2023-2024 学年第一学期永安三中高中校 1 月月考
高一数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数
的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1．A 2．D 3．D 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。全部选对的得 5分，有选错的得 0 分，
部分选对的得 2分。
9．BCD 10．AC 11．BD 12．BD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
3 7
13． 14．
2 9
15． 2≤m≤3 16． 2
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
3 4 3 4
17. 解：由 < < ，得 = , = , = ．
2 5 5 3
2 2 + 2 2 ( + )
⑴ =
2 2 2
2
=
2
=
1
= 8；
5 5 5
⑵cos ( ) = cos cos + sin sin
4 4 4
3 √2 4 √2
= × ( ) + ( ) × ( )
5 2 5 2
7√2
= ．
10
18． (1)
1 / 4
{#{QQABCQKAgggoAAIAAAgCAwGqCkIQkBCAACoOQFAAMAAAyQNABAA=}#}
(2)
.
19．（1） x , x x x1 2 ( 2, 2)，且 1 2 ，
则 f x1 f x2
2 x1 2 x 2 ················································································································ 1分
2 x1 2 x2
2 x1 2 x2 2 x2 2 x1
2 x1 2 x2
4 x1 x2
． ·········································································································· 2分
2 x1 2 x2
因为 x1 x2 0 ， 2 x1 0，2 x2 0 ，
所以 f x1 f x2 0， ································································································· 3分
即 f x1 f x2 ，所以 f x 在 2, 2 上单调递增. ················································· 4分
（2）由 f x 0 ，得 2 x 2，即 g x 的定义域为 2, 2 ． ··························· 5分
2 x
对于任意的 x ( 2, 2)， g x log , 2
2 x
2 x
g x log2 ····································································································· 6分
2 x
2 x
log 2
2 x
2 / 4
{#{QQABCQKAgggoAAIAAAgCAwGqCkIQkBCAACoOQFAAMAAAyQNABAA=}#}
1
2 x
log2
2 x
2 x
log 2
2 x
g x ·················································································································· 7分
所以 g x 是奇函数． ········································································································ 8分
2 x
（3）由（1）知， y 在 ( 2, 2) 上单调递增，
2 x
又因为 y log2 x 是增函数，所以 g x 是 ( 2, 2) 上的增函数．
2 1 x 2,
由 x 得 1 x 3． ···················································································· 9分
2 2
2
x
由 g 1 x g 0，
2
x
得 g g 1 x
2
因为 g x 是奇函数，所以 g 1 x g x 1 ．
x
所以原不等式可化为 g g x 1 ， ······································································ 10分
2
x
则 x 1，
2
解得 x 2 ． ······················································································································ 11分
所以原不等式的解集为 x 1 x 2 ． ······································································· 12分
2
20．（1） ( )的最小正周期 = = .
2
令 + 2 < 2 < + 2 ,( ∈ ),
2 6 2
∴ + < < + ,( ∈ ),
6 3
∴ ( )的单调递增区间为( + , + ),( ∈ ),
6 3
5
单调递减区间为( + , + ),( ∈ ).
3 6
5
(3)∵ ∈ [0, ],∴ 2 ,
2 6 6 6
3 / 4
{#{QQABCQKAgggoAAIAAAgCAwGqCkIQkBCAACoOQFAAMAAAyQNABAA=}#}
∴ , 2 2 (2 ) 1 1,
6
( )在[0, ]上的值域为[ 2,1].
2
3 π 1
21．(1)因为 ( + ) = , ( ) = ,
5 3 3
π π
所以 ( + ) = *( + ) ( ) +
3 3
π 3 1
( + ) ( 3 ) = = 5 3
2
π =
1 + ( + ) ( 3 )
3 1
1 + × 9
5 3
π π π
(2)由 < < ,得 < 2 < π,
4 2 2
3
∴ 2 = √1 22 = ,
5
3 4 24
4 = 2 2 2 = 2 × × ( ) = ,
5 5 25
4 2 32 7
4 = 2 22 1 = 2 × ( ) 1 = 1 = .
5 25 25
22.(1)随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，
而 y x2 ax b 在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
y 2x a b 随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
故选择函数 y alog2x b .
1
a log2 4 b 2a b 4, a ,
(2)由题意可得 ，解得 2 ，
a log2 8 b 3a b 4.5
b 3
1
所以 y log2x 3 .
2
1
令 y log2x 3 6 ，解得 x 64 .
2
故至少再经过62 小时，细菌数列达到 6 百万个.
