高中数学人教新课标A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.2球的体积和表面积
一、选择题
1．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个求面积，s=π×12+ ×4×π×12=3π，
故答案为：B．
【分析】判断几何体的特征，然后求解即可．
2．正方体的内切球和外接球的体积之比为（ ）
A．1∶ B．1∶3 C．1∶9 D．1∶3
【答案】D
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设正方体的棱长为1，则其内切球的直径为1，半径为 ，外接球的直径为 ，半径为 ，根据球的体积公式可知两球的体积之比为 .
故答案为:D.
【分析】找到正方体的内切球和外接球的半径的关系求解.
3．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）
A． 倍 B． 倍 C．2倍 D．3倍
【答案】B
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设最小球的半径为1，则最大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π， .
故答案为:B.
【分析】设出最小球的半径,用球的体积公式求出各球体积,求出比值.
4．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设两球的半径分别为R、r（R>r），则由题意得 解得 故R－r＝1.
故答案为:A.
【分析】设出两球的半径,由条件得到关于两球半径的方程组求解.注意过球心的截面就是大圆.
5．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（ ）
A．2倍 B．2 倍 C． 倍 D． 倍
【答案】B
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由表面积扩大到原来的2倍可知半径扩大为原来的 倍，则体积扩大到原来的2 倍．
故答案为:B.
【分析】由球的表面积和体积公式,得表面积与半径的平方成正比,体积与半径的立方成正比,从而求解.
6．已知四棱锥 的所有顶点都在同一球面上，底面 是正方形且和球心 在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为 ，则球 的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，设球的半径为 ，因为底面 是正方形且和球心 在同一平面内，所以正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，所以 ，所以球的表面积为 .
故答案为:B．
【分析】由于底面 A B C D 是正方形且和球心 O 在同一平面内,则ABCD为球的大圆的内接正方形,则当顶点与球心连线垂直于底面时,体积达到最大,此时高中R.由体积最大值得为18,得到关于半径的方程,求半径再求表面积.
7．（2016高二上·佛山期中）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】∵已知S，A，B，C是球O表面上的点
∴OA=OB=OC=OS=1
又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，
∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，
∴表面积为4πR2=4π．
故选A．
【分析】先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可。
8．已知点 在同一个球面上， ，若四面体 体积的最大值为 ，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】由 可知△ABC为直角三角形， ，所以△ABC
的外心 为 的中点，由四面体的体积公式可知，当顶点 到平面 的距
离最大时，有最大体积，当 ，球心 共线时，顶点 到平面 的距离最
大，由题可求得此时顶点 到平面 的距离为 ，设球的半径为 ，则球
心 到圆心 的距离为 ,则 ，解得 ，则
球的表面积 .
故答案为:D.
【分析】分析四面体的形状特征,得知当当顶点 D 到平面 A B C 的距离最大时，有最大体积,从而 求出半径,得球的表面积.
二、填空题
9．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12 cm，深为2 cm的空穴，则该球的表面积为 cm2.
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设球的半径为 cm，依题意可知 ，解得 ，
∴球的表面积为 .
故答案为:400 π.
【分析】由已知得球的小圆半径,球的半径R及R-深度12即为球心到小圆面的距离构成直角三角形,由勾股定理求得球的半径,再求表面活性剂积.
10．如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积为 ，则该半球的表面积为 ．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】设所给半球的半径为 ，则四棱锥的高 ，则 ，所以 ，所以半球的表面积为 .
故答案为:6 π .
【分析】找到其中直角三角形,由勾股定理求得球的半径,再求表面积.
11．已知正三棱柱 底面边长为 ，高为 ，圆 是等边三角形 的内切圆，点 是圆 上任意一点，则三棱锥 的外接球的表面积为 ．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】由题设可知三棱锥 的外接球过上底面 的内切圆和下底面 的外接圆，容易算得三棱柱的上、下底面的内切圆与外接圆的半径分别为 .设球心 到上、下底面的距离分别是 ，则由球心距、球半径及截面圆的半径之间的关系可得 ，解得 ，所以 ，故球的表面积为 .
