高中数学人教新课标A版必修3 第二章 统计 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
一、选择题
1．对于数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2.
①这组数据的众数是3；
②这组数据的众数与中位数的数值不相等；
③这组数据的中位数与平均数的数值相等；
④这组数据的平均数与众数的值相等．
其中正确的结论的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为（ ）
A．8 B．15 C．16 D．32
3．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品7个月份的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前6个月的市场收购价格，则前7个月该产品的市场收购价格的方差为（ ）
月份 1 2 3 4 5 6
价格(元/担) 68 78 67 71 72 70
A． B． C．11 D．
4．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是（ ）
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
5．某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是（ ）
A．高一的中位数大，高二的平均数大
B．高一的平均数大，高二的中位数大
C．高一的平均数、中位数都大
D．高二的平均数、中位数都大
6．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）
A．31.6岁 B．32.6岁 C．33.6岁 D．36.6岁
7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为（ ）
A． B． C．36 D．
8．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mO，平均值为 ，则（ ）
A．me＝mO＝ B．me＝mO< C．me二、填空题
9．某学员在一次射击测试中射靶6次，命中环数如下：9,5,8,4,6,10，
则：
平均命中环数为 ；命中环数的方差为 ．
10．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 ．(从小到大排列)
11．如图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为 .
三、解答题
12．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（2）根据两组数据绘制茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
13．某校初三（1）班、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下表：
（1）请你对下面的一段话给予简要分析：
高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算上上游了！”
（2）请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议．
14．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
[10,15) 10 0.25
[15,20) 24 n
[20,25) m p
[25,30] 2 0.05
合计 M 1
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；
（3）估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】在这11个数据中，数据3出现了6次，概率最高，故众数是3；将这11个数据按从小到大排列得2，2，3，3，3，3，3，3，6，6，10，中间的数据是3，故中位数是3；平均数 .故选A.
【分析】根据众数、中位数、平均数的性质可以得出。
2．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】样本数据x1，x2，…，x10的标准差 ＝8，则Dx＝64，样本数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差D(2x－1)＝22Dx＝22×64，其标准差为 ＝16.故选C.
【分析】由标准差的计算公式可以得出Dx＝64，由此可推出样本数据的方差D(2x－1)＝22Dx＝22×64，进而求出其标准差。
3．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】设7月份的市场收购价格为x，则y＝(x－71)2＋(x－72)2＋(x－70)2＝
3x2－426x＋15 125，则当x＝71时，7月份的市场收购价格与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，则7月份的市场收购价格为71，计算得前7个月该产品的市场收购价格的平均数是71，方差是 .
【分析】由题意可以设7月份的市场收购价格为x，由此可得到方程y＝(x－71)2＋(x－72)2＋(x－70)2＝3x2－426x＋15 125，由此可以通过计算7月份的市场收购价格和前7个月该产品的市场收购价格的平均数，从而得出方差。
4．【答案】C
【知识点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法；极差、方差与标准差
【解析】【解答】若抽样方法是分层抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错；由题目看不出是系统抽样，所以B错；这五名男生成绩的平均数 ，这五名女生成绩的平均数 ，这五名男生成绩的方差为 [(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，这五名女生成绩的方差为 [(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．
【分析】由题意可知，这不是分层抽样所以A错，同时也无法看出其为系统抽样，所以B错，由男生和女生的平均成绩可以求出两者的方差，通过求出方差可知C项正确。这种随机抽样不能知道男生的平均成绩小于女生的平均成绩，所以D项错误。
5．【答案】A
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】从题中茎叶图可以看出，高一的中位数为93，高二的中位数为89，所以高一的中位数大．由计算得，高一的平均数为91，高二的平均数为 ，所以高二的平均数大．
【分析】由茎叶图可以看出高一和高二的中位数，同时通过计算可以求出高一和高二的平均数，由此可以得到答案。
6．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】解：由图知，抽到的司机年龄都在[30，35）岁之间频率是0.35；
抽到的司机年龄都在[35，40）岁之间频率是0.30；
抽到的司机年龄都在[40，45）岁之间频率是0.10．
由于在频率分布直方图中，中位数使得左右频率相等，故中位数右侧的频率为0.50．
而[35，45）段上的频率是0.40＜0.50，[30，45）岁之间频率是0.75＞0.50；
故中位数在区间[30，35）内，还要使其右侧且在[30，35）岁之间频率是0.10，
所以中位数是35﹣≈33.6．
故答案选C．
【分析】由于在频率分布直方图中，中位数使得直方图左右两侧频率相等，故中位数右侧的频率为0.50．由残缺的频率分布直方图可求[35，45）段上的频率是0.40＜0.50，[30，45）岁之间频率是0.75＞0.50，可知中位数在区间[30，35）内，再根据频率即可求出中位数．
7．【答案】B
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.故s2＝ [(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝ .
