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龙华区中小学2023-2024学年第一学期期末学业质量监测试卷
高一数学
说明：
1．本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的条形码贴在答题卡上．
3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案．
4．非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．半径为的圆中，弧长为的圆弧所对的圆心角的大小为
A． B． C． D．
2．函数的定义域是
A． B．
C． D．
3．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，，，则，，的大小关系为
A． B．
(
图
1
)C． D．
5．如图1，直线和圆，当从开始在平面上绕点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是
A． B． C． D．
6．定义一种运算：．已知函数=，为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
(
图
2
)7．如图2，有三个相同的正方形相接，若，，
则
A． B．
C． D．
8．设集合，，若，则的取值范围是
A． B．
C．且 D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列各组函数中，是相同函数的是
A．与 B．与
C．与 D．与
10．已知非零实数，满足，则
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列结论正确的是
A．的值域是 B．的图象关于原点对称
C．在其定义域内单调递减 D．方程有且仅有两根
12．已知函数（，），为的零点，且在上单调递减，则下列结论正确的是
A． B．若，则
C．是偶函数 D．的取值范围是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
(
图
3
)13．已知集合，，则 ．
14．设，均为实数，且，则 ．
15．如图3，单位圆被点，，，…，平均分成份，以轴的正半轴为始边，（…）为终边的角记为，则= ，= ．（说明：∑是一个连加符号，…）
16．已知且，若函数中至少存在两点，，使，关于轴对称，则的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
（1）计算：；
（2）已知角终边上一点，求的值．
18．（12分）
已知函数的一条对称轴为．
（1）求的值；
（2）当时，求的单调递增区间．
(
图
4
y
16
14
12
10
8
6
4
2
O
4
3
2
1
1
2
3
4
x
f
(
x
)
=
x
2
)
19．（12分）
如图4，给出函数的部分图象．
（1）请在图中同一坐标系内画出函数的图象．设与在轴左边的交点为，试用二分法求出的横坐标的近似解（精确度为0.3）；
（2）用表示，中的较大者，记为
，请写出的解析式．
20．（12分）
已知函数，且．
（1）若，求方程的解；
（2）若对，都有恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）
如图5所示，某开发区有一块边长为的正方形空地．当地政府计划将它改造成一个体育公园，在半径为的扇形上放置健身器材，并在剩余区域中修建一个矩形运动球场，其中是弧上一点，分别在边上．设，球场的面积．
（1）求的解析式；
(
A
B
C
D
E
F
M
N
P
θ
图
5
)（2）若球场平均每平方米的造价为元，问：当角为多少时，球场的造价最低．
22．（12分）
若函数的定义域为，若对于给定的正实数，存在，使得，则称函数在上具有性质．
（1）若函数在区间上具有性质，求正整数的最小值；
（2）若函数在区间上具有性质，求的取值范围．龙华区2023-2024学年第一学期期末质量检测
高一数学参考答案 2024.01
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C C A B C
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 9 10 11 12
答案 AC ACD BD ABD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15.，（第一空2分，第二空3分）
16. （填对一个得2分，全对得5分）
选填题答案详解：
1．已知半径为的圆上，有一条弧的长度为，则该弧所对的圆心角的度数为
A． B． C． D．
解析：由弧长公式得，故选B.
2．函数的定义域是
A． B．
C． D．
解析：解得，定义域是，故选D.
3．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当时，；当 时，或，不能推出.所以是的充分不必要条件，故选A.
4．已知，，，则，，的大小关系为
A． B．
C． D．
解析：由，，得，故选C.
(
图
1
)5．如图1，直线和圆，当从开始在平面上绕点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是
A． B． C． D．
解析：由题意可知单位时间直线转过的角度是相同的，扫过的圆的面积先增大后减小；直线扫过的圆内阴影面积随时间增大逐渐增大，增速先增大后减小，故选C.
6．定义一种运算：．已知函数=，为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
解析：由题可知函数，将其图象上所有点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故选A.
