高中数学人教新课标A版必修2 第三章 直线与方程 3.1.1倾斜角与斜率
一、选择题
1．关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是（ ）
A．所有的直线都有倾斜角和斜率
B．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率
C．直线的倾斜角和斜率有时都不存在
D．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角
2．已知直线 经过点 与点 ，则该直线的倾斜角为（ ）
A．150° B．75° C．135° D． 45°
3．一条直线的倾斜角的正弦值为 ，则此直线的斜率为（ ）
A． B．± C． D．±
4．直线 经过原点和点 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知M(a，b)，N(a，c)(b≠c)，则直线MN的倾斜角是（ ）
A．不存在 B．45° C．135° D．90°
6．若 三点共线，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．经过点 的直线的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、单选题
8．过不重合的 ， 两点的直线 倾斜角为 ，则 的取值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
三、填空题
9．若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是 ．
10．设直线l的倾斜角为α，且 ≤α≤ ，则直线l的斜率k的取值范围是 ．
11．若 、 、 是两两不等的三个实数，则经过 、 两点的直线的倾斜角为 .（用弧度制表示）
四、解答题
12．已知直线 经过两点 ，问：当 取何值时：
（1） 与 轴平行？
（2） 与 轴平行？
（3） 的斜率为 ？
13．如图所示，点 ， ， ，若直线 与直线 相交，且交点位于第一象限，求直线 斜率 的取值范围.
14．求经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】此题考查直线的倾斜角和斜率的定义.任何直线都有倾斜角，但是并不是所有的直线都与斜率，当直线的倾斜角为直角时，直线不存在斜率，所以A，C，D不符合题意，B符合题意.
故答案为：B.
【分析】结合直线的倾斜角和斜率的定义，对各选项判断。
2．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】该直线的斜率为 ，倾斜角 ， ，
所以
故答案为：C.
【分析】由过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角.
3．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】设倾斜角为 ，则 ，所以 ，所以 .
故答案为:B.
【分析】由倾斜角的正弦值结合同角三角函数 关系式求出正切值即斜率.
4．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】直线 的斜率 .设直线 的倾斜角为 ，
则 .因为 ，所以
故答案为：C.
【分析】由过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角.
5．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】由题中点 的横坐标相等可知直线 ，所以直线 的倾斜角为90°.
故答案为:D.
【分析】由过两点的斜率公式求出斜率,再求倾斜角.
6．【答案】A
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】由三点共线得， ，解得 .
故答案为:A.
【分析】由三点共线,则AB与AC的斜率相等,求出m的值.
7．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】由题意，得 ，解得 ，故选A．
【分析】由过两点的斜率公式求出斜率,再倾斜角求出m的值.
8．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】根据题意，可得 ，解得 或 ，当 时，两点重合，当 时，满足条件
故答案为:B．
【分析】由过两点的斜率公式求出斜率,再倾斜角求出m的值.
9．【答案】(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】由条件知直线的斜率存在，由公式得k＝ ，因为倾斜角为锐角，所以k>0，解得a>1或a<－2.所以a的取值范围是{a|a>1或a<－2}．
【分析】本题主要考查了直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，解决问题的关键是根据倾斜角的范围求解有关不等式即可.
10．【答案】 ∪[1，＋∞)
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】由k＝tanα知，k∈ ∪[1，＋∞)．
故答案为：(]
【分析】将倾斜角的范围分为锐角与钝角，由倾斜角的正切就是斜率，得到范围.
11．【答案】
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】设经过 、 两点的直线的倾斜角为 ，由题意知 ， ， .
故答案为:
【分析】由过两点的斜率公式求出斜率,即倾斜角的正切值,再求倾斜角.
12．【答案】（1）解：当直线 与 轴平行时，直线 的斜率为0，此时
（2）解：当 与 轴平行时，直线 不存在斜率，此时
（3）解：当 的斜率为 时，有 ，解得 .
故当 时， 与 轴平行；当 时， 与 轴平行；
当 ， 的斜率为
【知识点】直线的斜率
【解析】【分析】由过两点的斜率公式表示出斜率,由各小题的条件得到关于m的方程,求解.
13．【答案】解：连接 ， ，设直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，则直线 的倾斜角 满足： ，或 ，
所以直线 的斜率 满足 ，
或 ，所以 .
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【分析】由直线 C D 与直线 A B 相交，且交点位于第一象限，结合图形得到直线 BC和CD的倾斜角应满足的条件，转化为斜率满足的不等式，求k的范围.