【分析】由题意可知要去掉87，99两个数，由87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7可以解出x的值，通过x值可以解出7个剩余分数的方差。
8．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题图可知，30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15，16个数(分别为5，6)的平均数，即me＝5.5，5出现次数最多，故mO＝5， .于是mO【分析】通过观察图可以得出中位数为第15，16个数，由此可求出me＝5.5，通过观察可知5出现次数最多，故mO＝5，通过求出其方差，将三者进行比较可得。
9．【答案】7；
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】(1)平均命中环数为 (9＋5＋8＋4＋6＋10)＝7.(2)方差s2＝ (4＋4＋1＋9＋1＋9)＝ .
【分析】（1）直接通过数据计算出平均环数。
（2）通过方差公式可以计算出。
10．【答案】1,1,3,3
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】不妨设x1≤x2≤x3≤x4，由题意得x2＋x3＝4，x1＋x2＋x3＋x4＝8 x1＋x4＝4，
s2＝1 (x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＝4 ①如果有一个数为0或4；则其余数均为2，不合题意；②取|x1－2|＝1，得这组数据为1,1,3,3.
【分析】通过假设x1≤x2≤x3≤x4，可得x2＋x3＝4，x1＋x2＋x3＋x4＝8 x1＋x4＝4，s2＝1 (x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＝4，由此可以推出答案。
11．【答案】46
【知识点】频率分布表；频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由题中频数分布直方图，可知有4人成绩在[0,20)之间，其分数之和估计为4×10＝40；有8人成绩在[20,40)之间，其分数之和估计为8×30＝240；有10人成绩在[40,60)之间，其分数之和估计为10×50＝500；有6人成绩在[60,80)之间，其分数之和估计为6×70＝420；有2人成绩在[80,100)之间，其分数之和估计为2×90＝180，则考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，总分数为40＋240＋500＋420＋180＝1 380，平均数＝ ＝46.
【分析】可以利用频率分布直方图的性质和平均数的定义求解。
12．【答案】（1）解：设A药观测数据的平均数为 ，B药观测数据的平均数为 .由观测结果可得： ＝ ×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
＝ ×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8
＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得 ＞ ，因此可看出A药的疗效更好
（2）解：由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有 的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有 的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）通过条件给出的数据可以计算出A药的平均数和B药的平均数，即可得到答案。
（2）根据茎叶图的性质可以得出答案。
13．【答案】（1）解：由于(1)班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上游，成绩应该属于中游．
但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游
（2）解：①班成绩的中位数是87分，说明高于87分(含87)的人数占一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助．
②班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学习优异的也很少，建议采取措施提高优秀率
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据题意可以进行推测出答案。
（2）根据中位数、平均分、标准差的性质可以推测出答案。
14．【答案】（1）解：由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知 ＝0.25，所以
M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝ ＝0.10.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝ ＝0.12
（2）解：因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60
（3）解：估计这次学生参加社区服务人数的众数是 ＝17.5.因为n＝ ＝
0.6，所以样本中位数是15＋ ≈17.1，估计这次学生参加社区服务人
数的中位数是17.1.样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋
27.5×0.05＝17.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17.25
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本的频率分布估计总体分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（1）由分组可得样本容量M的值，进而得出m的值，由a是对应分组[10,20）的频率与组距的商，计算可得答案。
（2）用高三学生总人数乘分组[10,15)的频率可得。
（3）先估计这次学生参加社区服务人数的众数，再求得中位数，然后可得样本平均人数。
1 / 1高中数学人教新课标A版必修3 第二章 统计 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
一、选择题
1．对于数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2.
