九年级下册26章《反比例函数》导学案 【编号：01】 26.1.1反比例函数
多少事，从来急；天地转，光阴迫，一万年太久，只争朝夕
九年级下册27章《相似》导学案 【编号：07】 27.2 图形的相似
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 利用三边关系、边角关系判定三角形相似
目标导学
1．掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)
2．会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算. (重点、难点)
二、新知导入
我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？
在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？
三、新知探究
知识点一：利用“三边成比例”判定三角形相似
如图，在△与△中，，求证△∽△。
证明：在线段(或它的延长线)上截取=，过点D作，交于点E。根据前面的定理（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），可得△∽△
∴______________________。
又∵，=，
∴，
∴___________________，__________________。
∴.
∴△∽△
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理
三边成比例的两个三角形相似
符号语言：
∵
∴ △∽△
【典例一】在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=4，将△ABC的各边进行下列变换：①各边的长度分别扩大为原来的3倍；②各边的长度分别缩小为原来的；③各边的长度分别增加2；④各边的长度分别平方。其中得到的三角形与△ABC相似的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
（跟踪训练）1、有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形木框（ ）
一定相似 B、一定不相似 C、不一定相似 D、无法判断
（跟踪训练）2、已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组值时，这两个三角形相似？（ ）
A、2cm，3cm B、4cm，5cm C、5cm，6cm D、6cm，7cm
（跟踪训练）3、如图，4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格三角形是（ ）
知识点二：利用“两边成比例且夹角相等”判定三角形相似
如图，在△与△中，，,求证△∽△。
证明：在线段(或它的延长线)上截取=，过点D作，交于点E。根据前面的定理（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），可得△∽△
∴
又∵，=，
∴，
∴
又∵
∴.
∴△∽△
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
符号语言：
∵ ，,
∴ △∽△
【典例二】如图，在 △ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且AD=4，BD=2，AE=3，CE=5。
（1）求证：△ABC∽△AED；
（2）求的值。
（跟踪训练）4、在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE//BC的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（跟踪训练）5、在图①②所示的△ABC中，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A、只有①中的与△ABC相似
B、只有②中的与△ABC相似
C、都与△ABC相似
D、都与△ABC不相似
四、当堂达标
基础
1、网格图中每个方格都是边长为1的正方形，若A，B，C，D，E，F都是格点，求证：△ABC∽△DEF.
2、如图，在△ABC中，AB=9，AC=6。点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上。当AN=_______时，△AMN与原三角形相似。
第2题图 第3题图 第4题图
3、如图，在△ABC中，D为AB上一点，若，则（ ）
A、△ADC∽△CBD B、△BDC∽△BCA C、△ADC∽△ACB D、以上都不对
4、如图，在正方形网格中，△ABC和△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，则∠ABC+∠EFD的度数为______________。
综合
5、如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上的一点，且，求证∽。
6、如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=6cm，点P从点B出发以1cm/s的速度向A点运动，同时点Q从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，在运动过程中，若要使以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则运动时间为多少？
中考
7、如图，在象棋盘（各个正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列那个位置处，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似？（ ）
A、①处 B、②处 C、③处 D、④处
8、如图，在△PAB中，C，D是AB上两点。已知.
求证：PC=PD；
求证：△PDB∽△APB
若∠APB=120°，求证：△PCD为等边三角形。
五、课后总结
三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；
2、三角形相似的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；九年级下册26章《反比例函数》导学案 【编号：01】 26.1.1反比例函数
多少事，从来急；天地转，光阴迫，一万年太久，只争朝夕
九年级下册27章《相似》导学案 【编号：08】 27.2 图形的相似
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 利用两角分别相等判定三角形相似、直角三角形相似判定
目标导学
1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.
2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)
3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.
二、新知导入
与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使得∠A和∠A ′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？对应边的比，，相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流．
三、新知探究
知识点一：利用“两角分别相等”判定三角形相似
如图，在△与△中，，，求证△∽△。
证明：在线段(或它的延长线)上截取=，过点D作，交于点E。根据前面的定理（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），可得△∽△
∴______________________。
又∵，
∴
又∵,
∴______________________，
∴△∽△
由此我们得到利用两角判定三角形相似的定理
两角分别相等的两个三角形相似
符号语言：
∵ ,
∴ △∽△
【典例一】在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°,求证：△ABC∽△DEF。
（跟踪训练）1、如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD.
证明:连接AC，DB.
∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角，
∴ ∠A= _______，
同理 ∠C= _______，
∴ △PAC ∽ △PDB，
∴_______________，即PA ·PB = PC · PD.
