
∴四边形一定是菱形，
故答案为：C．
【分析】将a、b、c、d所满足的等式变形整理可得a=b=c=d，根据菱形的判定可得四边形一定是菱形。
9．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】 因为圆O的弦AB垂直平分半径OC，
由垂径定理可知，半径OC垂直平分AB，即 OC与AB互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．
故选C．
【分析】根据垂径定理和特殊四边形的判定方法求解．对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】连接AC，
已知∠A=120°，ABCD为菱形，则∠B=60°，从而得出△ABC为正三角形，以△ABC的顶点所组成的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是△ ABC边长的 ，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为 ×6×10＝20m，故答案为：B．
【分析】连接AC，根据菱形的性质和已知条件可证△ABC为正三角形，以△ABC的顶点所组成的小三角形也是正三角形，则可得正六边形的边长与△ ABC边长之间的数量关系，则种花部分图形的周长可求。
11．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴A、B、D都不正确；∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形是菱形，∴C正确．故答案为：C．
【分析】根据两组对角相等的四边形是平行四边形和对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知C正确．
12．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；B．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；C．错误，可判定为等腰梯形，而不是菱形；D．正确，有一组对边平行且相等可判定为平行四边形，有一条对角线平分一个内角，则可判定有一组邻边相等，而一组邻边相等的平行四边形是菱形．故答案为：D．
【分析】根据菱形的判定定理可知D正确。
13．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，
在△ACF与△AHF中
∵AF平分∠CAB交CD于E ，
又∵AF=AF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH，
同理在△ACE与△AHE中，△ACE≌△AHE，
可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
又∵∠CAD与∠CAB为同一角，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AHE=∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，
∴CF=EH=，EH=GB，
∴CF=GB．
故答案为：B．
【分析】过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，先证△ACF≌△AHF，△ACE≌△AHE，然后可判断四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，即可证CF=GB。
14．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接AD，BD，
∵AB=AC，AC=CD，
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABDC是菱形，
∵DE垂直平分腰AB，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠A=2∠DAB=120°，
∴∠A的度数为120°．
故答案为：C．
【分析】连接AD，BD，先证四边形ABDC是菱形，再由菱形的性质可证△ABD是等边三角形，则∠A的度数可求。
15．【答案】AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD．四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一）
【分析】根据菱形的性质和平行四边形的性质可知需要添加的条件是：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD。
16．【答案】AB=AD或AC⊥BD
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴可添加：AB=AD或AC⊥BD．因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=AD或AC⊥BD．
【分析】根据菱形的判定定理可知添加的条件是：AB=AD或AC⊥BD。
17．【答案】AC⊥EF
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
证明：∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠AFB，
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=FAD，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
同理ED=CD，
∵AD=BC，AB=CD，
∴AE=CF，
又∵AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形，
∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，
则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
故答案为：AC⊥EF．
【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．
18．【答案】（1）（2）（6）；（3）（4）（5）或者（3）（4）（6）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：（1）（2）（6） ABCD是菱形．
先由（1）（2）得出四边形是平行四边形，
再由（6）和（2）得出∠DAC=∠DCA，
由等角对等边得AD=CD，
所以平行四边形是菱形．（3）（4）（5） ABCD是菱形．
由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．（3）（4）（6） ABCD是菱形．
由（3）（4）得出四边形是平行四边形，
再由（6）得出∠DAC=∠DCA，
由等角对等边得AD=CD，
所以平行四边形是菱形．
【分析】根据菱形的判定定理可判断。
19．【答案】AB=BC或者AC⊥BD
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：AB=BC或AC⊥BD．
【分析】根据菱形的判定定理可补充条件：AB=BC或AC⊥BD。
20．【答案】（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点，∴∠BAE=∠CAE，∵AE=AE
∴△ABE≌△ACE（SAS）
（2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE= AE）时，四边形ABEC是菱形理由如下：∵AE=2AD，∴AD=DE，又∵点D为BC中点，∴BD=CD，∴四边形ABEC为平行四边形，∵AB=AC，
∴四边形ABEC为菱形
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）用SAS可证△ABE≌△ACE；（2）先由有两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证四边形ABEC为平行四边形，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证四边形ABEC为菱形。
21．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=CF．
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB（SAS）
（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．∵E是AB的中点，∴DE= AB=BE．由题意可知EB∥DF且EB=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．
∴四边形BFDE是菱形
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）用SAS可证△AED≌△CFB；（2）先根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形BFDE是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证四边形BFDE是菱形。
22．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，∵AD=DA，∴△ADE≌△DAF，
∴AE=DF
（2）证明：若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠DAF=∠FDA．
∴AF=DF．
∴平行四边形AEDF为菱形
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据已知条件由角边角可证△ADE≌△DAF，则AE=DF；（2）由已知可证四边形AEDF是平行四边形，再由AF=DF可证平行四边形AEDF为菱形。
23．【答案】证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点，∴BE= AB，DE= AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD （ASA ），∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据菱形的判定有四边相等的四边形是菱形可求证。
24．【答案】（1）证明：如图，在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB
（2）解：据已知有BN=CN．证明如下：∵CN∥BD，BN∥AC，
∴四边形BMCN是平行四边形，
由（1）知，∠MBC=∠MCB，
∴BM=CM（等角对等边），
∴四边形BMCN是菱形，
∴BN=由CN
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据已知条件用SSS公理可证得△ABC≌△DCB，（2）CN∥BD，BN∥AC，可证四边形BMCN是平行四边形，再由题意可得BM=CM，则四边形BMCN是菱形，所以BN=CN
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