第二章 一元二次方程（测能力）（含解析）——2023-2024学年北师大版数学九年级上册单元闯关双测卷

第二章 一元二次方程（测能力）——2023-2024学年北师大版数学九年级上册单元闯关双测卷
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若关于x的一元二次方程的常数项为0,则a的值等于( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
2.用配方法解方程的过程中,应将此方程化为( )
A. B. C. D.
3.方程的根为( )
A.， B.， C. D.
4.若，则一元二次方程必有一根是( )
A.0 B.无法确定 C.-2 D.2
5.如图,在中,,cm,cm.现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动,动点Q从顶点C出发,沿线段CB向点B方向运动,如果点P的速度是2cm/s,点Q的速度是1cm/s,它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动,当P,Q两点运动( )秒时,的面积等于.
A.1 B.3 C.3或5 D.1或5
6.新定义,若关于x的一元二次方程:与,称为“同族二次方程”.如与是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程:与是“同族二次方程”.那么代数式能取的最小值是( )
A.2015 B.2017 C.2022 D.2027
7.已知是关于x的方程的实数根.下列说法：
①此方程有两个不相等的实数根；
②当时，一定有；
③b是此方程的根；
④此方程有两个相等的实数根.上述说法中，正确的有( )
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
8.若关于x的一元二次方程的两根分别为，1，则关于x的一元二次方程的两根分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
9.甲、乙两人同驾一辆车出游，各匀速驾驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶”乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶”.从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为( )
A.1.2小时 B.1.6小时 C.1.8小时 D.2小时
10.若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则( )
A.2或6 B.2或8 C.2 D.6
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给n个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则n的值为________.
12.已知,则的值等于________.
13.在2022年7月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为180，则这个最小数为__________.
14.如图，数轴上点A代表的数为，点B代表的数为，已知，且点A在数轴的负半轴上，则x的值为__________.
15.如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别为，，若，且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为，则乙的面积为_______________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）关于x的一元二次方程有实数根.
（1）求k的取值范围：
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值.
17.（8分）新学期开始时.某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，准备到一家植物种植基地购买A，B两种花苗，据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，需380元.
（1）求A，B两种花苗的单价分别是多少元；
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A，B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室.种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买多少盆B种花苗，B种花苗每盆就降价多少元.若九年级一班的同学本次购买花苗共花费了256元，请计算出本次购买了A，B两种花苗各多少盆.
18.（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）.
19.（10分）已知关于x的一元二次方程.
（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围;
（2）若方程两实数根分别为,,且满足,求实数m的值.
20.（12分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元.销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个.
(1)若售价下降1元，每月能售出_______个台灯，若售价下降x元()，每月能售出____个台灯.
(2)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价.
(3)月获利能否达到9600元，说明理由.
21.（12分）求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解.类似地，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想—一转化思想，把未知转化为已知.用转化的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解.
（1)问题：方程的解是，_____，______.
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解.
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长，宽，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P处，然后沿草坪边沿PD，DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C处，求AP的长.
答案以及解析
1.答案：B
解析:一元二次方程程的常数项为0,
,
,
解得,
故选:B.
2.答案：A
解析:,
,
,
,
故选:A.
3.答案：B
解析：，
，
，
，，
，.
故选：B.
4.答案：D
解析：，，方程必有一根为2.
5.答案：D
解析:设运动的时间为ts,
由题意得:,,
,
解得:,,
即当或时,的面积等于.故选D.
6.答案：B
解析:与是“同族二次方程”,
,
,
,
,
最小值为0,
最小值为2017,
即最小值为2017.
故选B.
7.答案：C
解析：是关于x的方程的实数根，
，
整理得，
，
，
，即；
①，
此方程有两个不相等的实数根，故①说法正确；
②，
当时，一定有，故②说法错误；
③是关于x的方程的实数根.且，
b也是关于x的方程的实数根.故③说法正确；
④此方程有两个不相等的实数根，故④说法错误；
所以，正确的结论是①③，
故选：C.
8.答案：B
解析：把关于x的一元二次方程看作为关于的一元二次方程，关于x的一元二次方程的两根分别为，1，或，解得，，即关于x的一元二次方程的两根分别为，.
9.答案：C
解析：设乙驾车的时长为x小时,则甲驾车的时长为小时，
由题知甲的速度为，乙的速度为，
可得方程
解得，(不合题意,舍去)，
经检验，是原方程的解，
故选：C.
10.答案：A
解析：关于x的一元二次方程有两个实数根，，，即，且，.，，即，，即，解得或.故选A.
11.答案：9
解析：由题意得，
解得，(舍去)，
n的值为9.
12.答案：3
解析:设,
原方程化为:,
解得,,
,
.
故答案为:3.
13.答案：10
解析：设这个最小数为x，则最大数为，根据题意得，整理得，解得，（不合题意，舍去），所以这个最小数为10.
14.答案：-2
解析：根据题意得，整理得，，或，所以，.当时，，舍去，所以x的值为-2.
15.答案：4
解析：设乙的边长为2a，
正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，
，，
，，
，，
正方形EFGH的边长为，正方形ABCD的边长为，
，
解得（负值舍去），
，
故答案为：4.
16.答案：(1)
(2)
解析：（1）根据题意得，解得；
（2）k的最大整数为2，
方程可化为，
解此方程得，.
一元二次方程与方程有一个相同的根，
当时，，解得；
当时，，解得，
，即，
m的值为.
17.答案：（1）A种花苗的单价为20元，B种花苗的单价为30元
（2）购买了A种花苗10盆，B种花苗2盆或购买了A种花苗4盆，B种花苗8盆.
解析：（1）设A种花苗的单价为x元，B种花苗的单价为y元，依题意得，
解得
答：A种花苗的单价为20元，B种花苗的单价为30元.
（2）设购买B种花苗m盆，则购买A种花苗盆.依题意得.
整理得，
解得，，
当时，；
当时，,
答：购买了A种花苗10盆，B种花苗2盆或购买了A种花苗4盆，B种花苗8盆.
18.答案：（1），
（2）方程无实数根
（3），
解析：（1）移项，得，
因式分解，得，
解得，.
（2）移项，得.
因为，，，
所以，
所以方程无实数根.
（3）把看成一个整体，
因式分解，得，
整理，得，
解得，.
19.答案：（1）
（2）2
解析:（1）关于x的一元二次方程有实数根,
,
解得:,
即m的取值范围是;
（2）,,
,
,
,即,
解得或.
;
.
故m的值为2.
20.答案：(1)800；；(2)每个台灯的售价为37元；(3)月获利不能达到9600元，理由见解析.
解析：(1)售价每下降1元，其月销售量就增加200个，
若售价下降1元，每月能售出个台灯，若售价下降x元()，每月能售出个台灯；
(2)设每个台灯的售价为x元，
由题意得：，
解得：，，
当时，（舍去），
当时，（符合题意），
答：每个台灯的售价为37元；
(3)月获利不能达到9600元，
理由：设每个台灯的售价为x元，
由题意得：，
整理得：，
，
方程无实数根，即月获利不能达到9600元.
21.答案：（1）-2；1
（2）
（3）4m
解析：（1）略
（2）方程的两边平方，得，
整理，得，
因式分解，得，
或，
，，
当时，，
不是原方程的解，
方程的解是；
（3）四边形ABCD是矩形，
，，
设，则，
，，，
，
，
两边平方，得，
整理，得，
两边平方并整理，得，即，
解得.
经检验，是方程的解。
答：AP的长为4m.
1