14．【答案】解：当m=1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为α=90°．
当m≠1时，由斜率公式可得k==．
①当m＞1时，斜率k=＞0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°＜α＜90°．
②当m＜1时，斜率k=＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°＜α＜180°．
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【分析】根据直线的斜率公式，直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，分m=1、m＞1、m＜1三种情况，分别具体求出倾斜角α的取值范围．
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一、选择题
1．关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是（ ）
A．所有的直线都有倾斜角和斜率
B．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率
C．直线的倾斜角和斜率有时都不存在
D．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】此题考查直线的倾斜角和斜率的定义.任何直线都有倾斜角，但是并不是所有的直线都与斜率，当直线的倾斜角为直角时，直线不存在斜率，所以A，C，D不符合题意，B符合题意.
故答案为：B.
【分析】结合直线的倾斜角和斜率的定义，对各选项判断。
2．已知直线 经过点 与点 ，则该直线的倾斜角为（ ）
A．150° B．75° C．135° D． 45°
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】该直线的斜率为 ，倾斜角 ， ，
所以
故答案为：C.
【分析】由过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角.
3．一条直线的倾斜角的正弦值为 ，则此直线的斜率为（ ）
A． B．± C． D．±
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】设倾斜角为 ，则 ，所以 ，所以 .
故答案为:B.
【分析】由倾斜角的正弦值结合同角三角函数 关系式求出正切值即斜率.
4．直线 经过原点和点 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】直线 的斜率 .设直线 的倾斜角为 ，
则 .因为 ，所以
故答案为：C.
【分析】由过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角.
5．已知M(a，b)，N(a，c)(b≠c)，则直线MN的倾斜角是（ ）
A．不存在 B．45° C．135° D．90°
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】由题中点 的横坐标相等可知直线 ，所以直线 的倾斜角为90°.
故答案为:D.
【分析】由过两点的斜率公式求出斜率,再求倾斜角.
6．若 三点共线，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】由三点共线得， ，解得 .
故答案为:A.
【分析】由三点共线,则AB与AC的斜率相等,求出m的值.
7．经过点 的直线的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】由题意，得 ，解得 ，故选A．
【分析】由过两点的斜率公式求出斜率,再倾斜角求出m的值.
二、单选题
8．过不重合的 ， 两点的直线 倾斜角为 ，则 的取值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】根据题意，可得 ，解得 或 ，当 时，两点重合，当 时，满足条件
故答案为:B．
【分析】由过两点的斜率公式求出斜率,再倾斜角求出m的值.
三、填空题
9．若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是 ．
【答案】(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】由条件知直线的斜率存在，由公式得k＝ ，因为倾斜角为锐角，所以k>0，解得a>1或a<－2.所以a的取值范围是{a|a>1或a<－2}．
【分析】本题主要考查了直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，解决问题的关键是根据倾斜角的范围求解有关不等式即可.
10．设直线l的倾斜角为α，且 ≤α≤ ，则直线l的斜率k的取值范围是 ．
【答案】 ∪[1，＋∞)
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】由k＝tanα知，k∈ ∪[1，＋∞)．
故答案为：(]
【分析】将倾斜角的范围分为锐角与钝角，由倾斜角的正切就是斜率，得到范围.
11．若 、 、 是两两不等的三个实数，则经过 、 两点的直线的倾斜角为 .（用弧度制表示）
【答案】
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】设经过 、 两点的直线的倾斜角为 ，由题意知 ， ， .
故答案为:
【分析】由过两点的斜率公式求出斜率,即倾斜角的正切值,再求倾斜角.
四、解答题
12．已知直线 经过两点 ，问：当 取何值时：
（1） 与 轴平行？
（2） 与 轴平行？
（3） 的斜率为 ？
【答案】（1）解：当直线 与 轴平行时，直线 的斜率为0，此时
（2）解：当 与 轴平行时，直线 不存在斜率，此时
（3）解：当 的斜率为 时，有 ，解得 .
故当 时， 与 轴平行；当 时， 与 轴平行；
当 ， 的斜率为
【知识点】直线的斜率
【解析】【分析】由过两点的斜率公式表示出斜率,由各小题的条件得到关于m的方程,求解.
13．如图所示，点 ， ， ，若直线 与直线 相交，且交点位于第一象限，求直线 斜率 的取值范围.
【答案】解：连接 ， ，设直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，则直线 的倾斜角 满足： ，或 ，
所以直线 的斜率 满足 ，
或 ，所以 .
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【分析】由直线 C D 与直线 A B 相交，且交点位于第一象限，结合图形得到直线 BC和CD的倾斜角应满足的条件，转化为斜率满足的不等式，求k的范围.
14．求经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．
【答案】解：当m=1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为α=90°．
当m≠1时，由斜率公式可得k==．
①当m＞1时，斜率k=＞0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°＜α＜90°．
②当m＜1时，斜率k=＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°＜α＜180°．
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【分析】根据直线的斜率公式，直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，分m=1、m＞1、m＜1三种情况，分别具体求出倾斜角α的取值范围．
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