第三章 位置与坐标（测能力）（含解析）——2023-2024学年北师大版数学八年级上册单元闯关双测卷

第三章 位置与坐标（测能力）——2023-2024学年北师大版数学八年级上册单元闯关双测卷
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若点与关于x轴对称，则点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏.如图是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“帥”的点的坐标分别为，，则表示棋子“馬”的点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，点在x轴上，则点M的坐标是( )
A. B. C. D.
4.平面直角坐标系中，点，，经过点A的直线轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，若点的坐标为，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A,B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，建立如图所示的直角坐标系，曲线C就是其中之一.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C在第一、二象限中的任意一点到原点的距离大于1；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中正确结论的序号是( )
A.① B.② C.①② D.①②③
8.已知等腰，建立适当的平面直角坐标系后，其三个顶点的坐标分别为，，，则下列关于该三角形的三边关系正确的是( )
A. B.
C. D.
9.下列说法不正确的是( )
A.若，则点一定在第二、四象限的角平分线上
B.已知点，，则轴
C.若满足，则点P在x轴上
D.点一定在第二象限
10.在平面直角坐标系中,任意两点,规定运算:(1);(2);(3)当且时,.下列四个命题:
①若,则;
②若,则;
③若,则;
④对任意点,均有成立.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿.将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为_______.
12.若点关于y轴的对称点是点，则_______.
13.已知点的坐标为,且点P到两坐标轴的距离相等,则______.
14.在平面直角坐标系中，若点和关于直线对称，则_________.
15.如图，直角坐标系中，，，，则B的坐标是____.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）在航空、航海等领域我们经常用距离和角度来确定点的位置.规定如下:在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个单位长度和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内任意一点M，用表示线段OM(有时也用r表示），表示从Ox到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对，就叫做点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系.通常情况下，M的极径坐标单位为1(长度单位），极角坐标单位为rad(或°).
例如：如图（1），点M到点O的距离为5个单位长度，OM与Ox的夹角为(Ox的逆时针方向），则点M的极坐标为;同理，点N到点O的距离为3个单位长度，ON与Ox的夹角为(Ox的顺时针方向），则点N的极坐标为.
请根据以上信息，回答下列问题：
如图（2），已知过点O的所有射线等分圆周且相邻两射线的夹角为.
（1）点A的极坐标是______，点D的极坐标是______.
（2）请在图（2）中标出点，点
（3）怎样从点B运动到点C？
小明设计的一条路线为点点C.
请你设计与小明不同的一条路线，也可以从点B 运动到点C.
17.（8分）如图，的三个顶点的坐标分别是，，.
（1）在图中画出关于x轴对称的
（2）分别写出点A，B，C三点关于y轴对称的点，，的坐标；
（3）的面积为______.
18.（10分）如图是我校的平面示意图.
（1）以大门所在位置为原点，画出平面直角坐标系；
（2）在（1）的基础上，表示下列各点坐标：教学楼：______，图书馆：_______，实验楼：_______，操场：_______.
（3）若行政楼的位置坐标为，在图中标出它的位置.
19.（10分）已知点，解答下列问题：
(1)若点P在x轴上，则点P的坐标为__________；
(2)若点，且轴，则点P的坐标为_________；
(3)若点N的坐标为，直线轴，且线段PN的长为4，求b的值及点N的坐标.
20.（12分）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为，，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴或平行于y轴时，两点间的距离公式可化简成或.
(1)若已知两点，，试求A，B两点间的距离；
(2)已知点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为-2，试求M，N两点间的距离；
(3)已知一个三角形各顶点的坐标为，，，请求出该图形的面积.
21.（12分）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“相伴点”.
例如：点的一对“相伴点”是点与.
（1）点的一对“相伴点”的坐标是________与________；
（2）若点的一对“相伴点”重合，则y的值为________；
（3）若点B的一个“相伴点”的坐标为，求点B的坐标；
（4）如图，直线l经过点且平行于x轴.若点C是直线l上的一个动点，点M与N是点C的一对“相伴点”，在图中画出所有符合条件的点M，N组成的图形.
答案以及解析
1.答案：C
解析：点与关于x轴对称，
，，
点M坐标为，在第三象限.