故答案为:20 π .
【分析】分析正三棱柱的外接球的球心的位置,由球心距、球半径及截面圆的半径之间的关系得到关于R的方程,求出R再求表面活性剂积.
三、解答题
12．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成的．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.
（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）
（2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？
【答案】（1）解：因为半球的直径是6 cm，所以半径R＝3 cm，
所以两个半球的体积之和为V球＝ πR3＝ π·27＝36π（cm3）．
又圆柱筒的体积为V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π（cm3）．
所以这种“浮球”的体积是V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6（cm3）
（2）解：上下两个半球的表面积是S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π（cm2），
又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π（cm2），
所以1个“浮球”的表面积为S＝ ＝ π（m2）．
因此2 500个这样的“浮球”的表面积为2 500S＝2 500× π＝12π（m2）．
因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为100×12π＝1200π（克）
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【分析】(1)浮球由两个半球和一个圆柱筒组成的,由球的体积公式及圆柱的体积公式求得其体积;
(2)“浮球”表面涂一层胶即就是要求其表面积,由表面活性剂积决定涂胶克数.
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
【答案】解：设正方体的棱长为a，三个球的半径依次为 ，表面积依次为 ．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，则有2r1＝a， ，所以 ．
②球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点，则有2r2＝ a， ，所以 ．
③正方体的各个顶点在球面上，则有2r3＝ a， ，所以 ．
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【分析】分析一个球与正方体的关系,得到三个半径与棱长的关系,从而求得其表面活性剂积的比.
14．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
【答案】解：要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球，而V半球＝ × πr3＝ × π×43，V圆锥＝ Sh＝ πr2h = π×42×h，则有 π×42×h≥ × π×43，解得h≥8．
即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为S圆锥侧＝πrl＝ ，所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【分析】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球,进而求出h应满足的范围.
1 / 1高中数学人教新课标A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.2球的体积和表面积
一、选择题
1．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
2．正方体的内切球和外接球的体积之比为（ ）
A．1∶ B．1∶3 C．1∶9 D．1∶3
3．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）
A． 倍 B． 倍 C．2倍 D．3倍
4．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（ ）
A．2倍 B．2 倍 C． 倍 D． 倍
6．已知四棱锥 的所有顶点都在同一球面上，底面 是正方形且和球心 在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为 ，则球 的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2016高二上·佛山期中）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
8．已知点 在同一个球面上， ，若四面体 体积的最大值为 ，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12 cm，深为2 cm的空穴，则该球的表面积为 cm2.
10．如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积为 ，则该半球的表面积为 ．
11．已知正三棱柱 底面边长为 ，高为 ，圆 是等边三角形 的内切圆，点 是圆 上任意一点，则三棱锥 的外接球的表面积为 ．
三、解答题
12．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成的．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.
（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）
（2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
14．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个求面积，s=π×12+ ×4×π×12=3π，
故答案为：B．
【分析】判断几何体的特征，然后求解即可．
2．【答案】D
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设正方体的棱长为1，则其内切球的直径为1，半径为 ，外接球的直径为 ，半径为 ，根据球的体积公式可知两球的体积之比为 .
故答案为:D.
【分析】找到正方体的内切球和外接球的半径的关系求解.
3．【答案】B
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设最小球的半径为1，则最大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π， .
故答案为:B.
【分析】设出最小球的半径,用球的体积公式求出各球体积,求出比值.
4．【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设两球的半径分别为R、r（R>r），则由题意得 解得 故R－r＝1.
故答案为:A.
【分析】设出两球的半径,由条件得到关于两球半径的方程组求解.注意过球心的截面就是大圆.
5．【答案】B
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由表面积扩大到原来的2倍可知半径扩大为原来的 倍，则体积扩大到原来的2 倍．
故答案为:B.
【分析】由球的表面积和体积公式,得表面积与半径的平方成正比,体积与半径的立方成正比,从而求解.