4 / 4
{#{QQABCQKAgggoAAIAAAgCAwGqCkIQkBCAACoOQFAAMAAAyQNABAA=}#}准考证号_______________姓名______________
（在此卷上答题无效）
2023-2024 学年永安三中高中校高一（上）第二次月考
本试卷共 5 页．满分 150 分．
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要
认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是
否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题
卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．设集合 A={x 0 x 4}，B 2,3,4 ，则 A B
A． 2,3 B． 1, 2,3
C． 2,3, 4 D． 1,2,3,4
2．命题“ x 2， x2 2 6 ”的否定是
A． x 2， x2 2 6 B． x 2， x2 2≤6
C． x 2 ， x2 2 6 D． x 2 ， x2 2≤6
1
3.函数 f (x) 2 x 的定义域为
x 1
A． ( , 2) B． ( , 2] C． ( ,1) (1, 2) D． ( ,1) (1, 2]
1 1
4．若条件 p : x≤2，q : ≥ ，则 p 是 q 成立的
x 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
数学试题 第 1 页 （共 5 页）
{#{QQABCQKAgggoAAIAAAgCAwGqCkIQkBCAACoOQFAAMAAAyQNABAA=}#}
3
5．已知sin x ，则cos x
3 5 6
3 4 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
1 1
6．设m 0，n 0 ，且m 2n 1，则 的最小值为
m n
A． 4 B．3 2 C．3 2 2 D．6
1
7．已知 满足sin + cos = ，则sin 2 =
3
2 2 8 8
A． B． C． D．
3 3 9 9
8． ( )
√3 √3 1 1A. B. C. D. 2 2 2 2
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多个
选项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分。
9. 设 是三角形的一个内角，下列选项中可能为负值的有
A. sin B. cos C. tan D. cos sin
10． 已知角 的终边过点 ,则( )
√
A. 3
√
( ) = B. 22 3 =
3
1
C. 5 2 = D. 3 2 =
9
11. 下列命题中正确的是
A. 已知函数函数 f x 的定义域为 1,3 ，则 f 2x 1 定义域为 1,1
f (x) a x- 4B. 函数 = + 1（ a 0 且a 1）的图象恒过定点 4, 2
C. 命题：“ x 0 ， x2 0 ”的否定是“ x 0， x2 0 ”
D. 若函数 f 2x 1 x 3 x ，则 f x x x 2 x 1
数学试题 第 2 页 （共 5 的页）
{#{QQABCQKAgggoAAIAAAgCAwGqCkIQkBCAACoOQFAAMAAAyQNABAA=}#}
x x
12．已知函数 f x log2 2 8 2x，以下判断正确的是
A． f x 是增函数 B． f x 有最小值
C． f x 是奇函数 D． f x 是偶函数
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分。
3 1
13．已知角 的终边经过点 ( , ) ，则sin ．
2 2 6
1
14．sin( ) = , 求cos 2 = ．
3
15．已知 f x x2 ， g x x．若实数m 满足 f m g m ≤6 ，则 m 的取值范围是
______.
x2 2x 1, x≤0,
16．函数 y 的零点个数为_______．
lg x 2x 3, x 0
四、解答题：本题共 6 小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
3 4
已知 < < ， = ，求下列各式的值：
2 5
2 2 : 2
⑴ ；
2
5
⑵cos ( )． 4
18．（12分）
计算下列各式的值:
(1) ;
(2)
数学试题 第 3 页 （共 5 页）
{#{QQABCQKAgggoAAIAAAgCAwGqCkIQkBCAACoOQFAAMAAAyQNABAA=}#}
19．（12分）
2 x
设函数 f x ， g x log2 f x ．
2 x
（1）根据定义证明 f x 在区间 ( 2, 2) 上单调递增；
（2）判断并证明 g x 的奇偶性；
x x （3）解关于 的不等式 g 1 x g 0 .
2
20. （12 分）
已知函数 ( ) = 2 (2 ) 1.
6
（1）求 (x)的最小正周期、单调区间;
π
（2）求 (x)在[0, ]上的值域.
2
21. （12 分）
3 1
(1) 已知tan( + ) = ,tan ( ) = ,求tan ( + );
5 3 3 3
4
(2) 已知cos2 = , < < ,求sin4 ,cos4 .
5 4 2
数学试题 第 4 页 （共 5 页）
{#{QQABCQKAgggoAAIAAAgCAwGqCkIQkBCAACoOQFAAMAAAyQNABAA=}#}
22. （12分）
在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖
速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 y （单位：百万个）与培养
时间 x（单位：小时）的关系为：
x 2 3 4 5 6 8
y 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第 2 小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
① y alog2x b
2
，② y x ax b y 2x a，③ b .
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）利用 4, 4 和 8, 4.5 这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第 2 小时开
始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到 6 百万个.
数学试题 第 5 页 （共 5 页）
{#{QQABCQKAgggoAAIAAAgCAwGqCkIQkBCAACoOQFAAMAAAyQNABAA=}#}