故选：C.
2.答案：C
解析：如图所示，表示棋子“馬”的点的坐标为.故选C.
3.答案：B
解析：点在x轴上，则，
解得，
，
故选：B.
4.答案：C
解析：如图所示.因为轴，点C是直线a上的一个动点，点，所以设点.因为当时，BC的长度最短，且点，所以，所以点C的坐标为.
5.答案：B
解析：的坐标为，
，，，，
，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
，
点的坐标与的坐标相同，为.
故选：B.
6.答案：D
解析：由已知条件得到
根据勾股定理得到,
于是得到结论.
7.答案：C
解析：①观察题图可得曲线C经过的整点有6个，故正确；②曲线C在第一、二象限中的任意一点到原点的距离大于1，坐标轴上的点不属于任何一个象限，故正确；③由题图可知，曲线C经过的点有，，，，，，故在横轴以上的部分面积大于2，而横轴以下的部分面积大于1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故原结论错误.故选C.
8.答案：A
解析：建立平面直角坐标系如图所示，BC交x轴于点D.因为，，，所以，，，所以.故选A.
9.答案：C
解析：A.若，则x，y互为相反数，点一定在第二、四象限的角平分线上，原说法正确，故此选项不符合题意；
B.点P，Q的纵坐标相等，轴，原说法正确，故此选项不符合题意；
C.若满足，则点P在x轴或y轴上，原说法不正确，故此选项符合题意；
D.，，点一定在第二象限，原说法正确，故此选项不符合题意.
10.答案：C
解析：①,所以①正确;②设,因为,,而,所以,则,所以,所以②正确;③因为,而,则,不能得到,所以不一定成立,所以③不正确;④因为,,所以,所以④正确.故选C.
11.答案：
解析：根据题意建立平面直角坐标系如图所示，可知点C的坐标为.
12.答案：-1
解析：点关于y轴的对称点是点，
，，
，
.
故答案为：-1.
13.答案：或4
解析:点到两坐标轴的距离相等,
或,
解得或.
故答案为:1或4.
14.答案：8
解析：因为点和关于直线对称，所以，，解得，，则.
15.答案：
解析：作轴于点C，作于点D，如图所示，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，，
点B的横坐标为，纵坐标为：，
点B的坐标为，
故答案为：.
16.答案：（1），.
（2）点B、点E如图所示.
（3）（答案不唯一）点点C.
解析：
17.解析：（1）如图，即是所作的图形；
（2），，
点A，B，C三点关于y轴对称的点，，的坐标为：
、、；
（3）如图，
故答案为：.
18.解析：（1）所画坐标系如图所示；
（2）由图示知，教学楼；图书馆；实验楼；操场；
故答案为：；；；
（3）如图，点F为行政楼的位置.
19.答案：(1)点P的坐标为
(2)点P的坐标为
(3)，此时点N的坐标为
解析：(1)由题意，得，解得，
，
点P的坐标为.
(2)根据题意，得，解得，
，
点P的坐标为.
(3)直线轴，P，N两点的纵坐标相等，
即，解得，.
当点P在点N的左边时，，
解得，此时点N的坐标为；
当点P在点N的右边时，，
解得，此时点N的坐标为.
20.答案：(1)A，B两点间的距离是
(2)M，N两点间的距离是9
(3)
解析：(1)因为点，，
所以，
即A，B两点间的距离是.
(2)因为点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为-2，
所以，即M，N两点间的距离是9.
(3)因为一个三角形各顶点的坐标为，，，
所以，
，
.
因为，
所以是直角三角形，
所以.
21.解析：（1），
，，
点的一对“相伴点”的坐标是与，
故答案为：，；
（2）点，
，，
点的一对“相伴点”的坐标是和，
点的一对“相伴点”重合，
，
，
故答案为：-4；
（3）设点，
点B的一个“相伴点”的坐标为，
或，
或，
或；
（4）设点，
，，
点C的一对“相伴点”的坐标是与，
当点C的一个“相伴点”的坐标是，
点M在直线上，
当点C的一个“相伴点”的坐标是，
点N在直线上，
即点M，N组成的图形是两条互相垂直的直线m与直线n，如图所示，
1