第二章 实数（测能力）（含解析）——2023-2024学年北师大版数学八年级上册单元闯关双测卷

第二章 实数（测能力）——2023-2024学年北师大版数学八年级上册单元闯关双测卷
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.有下列各数：0，，0.3131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次增加1），，，，3.14，其中无理数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.对于所有实数a，b，下列等式从左到右一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体.即，在数轴（如题图2）上最接近的点是( )
A.P B.Q C.M D.N
5.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为( )
A.9 B. C. D.
6.下列说法正确的有几个( )
①两个无理数的和可能是有理数；
②任意一个无理数都可以用数轴上的点表示；
③一定没有平方根；
④实数包括有理数、无理数和零；
⑤立方根等于本身的数是1.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.已知，，，则下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
8.若2022的两个平方根是m和n，则的值是( )
A.0 B.2022 C. D.4044
9.在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为( )
A.11 B.10 C.9 D.8
10.如图所示为一金字塔运算程序，其中箭头为数字的移动方向，字母表示限制条件，序号为运算方式，已知a：；
①：；b：；
②：；c：；
③：；d：；
④：；e：；f：，
若某层中的数字达到限制条件，就可以通过相应的运算方式进入新一层，安安将输入的数字定为2，则最后输出的结果为( )
A. B. C. D.无法得到
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.的算术平方根是______，的立方根是______，的绝对值是____________，的倒数是_______.
12.填空：
（1）0的平方根是_____________；9的平方根是______________；
（2）比较下列各组数的大小，填“>”，“<”或“=”；
_____________3；9__________.
13.计算：______.
14.下列说法：
①任何无理数都是无限不循环小数；
②实数与数轴上的点一一对应；
③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；
④近似数1.50所表示的准确数x的取值范围是；
⑤a、b互为相反数，则.其中正确的是________.（填写序号）
15.已知，，则的值为____________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）在解答题目“在数轴上标出，，，，再比较这四个数的大小”时，嘉淇已经标出了和所对应的点，请你标出其余两个数，并比较这四个数的大小.
17.（8分）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为.
请解答：
（1）的整数部分是__________，小数部分是__________.
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
18.（10分）已知a满足，b满足，若.
（1）求m的立方根；
（2）若，求n的值.
19.（10分）【阅读材料】像,,两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.例如,与,与,与等都是互为有理化因式.进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.
【解决问题】
（1）填空:的有理化因式为________;
（2）化简:;
（3）已知正整数a,b满足,求a,b的值.
20.（12分）观察下列规律回答问题：，，，，，….
（1）则________；__________；按上述规律，已知数a小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？
（2）已知，若，用含x的代数式表示y，则_________；
（3）根据规律写出与a的大小情况.
21.（12分）【问题探究】
（1）构造多边形比较无理数大小:在图1的正方形方格纸中(每个小正方形的边长都为1),线段AB的长度为,线段AC的长度为.
①请结合图1,试说明;
②在图2中,请尝试构造三角形,比较与的大小;
③在图3中,请尝试构造四边形,比较与的大小;
【迁移运用】
（2）如图4,线段,P为线段AB上的任意一点,设线段.则是否有最小值 如果有,请求出最小值,并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点P的位置;如果没有,请说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：在0，，0.3131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次增加1），，，，3.14中，无理数有0.3131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次增加1），，共2个；
故选B.
2.答案：D
解析：当时，，当时，，故A不一定成立；
当a，b都小于0时，，故B不一定成立；
，故C不成立；
，故D成立，
故选：D.
3.答案：C
解析：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C.
4.答案：C
解析：，
，
而点M对应的数在0和1之间，
所以，最接近的点是M，
故选：C.
5.答案：A
解析：，
原式
.
故选：A.
6.答案：B
解析：①两个无理数的和可能是有理数，正确；
②任意一个无理数都可以用数轴上的点表示，正确；
③当时，有平方根，故原说法错误；
④实数包括有理数、无理数，故原说法错误；
⑤立方根等于本身的数是和0，故原说法错误；
综上，说法正确的有①②，共2个.
故选：B.
7.答案：A
解析：，.，..故选A.
8.答案：C
解析：2022的两个平方根是m和n，
，，
，
故选：C
9.答案：B
解析：观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
重叠部分也为正方形，
空白部分的面积为，
一个空白长方形面积，
大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
大正方形边长，重叠部分边长，
空白部分的长，
设空白部分宽为x，可得：，解得：，
小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长，
小正方形面积，
故选：B.
10.答案：D
解析：输入是数字是，符合条件a：，进入第二层，
由①得，则，符合条件b：，进入第三层，
由②得，，符合条件e：，回到第一层，
第二次输入的数字是，符合条件a：，进入第二层，
则，符合条件b：，进入第三层
由②得，，符合条件c：，返回第二层，
由③得，，，进入第三层
由②得，，符合条件c：，返回第二层，
由③得，，，进入第三层
由②得，，符合条件c：，返回第二层，
由③得，，，进入第三层
……
观察发现，数字越来越大，在第二、三层循环，
故选：D.
11.答案：9，，，
解析：
的算术平方根为9；
的立方根为；
，
的绝对值是，
的倒数是.
故答案为9，， ，.
12.答案：（1）0；
（2）<；>
解析：（1）0的平方根是0；9的平方根是；
故答案为：0；；
（2），，
，，
故答案为：<；>.
13.答案：
解析：原式
.
故答案为.
14.答案：①②
解析：①任何无理数都是无限不循环小数，说法正确；
②实数与数轴上的点一一对应，说法正确；
③在1和3之间的无理数有无数个，原说法错误；
④近似数1.50所表示的准确数x的取值范围是，原说法错误；
⑤a、b互为相反数，当时，无意义，原说法错误；
综上，正确的是：①②；
故答案为：①②.
15.答案：
解析：因为，，所以，，所以.
16.答案：，数轴见解析
解析：，
，
结合，，可知，在数轴上如下图所示：
由，，，在数轴上的位置可知：.
17.（1）答案：3；
解析：的整数部分是3，
小数部分是：；
（2）答案：4
解析：，
的小数部分为：，
，
的整数部分为：，
.
18.答案：（1）4
（2）51
解析：（1），
，
，
，解得：，
把，代入得：，
m的立方根是；
（2）由（1）可得：，
，
，
，
解得：.
19.答案：（1）
（2）
（3）10
解析:（1）的有理化因式为;
（2）原式;
（3）原式可化为,
,
,
,,
.
20.答案：（1）、
（2）
（3）当或时，；当或时，；当或时，
解析：（1）；；
按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位，
故答案为：、；
（2）由（1）中规律可得，已知，若，
则y的绝对值是x的且符号相反；
用含x的代数式表示y，则，
故答案为：；
（3），，，，，
与a的大小情况为：
当或时，；
当或时，；
当或时，.
21.答案：（1）①见解析;
②图见解析,;
③图见解析,
（2）有最小值,最小值为10
解析:（1）①在图1的正方形方格纸中(每个小正方形的边长都为),线段AB的长度为,线段AC的长度为.
故在中,,即;
②如图:在正方形方格纸中构建,,,
故在中,,即;
③如图:在正方形方格纸中构建,,,,连接BD,
故在中,,则,
在中,,故,
即;
（2）有最小值;
理由如下:设,则,如图:
,
当C,P,D三点共线时,的值最小,
的最小值,
即的最小值为10.
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