①这组数据的众数是3；
②这组数据的众数与中位数的数值不相等；
③这组数据的中位数与平均数的数值相等；
④这组数据的平均数与众数的值相等．
其中正确的结论的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】在这11个数据中，数据3出现了6次，概率最高，故众数是3；将这11个数据按从小到大排列得2，2，3，3，3，3，3，3，6，6，10，中间的数据是3，故中位数是3；平均数 .故选A.
【分析】根据众数、中位数、平均数的性质可以得出。
2．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为（ ）
A．8 B．15 C．16 D．32
【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】样本数据x1，x2，…，x10的标准差 ＝8，则Dx＝64，样本数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差D(2x－1)＝22Dx＝22×64，其标准差为 ＝16.故选C.
【分析】由标准差的计算公式可以得出Dx＝64，由此可推出样本数据的方差D(2x－1)＝22Dx＝22×64，进而求出其标准差。
3．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品7个月份的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前6个月的市场收购价格，则前7个月该产品的市场收购价格的方差为（ ）
月份 1 2 3 4 5 6
价格(元/担) 68 78 67 71 72 70
A． B． C．11 D．
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】设7月份的市场收购价格为x，则y＝(x－71)2＋(x－72)2＋(x－70)2＝
3x2－426x＋15 125，则当x＝71时，7月份的市场收购价格与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，则7月份的市场收购价格为71，计算得前7个月该产品的市场收购价格的平均数是71，方差是 .
【分析】由题意可以设7月份的市场收购价格为x，由此可得到方程y＝(x－71)2＋(x－72)2＋(x－70)2＝3x2－426x＋15 125，由此可以通过计算7月份的市场收购价格和前7个月该产品的市场收购价格的平均数，从而得出方差。
4．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是（ ）
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
【答案】C
【知识点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法；极差、方差与标准差
【解析】【解答】若抽样方法是分层抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错；由题目看不出是系统抽样，所以B错；这五名男生成绩的平均数 ，这五名女生成绩的平均数 ，这五名男生成绩的方差为 [(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，这五名女生成绩的方差为 [(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．
【分析】由题意可知，这不是分层抽样所以A错，同时也无法看出其为系统抽样，所以B错，由男生和女生的平均成绩可以求出两者的方差，通过求出方差可知C项正确。这种随机抽样不能知道男生的平均成绩小于女生的平均成绩，所以D项错误。
5．某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是（ ）
A．高一的中位数大，高二的平均数大
B．高一的平均数大，高二的中位数大
C．高一的平均数、中位数都大
D．高二的平均数、中位数都大
【答案】A
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】从题中茎叶图可以看出，高一的中位数为93，高二的中位数为89，所以高一的中位数大．由计算得，高一的平均数为91，高二的平均数为 ，所以高二的平均数大．
【分析】由茎叶图可以看出高一和高二的中位数，同时通过计算可以求出高一和高二的平均数，由此可以得到答案。
6．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）
A．31.6岁 B．32.6岁 C．33.6岁 D．36.6岁
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】解：由图知，抽到的司机年龄都在[30，35）岁之间频率是0.35；
抽到的司机年龄都在[35，40）岁之间频率是0.30；
抽到的司机年龄都在[40，45）岁之间频率是0.10．
由于在频率分布直方图中，中位数使得左右频率相等，故中位数右侧的频率为0.50．
而[35，45）段上的频率是0.40＜0.50，[30，45）岁之间频率是0.75＞0.50；
故中位数在区间[30，35）内，还要使其右侧且在[30，35）岁之间频率是0.10，
所以中位数是35﹣≈33.6．
故答案选C．
【分析】由于在频率分布直方图中，中位数使得直方图左右两侧频率相等，故中位数右侧的频率为0.50．由残缺的频率分布直方图可求[35，45）段上的频率是0.40＜0.50，[30，45）岁之间频率是0.75＞0.50，可知中位数在区间[30，35）内，再根据频率即可求出中位数．
7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为（ ）
A． B． C．36 D．
【答案】B
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.故s2＝ [(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝ .
