四川省眉山市仁寿县实验中学2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题（含答案）

仁寿县实验中学2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合的子集的个数为（ ）
A.3 B.4 C.7 D.8
2.已知命题：，，则（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ）
A.2 B.-1 C.4 D.2或-1
4.若关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则等于（ ）
A. B.0 C.7 D.
6.已知函数，则其图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
7.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A. B.
C. D.
8.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.或
C. D.或
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为，，质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ）
A.经过1s后，的弧度数为
B.经过后，扇形的弧长为
C.经过后，扇形的面积为
D.经过后，A，B在单位圆上第一次相遇
10.如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，则下列结论正确的为（ ）
A. B.
C. D.
11.下列说法不正确的是（ ）
A.存在，使得
B.函数的最小正周期为
C.函数的一个对称中心为
D.若角的终边经过点，则角是第三象限角
12.已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ）
A.
B.在上的最大值是10
C.
D.不等式的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，，则_________.
14.已知函数的定义域为则的定义域为_________.
15.已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数m的取值范围为_________.
16.已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的值域.
18.（本小题满分12分）设，，命题：，命题：
（1）当时，试判断命题是命题的什么条件？
（2）求的取值范围，使命题是命题的必要不充分条件.
19.（本小题满分12分）已知函数.
（1）求在内的单调区间；
（2）若，，求的值.
20.（本小题满分12分）去年以来新冠肆虐，我国在党中央的领导下迅速控制住新冠疫情，但完全消除新冠的威胁仍需要长期的努力.某医疗企业为了配合国家的防疫战略，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元.
（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由.（注：年平均盈利额）
21.（本小题满分12分）已知函数在为奇函数，且
（1）求，值；
（2）判断函数在的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式
22.（本小题满分12分）已知二次函数，
（1）若的解集为，求关于的不等式的解集；
（2）若不等式对恒成立，求的最大值.
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.ABD 10.CD 11.ABC 12.ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）
，
∴，
即的最小正周期为.
（2）∵，∴，∴，
∴，
∴的值域为.
18.【解析】（1），
当时，
，
∵命题：，命题：，则B真包含于A，
∴命题是命题的必要不充分条件.
（2）∵，
命题是命题的必要不充分条件，则B真包含于A
①当，即时，此时，命题成立；
②当，即时，此时，命题成立；
③当，即时，此时，故有，解得.
综上所述，的取值范围是.
19.【解析】（1）因为
，
∵，∴
∵时增，时减，
所以在增，在减
所以在内的单调增区间为，单调减区间为.
（2）由，，得，，
所以.
20.解（1）该设备到第年的总盈利额
由题意可得：，解得
∵
故该设备从第2年开始实现总盈利.
（2）方案二较合理，理由如下：
方案一：由（1）可得：当时，总盈利额达到最大值万元，
故总利润160+20=180万元；
方案二：平均盈利额，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴当时，年平均盈利额达到最大值-10×6+100=40万元，
故总利润40×3+60=180万元；
虽然两种方案总利润相等，但方案二用时最少，故方案二较合理.
21.【解析】（1）∵在为奇函数，∴，解得：，
又∴，解得：，
故，，经检验满足题设.
（2）当，时，，
∵
∴当，时函数在为奇函数，
由，，判断函数在为单调递减，
证明：且，
，
，
∵，∴，，，
∴，
∴函数在为单调递减，
（3）则，
∵在为奇函数，∴，
又函数在为单调递减，
∴，∴
∴的不等式的解集为.
22.解（1）因为的解集为，
所以且方程的解为-3，4，
则，，所以，，
则不等式即为，
即，解得，
所以关于的不等式的解集为；
（2）因为不等式对恒成立，
所以不等式对恒成立，
所以，所以，
即，
所以，所以，则，
故，令，，则，
当时，，
当时，，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，所以的最大值为.