（跟踪训练）2、如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点E为AC上的点，若AB=6，AE=4，∠ADE=∠C，则AC的长为____________。
（跟踪训练）3、如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，若∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE
第2题图 第3题图
知识点二：利用“直角边、斜边分别成比例”判定直角三角形相似
如图，在Rt△与Rt△中，，，
求证Rt△∽Rt△。
证明：参照课本P36的证明过程，思考如果利用前面判定方法类似的方法怎么证明？
由此我们得到判定直角三角形相似的方法
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似
符号语言：
∵
∴ Rt△∽Rt△
注意：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似
【典例二】在△ABC和△A B C 中，∠C=∠C =90°，AC=3，AB=5，A C =6，当B C =__________时，△ABC∽△A B C 。
（跟踪训练）4、如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
（跟踪训练）5、如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD =，当 AB 的长为_______时，△ACB 与△ADC相似．
（跟踪训练）6、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB为中点，ED⊥AB交AC于点E，若AC=3，，则AE的长为____________。
跟踪训练5 跟踪训练6 基础第1题 基础第3题
四、当堂达标
基础
如图，点P在△ABC的边AC上，要判定△ABP∽△ACB，再添加一个条件，不正确的是（ ）
B、 C、 D、
2、已知一个三角形的两个内角分别是50°和70°，另一个三角形的两个内角分别是50°和60°，则这两个三角形（ ）
A、一定不相似 B、不一定相似 C、一定相似 D、不能确定
3、如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3，PB=8，PC=4，则 PD=_________。
综合
4、如图，点A，B，C，D在同一个圆上，弦AC，BD相交于点P，AD，BC的延长线交于点E，则图中相似三角形共有（ ）
A、2对 B、3对 C、4对 D、5对
5、如图，在平行四边ABCD中，E为DC上一点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C。求证：△ABF∽△EAD。
6、如图，在8×8的正方形网格中，△ACB和△DCE的顶点都在格点上，延长ED交AB于点F。
求证：△ACB∽△DCE。
中考
7、如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF。
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）求证：△ABG∽△CFG。
8、如图，AB是圆的直径，BE是圆的切线，△ACD内接于圆，连接AE,若∠ADC=125°，，则∠E的度数为______________。
五、课后总结九年级下册26章《反比例函数》导学案 【编号：01】 26.1.1反比例函数
多少事，从来急；天地转，光阴迫，一万年太久，只争朝夕
九年级下册27章《相似》导学案 【编号：06】 27.2 图形的相似
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
目标导学
1．了解相似比的定义；(重点)
2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似；(重点)
3．应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点)
二、新知导入
上一节我们已经学过相似多边形，其中最简单的就是相似三角形，如图，在 和 中，如果，，，，即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说 与 相似，相似比是。相似用符号“ ∽ ”表示，读作“相似于”。 与 相似记作“ ∽ ”
三、新知探究
知识点一：平行线分线段成比例的基本事实
如图，任意画两条直线，再画三条与都相交的平行线，交点如图所示。
通过测量和计算可以发现，当时，有，，，，等
归纳：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
【典例一】如图，，下列等式成立的是（ ）
B、 C、 D、
（跟踪训练）1、如图，，直线与分别相交于点A，B，C，D和点E，F，G，H，若,，则的长为__________。
典例一 跟踪训练1
知识点二：平行线分线段成比例的基本事实的推论
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中国，会出现下面两种情况：
在图（1）中，把看成平行于△ABC的边BC的直线；在图（2）中，把看成平行于△ABC的边BC的直线，那么我们可以得到结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
【典例二】如图，AB//CD//EF，AF与BE交于点G，且CE=2，BC=6，AD=8，DG=3，则CG的长为______；DF的长为________。
典例二 跟踪训练2
（跟踪训练）2、如图，在△ABC中，，AD=9，BD=3，CE=2，则AC的长为（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
知识点三：利用平行线判断三角形相似
已知：在△ABC中，DE//BC，且分别交AB，AC于点D，E，
求证：△ADE与△ABC相似。
证明：在△ADE与△ABC中，。
∵ DE//BC
∴_______________,_______________.
过点E作EF//AB，交BC于点F（如右图）。
∵ DE//BC，EF//AB
∴ _______________,_______________
∵ 四边形DBFE是平行四边形，
∴ DE=BF
∴ _______________,
∴ _________________________,
这样，我们证明了△ADE与△ABC的角分别相等，边成比例，所以△ADE∽△ABC。因此我们有如下判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
【典例三】如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，M为边BC上一点，连接AM交DE于点N，则图中相似三角形的组数是（ ）
A、2组 B、3组 C、4组 D、5组
典例三 跟踪训练3
（跟踪训练）3、如图E是平行四边形ABCD的边CD上一点，且，连接BE并延长交AD的延长线于点F。
写出图中任意一对相似三角形，并证明；
若DF=3，计算AD的长。
四、当堂达标
基础
1、如右下图，直线 ，直线被直线所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF。若AB=4，BC=6，DE=3，则DF的长是（ ）
2、如图，，直线于分别相较于点A，B，C和点D，E，F。若AB=3，DE=2，BC=6，则EF=___________。
3、如图，在△ABC中，DE//BC，∠ADE=∠EFC，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为________。
4、如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF//BC，交AD于点F，过点E作EG//AB，交BC于点G，则下列式子一定正确是（ ）
A、 B、 D、 C、
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
综合
如图是一架梯子的示意图，其中，且AB=BC=CD。为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得AE=0.4m，则=________m。
如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC=1：2，O是BD的中点，连接AO并延长，交BC于点E，则BE：EC=___________。
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
中考
如图，在△ABC中，D为AC的中点，连接BD，点E在BD上，且，连接AE并延长交BC于点F，DG//AF交BC于点G，则的值为________
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，BE，若BE=DE，,则的值为___________。
9、四边形ABCD是平行四边形，E是对角线AC上一点，射线DE分别交射线CB，AB于点F，G。
如图，如果点F在CB边上，点G在AB边的延长线上，求证：.
如果点F在CB边的延长线上，点G在AB边上，试写出与之间的一种等量关系，并给出证明。
五、课后总结
1．相似三角形的定义及有关概念；
2．平行线分线段成比例定理及推论；
3．相似三角形的引理．
