初中数学人教版九年级下册第二十七章27.2.3相似三角形应用举例

九年级下册26章《反比例函数》导学案 【编号：01】 26.1.1反比例函数
多少事，从来急；天地转，光阴迫，一万年太久，只争朝夕
九年级下册27章《相似》导学案 【编号：10】 27.2相似三角形
27.2.3 相似三角形应用举例
目标导学
1．能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. (重点)
2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．(难点)
二、新知导入
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” .在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？
三、新知探究
知识点一：相似三角形测量高度
常见类型 利用阳光、影长测量高度 利用标杆测量高度 利用平面镜测量高度
测量原理 在同一时刻物高与影长成正比 标杆与建筑物平行构造相似三角形 光线的反射角等于入射角
示意图
测量数据 求建筑物的高AB，需测量人的身高DE，影长EF及建筑物的影长BC 求建筑物的高AB，需测量EF，CD，FD，BD 求建筑物的高AB，需测量CD，DE，BE
拓展：反射光线、入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角∠FON等于入射角∠EON。
【典例一】据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF
又∠AOB=∠DFE=90°
∴_____________________，
∴_____________________，
∴
因此金字塔的高度为134m。
（跟踪训练）1、如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是（ ）
B、 C、 D、
（跟踪训练）2、△如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是______米．
（跟踪训练）3、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是（ ）
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
跟踪训练1 跟踪训练2 跟踪训练3
知识点二：利用相似测量宽度
测量原理 构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解
示意图
测量数据 求AB的宽，要测量BE，CD，BC 求AB的宽，要测量BC，CD，DE
【典例二】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线的交点 R. 已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.
解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，
∴ △PQR∽△PST
∴ _____________________。
即,, ∴ PQ×90=（PQ+45）×60
解得 PQ=__________（m）
因此，河宽大约为90m。
（跟踪训练）4、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离 AB．
（跟踪训练）5、连如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米， EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.
四、当堂达标
基础
1、小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为( )
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
2、小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长
为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶( )
A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m
3、如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为_________ m.
综合
如图，夜晚路灯下，小莉在点D处测得自己的影长DE=4m，在点G处测得自己的影长DG=3m，E，D，G，B在同一条直线上。已知小莉身高为1.6m，求灯杆AB的高度。
中考
《九章算术》是我国传统数学重要的著作，在《勾股》章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门多少步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）请你计算KC的长为____________步。
已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为___________。
五、课后总结
1．利用相似三角形测量物体的高度；
2．利用相似三角形测量河的宽度；
3．设计方案测量物体高度．