6．【答案】B
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，设球的半径为 ，因为底面 是正方形且和球心 在同一平面内，所以正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，所以 ，所以球的表面积为 .
故答案为:B．
【分析】由于底面 A B C D 是正方形且和球心 O 在同一平面内,则ABCD为球的大圆的内接正方形,则当顶点与球心连线垂直于底面时,体积达到最大,此时高中R.由体积最大值得为18,得到关于半径的方程,求半径再求表面积.
7．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】∵已知S，A，B，C是球O表面上的点
∴OA=OB=OC=OS=1
又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，
∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，
∴表面积为4πR2=4π．
故选A．
【分析】先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可。
8．【答案】D
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】由 可知△ABC为直角三角形， ，所以△ABC
的外心 为 的中点，由四面体的体积公式可知，当顶点 到平面 的距
离最大时，有最大体积，当 ，球心 共线时，顶点 到平面 的距离最
大，由题可求得此时顶点 到平面 的距离为 ，设球的半径为 ，则球
心 到圆心 的距离为 ,则 ，解得 ，则
球的表面积 .
故答案为:D.
【分析】分析四面体的形状特征,得知当当顶点 D 到平面 A B C 的距离最大时，有最大体积,从而 求出半径,得球的表面积.
9．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设球的半径为 cm，依题意可知 ，解得 ，
∴球的表面积为 .
故答案为:400 π.
【分析】由已知得球的小圆半径,球的半径R及R-深度12即为球心到小圆面的距离构成直角三角形,由勾股定理求得球的半径,再求表面活性剂积.
10．【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】设所给半球的半径为 ，则四棱锥的高 ，则 ，所以 ，所以半球的表面积为 .
故答案为:6 π .
【分析】找到其中直角三角形,由勾股定理求得球的半径,再求表面积.
11．【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】由题设可知三棱锥 的外接球过上底面 的内切圆和下底面 的外接圆，容易算得三棱柱的上、下底面的内切圆与外接圆的半径分别为 .设球心 到上、下底面的距离分别是 ，则由球心距、球半径及截面圆的半径之间的关系可得 ，解得 ，所以 ，故球的表面积为 .
故答案为:20 π .
【分析】分析正三棱柱的外接球的球心的位置,由球心距、球半径及截面圆的半径之间的关系得到关于R的方程,求出R再求表面活性剂积.
12．【答案】（1）解：因为半球的直径是6 cm，所以半径R＝3 cm，
所以两个半球的体积之和为V球＝ πR3＝ π·27＝36π（cm3）．
又圆柱筒的体积为V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π（cm3）．
所以这种“浮球”的体积是V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6（cm3）
（2）解：上下两个半球的表面积是S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π（cm2），
又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π（cm2），
所以1个“浮球”的表面积为S＝ ＝ π（m2）．
因此2 500个这样的“浮球”的表面积为2 500S＝2 500× π＝12π（m2）．
因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为100×12π＝1200π（克）
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【分析】(1)浮球由两个半球和一个圆柱筒组成的,由球的体积公式及圆柱的体积公式求得其体积;
(2)“浮球”表面涂一层胶即就是要求其表面积,由表面活性剂积决定涂胶克数.
13．【答案】解：设正方体的棱长为a，三个球的半径依次为 ，表面积依次为 ．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，则有2r1＝a， ，所以 ．
②球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点，则有2r2＝ a， ，所以 ．
③正方体的各个顶点在球面上，则有2r3＝ a， ，所以 ．
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【分析】分析一个球与正方体的关系,得到三个半径与棱长的关系,从而求得其表面活性剂积的比.
14．【答案】解：要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球，而V半球＝ × πr3＝ × π×43，V圆锥＝ Sh＝ πr2h = π×42×h，则有 π×42×h≥ × π×43，解得h≥8．
即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为S圆锥侧＝πrl＝ ，所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【分析】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球,进而求出h应满足的范围.
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