(
图
2
)7．如图2，有三个相同的正方形相接，若，，
则
A． B．
C． D．
解析：设正方体边长为1，由图2得，则且，所以故选B.
8．设集合，，若，则的取值范围是
A． B．
C．且 D．
解析：由得，，所以集合，集合.等价于函数与函数没有交点，即无解，所以，又因为，所以且，故选C.
9．下列各组函数中，是相同函数的是
A．与 B．与
C．与 D．与
解析：对于A选项，与是相同函数；对于B选项，函数定义域是，函数的定义域是，定义域不同，不是相同函数；对于C选项，=与
是相同函数；对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是相同函数，故选AC.
10．已知非零实数，满足，则
A． B．
C． D．
解析：对于A选项，等价于，当时，显然成立，A正确；对于B选项，函数在定义域内不是增函数，所以当时，不一定成立，B错误；对于C选项，函数在上是减函数，所以当时，，C正确；对于D选项，在内是增函数，当时，，所以，D正确，故选ACD.
11．已知函数，则下列结论正确的是
A．的值域是 B．的图象关于原点对称
C．在其定义域内单调递减 D．方程有且仅有两根
解析：对于A选项，函数的定义域是，令（），函数（）的值域为，所以的值域是，A错误；对于B选项，因为，所以函数的图象关于原点对称，B正确；对于C选项，在函数的定义域内任取两个数， ，不满足单调递减的定义，故C错误；对于D选项，方程根的个数等价于函数图象与函数图象交点的个数.函数在和上单调递减，当时，，当时，；当时，，当时，,根据以上分析画出函数的图象，由图可知D正确，故选BD.
12．已知函数（，），为的零点，且在上单调递减，则下列结论正确的是
A． B．若，则
C．是偶函数 D．的取值范围是
解析：对于A选项，由是的零点得，所以，即，因为，所以，A正确；对于B选项，函数（，）是中心对称图形，由得是函数的对称中心，所以，B正确；对于C选项，，奇偶性无法判断，C错误；对于D选项，由A选项得，因为函数在上单调递减，所以，，解得（），所以当时，，当无解，所以，D正确，故选ABD.
13．已知集合，，则 ．
解析：集合，故.
14．设，，均为实数，且，则 ．
解析：由得，所以，故答案为.
(
图
3
)15．如图3，单位圆被点，，，…，平均分成份，以轴的正半轴为始边，（…）为终边的角记为，则= ，= ．（说明：∑是一个连加符号，…）
解析：由题意得，所以，
所以.单位圆被平均分成12份，则，
，所以.
16．已知且，若函数中至少存在两点，，使，关于轴对称，则的取值范围是 ．
解析：当时，单调递增，且时，；单调递减且，所以当时，当时，此时不存在两点使其关于轴对称，所以不满足题意；当时，单调递增，当时，当时，此时不存在两点使其关于轴对称，所以不满足题意；当时， ，存在使其关于轴对称，满足题意；当时，单调递减，单调递增，要存在两点使其关于轴对称，则需当时，函数与函数的图像有交点，则，即.
综上所述，的取值范围是.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
（1）计算：；
（2）已知角终边上一点，求的值.
解：（1）.…………………………………5分
（注：，算对各得1分，后两个对数算对得2分，结果正确得1分）
（2）因为 ，……………3分
且角终边上有一点，所以，即.……………………5分
18. （12分）
已知函数的一条对称轴为.
（1）求的值；
（2）当时，求的单调递增区间.
解：（1）依题意得（），所以（），…………3分
因为，所以.……………………………………………………………………………4分
（2）法一：由（1）得，…………………………………………………5分
当时，，……………………………………………………………7分
所以，当时，单调递增，…………………………………9分
解得此时或，………………………………………………………………11分
故（）的单调递增区间为，.…………………………………12分
法二：由（1）得，………………………………………………………5分
解（）得（）……………7分
因为，所以当时，；当时，.…………………11分
故（）的单调递增区间为，.…………………………………12分
(
图
4
)19.（12分）
如图4，给出函数的部分图象．
（1）请在图中同一坐标系内画出函数的图象．设与在轴左边的交点为，试用二分法求出的横坐标的近似解（精确度为0.3）；
（2）用表示，中的较大者，记为，
请写出的解析式．
解：（1）如图.