【分析】由题意可知要去掉87，99两个数，由87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7可以解出x的值，通过x值可以解出7个剩余分数的方差。
8．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mO，平均值为 ，则（ ）
A．me＝mO＝ B．me＝mO< C．me【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题图可知，30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15，16个数(分别为5，6)的平均数，即me＝5.5，5出现次数最多，故mO＝5， .于是mO【分析】通过观察图可以得出中位数为第15，16个数，由此可求出me＝5.5，通过观察可知5出现次数最多，故mO＝5，通过求出其方差，将三者进行比较可得。
二、填空题
9．某学员在一次射击测试中射靶6次，命中环数如下：9,5,8,4,6,10，
则：
平均命中环数为 ；命中环数的方差为 ．
【答案】7；
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】(1)平均命中环数为 (9＋5＋8＋4＋6＋10)＝7.(2)方差s2＝ (4＋4＋1＋9＋1＋9)＝ .
【分析】（1）直接通过数据计算出平均环数。
（2）通过方差公式可以计算出。
10．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 ．(从小到大排列)
【答案】1,1,3,3
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】不妨设x1≤x2≤x3≤x4，由题意得x2＋x3＝4，x1＋x2＋x3＋x4＝8 x1＋x4＝4，
s2＝1 (x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＝4 ①如果有一个数为0或4；则其余数均为2，不合题意；②取|x1－2|＝1，得这组数据为1,1,3,3.
【分析】通过假设x1≤x2≤x3≤x4，可得x2＋x3＝4，x1＋x2＋x3＋x4＝8 x1＋x4＝4，s2＝1 (x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＝4，由此可以推出答案。
11．如图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为 .
【答案】46
【知识点】频率分布表；频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由题中频数分布直方图，可知有4人成绩在[0,20)之间，其分数之和估计为4×10＝40；有8人成绩在[20,40)之间，其分数之和估计为8×30＝240；有10人成绩在[40,60)之间，其分数之和估计为10×50＝500；有6人成绩在[60,80)之间，其分数之和估计为6×70＝420；有2人成绩在[80,100)之间，其分数之和估计为2×90＝180，则考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，总分数为40＋240＋500＋420＋180＝1 380，平均数＝ ＝46.
【分析】可以利用频率分布直方图的性质和平均数的定义求解。
三、解答题
12．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（2）根据两组数据绘制茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
【答案】（1）解：设A药观测数据的平均数为 ，B药观测数据的平均数为 .由观测结果可得： ＝ ×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
＝ ×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8
＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得 ＞ ，因此可看出A药的疗效更好
（2）解：由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有 的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有 的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好
【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）通过条件给出的数据可以计算出A药的平均数和B药的平均数，即可得到答案。
（2）根据茎叶图的性质可以得出答案。
13．某校初三（1）班、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下表：
（1）请你对下面的一段话给予简要分析：
高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算上上游了！”
（2）请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议．
【答案】（1）解：由于(1)班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上游，成绩应该属于中游．
但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游
（2）解：①班成绩的中位数是87分，说明高于87分(含87)的人数占一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助．
②班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学习优异的也很少，建议采取措施提高优秀率
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据题意可以进行推测出答案。
（2）根据中位数、平均分、标准差的性质可以推测出答案。
14．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
[10,15) 10 0.25
[15,20) 24 n
[20,25) m p
[25,30] 2 0.05
合计 M 1
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；
（3）估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．
【答案】（1）解：由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知 ＝0.25，所以
M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝ ＝0.10.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝ ＝0.12
（2）解：因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60
（3）解：估计这次学生参加社区服务人数的众数是 ＝17.5.因为n＝ ＝
0.6，所以样本中位数是15＋ ≈17.1，估计这次学生参加社区服务人
数的中位数是17.1.样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋
27.5×0.05＝17.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17.25
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本的频率分布估计总体分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（1）由分组可得样本容量M的值，进而得出m的值，由a是对应分组[10,20）的频率与组距的商，计算可得答案。
（2）用高三学生总人数乘分组[10,15)的频率可得。
（3）先估计这次学生参加社区服务人数的众数，再求得中位数，然后可得样本平均人数。
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