…………………………………………………………3分
（若画出只有两个交点，扣1分）
令，则当时，方程的近似解等价于求函数在内的零点，
因为，，
所以，由零点存在定理可知，.…………………………………………………5分
又因为，
所以，由零点存在定理可知.………………………………………………6分
又因为，
故，由零点存在定理可知.…………………………………………………7分
因为，所以可取为（或者区间内的任意值）.……………………8分
（2）由，得，或.…………………………………………………………………9分
结合（1）的图象，可得.（或）………………12分
20.（12分）
已知函数，且．
（1）若，求方程的解；
（2）若对，都有恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）令，则，……………………………………………………………………1分
当时，等价于，即，………………………………………………2分
得，有或，………………………………………………………………………4分
则或，所以或.……………………………………………………………5分
（2）法一：令，由，得，…………………………………………………6分
依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立，………7分
令，对称轴，
①当时，即，，得.所以.………………………………9分
②当，即，，得.所以.…………11分
综上所述，的取值范围为.……………………………………………………………………………12分
法二：令，由，得，…………………………………………………………6分
依题意得恒成立，令，
①当时，易知在上单调递增，且当时，，
所以此时没有最小值，即不存在使得不等式恒成立.…………………………8分
②当时，易知在上单调递增，故恒成立，解得，
即当时，不等式恒成立.……………………………………………………………9分
③当时，由基本不等式得，当且仅当时取等号，…………………10分
要使原不等式成立，须使恒成立，解得.………………………………………11分
综上所述，的取值范围为.…………………………………………………………………………12分
法三：令，由，得，………………………………………………………6分
依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立，…………7分
由，得，
①当时，恒成立，R；…………………………………………………………8分
②当，，所以在上恒成立，
令，，
则，在上单调递减，
所以，
所以，的取值范围为.………………………………………………………………………10分
③当，，所以在上恒成立，
令，，
则，
当且仅当，即，，时等号成立，即，
所以，的取值范围为.………………………………………………………………11分
综上所述，的取值范围为.……………………………………………………………………………12分
21．（12分）
如图5所示，某开发区有一块边长为正方形空地．当地政府计划将它改造成一个体育公园，在半径为的扇形放置健身器材，并在剩下区域中修建一个矩形运动球场，其中是弧上一点，分别在边上．设，球场的面积．
(
图
5
)（1）求的解析式；
（2）若球场平均每平方米的造价为元，问：当角为多少时，
球场的造价最低．
解：（1）过点作的垂线，垂足为.……………………………1分
由题意得：，，……………………………3分
所以，，
所以
.……………………………6分
（2）依题意得球场的造价，………7分
令，因为，所以，……………………………8分
所以，…………………………………………………………………………………9分
故，……………………………………11分
因为，当且仅当时取等号，此时，球场的造价最低.……………………12分
22．（12分）
若函数的定义域为，若对于给定的正实数，存在，使得，则称函数在上具有性质．
（1）若函数在区间上具有性质，求正整数的最小值；
（2）若函数在区间上具有性质，求的取值范围.
解：（1）依题意，得，…………………………………………………………1分
整理得，解得或（舍去），…………………………………3分
所以，即，………………………………………………………………4分
而，故正整数的最小值是.…………………………………………………………5分
（2）依题意，得，……………………………………………………………6分
因为，所以（）或（），………………………7分
（ⅰ）当（）时，，
因为，所以不存在这样的，舍去.………………………………………………………8分
（ⅱ）当（）时，，…………………………………9分
由得，即，
又因为，所以，即，……………………………10分
①若，即，，故且，又由得；
②若，即，，故且，同样得到；
③若且，，舍去.……………………………………………………………11分
综上所求，得的取值范围是.…………………………………………………………………12分
