第四章 指数函数与对数函数全章综合测试卷-提高篇
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·全国·高一单元测试）已知，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（5分）（2022·全国·高一课时练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（5分）（2022·四川省模拟预测（理））核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩増效率．已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（ ）（参考数据：，）
A．22.2% B．43.8% C．56.02% D．77.8%
4．（5分）（2022·浙江·高二阶段练习）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）（2022·浙江·高三期中）设函数（且），且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在定义域上的增区间为
C．函数图象经过点 D．函数解析式为
6．（5分）（2022·四川·高三阶段练习（文））已知实数x，y满足，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）（2021·天津·高一期末）定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·江苏·高一阶段练习）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（5分）（2022·全国·高一单元测试）已知当时，．根据上述结论，若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2022·浙江·高一期末）已知函数（，），则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象关于轴对称
B．函数的图像关于中心对称
C．当时，函数在上单调递增
D．当时，函数有最大值，且最大值为
12．（5分）（2022·河北·高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的定义域是 B．是奇函数
C．是单调减函数 D．若，则，且
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·辽宁·高三阶段练习）已知和是方程的两根，则 .
14．（5分）（2021·高一期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上定义为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过 个小时才能驾驶．（结果保留整数，参考数据）
15．（5分）（2022·上海市高三阶段练习）已知定义在上的偶函数满足，当时，，则 ．
16．（5分）（2022·辽宁·高一阶段练习）已知定义在上的函数，设为三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为 .
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·江苏·高一阶段练习）计算：
(1)求值：；
(2)．
18．（12分）（2022·北京市高三阶段练习）已知函数的图象经过点，其中且．
(1)若，求实数和的值；
(2)设函数，请你在平面直角坐标系中作出的简图，
①并根据图象写出该函数的单调递增区间.
②求的解集.
19．（12分）（2022·全国·高一专题练习）阅读材料
求方程的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法：
方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：
第一步：令．因为，，所以设，．
第二步：令，判断是否为0．若是，则为所求；
若否，则继续判断大于0还是小于0．
第三步：若，则；否则，令．
第四步：判断是否成立？若是，则之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步．
方法二：考虑的一种等价形式
变形如下：，∴，∴
这就可以形成一个迭代算法：给定
根据，，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值
(1)分别运用方法一和方法二计算的近似值（结果保留4位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢；
(2)根据以上阅读材料，设计合适的方案计算的近似值（精确到0.001）．
20．（12分）（2022·山东省高一期中）已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求a，b的值．
(2)判断函数的单调性，并用定义证明．
(3)当时，恒成立，求实数k的取值范围．
21．（12分）（2022·湖南·高一阶段练习）已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
22．（12分）（2022·安徽·高三阶段练习）设（a为实常数），与的图像关于y轴对称.
(1)若函数为奇函数，求a的取值；
(2)当a=0时，若关于x的方程有两个不等实根，求m的范围；
(3)当|a|<1时，求方程的实数根个数，并加以证明.第四章 指数函数与对数函数全章综合测试卷-提高篇
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·全国·高一单元测试）已知，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】根据指数幂运算性质，将目标式化为含、的表达式，即可求值.
【解答过程】．
故选：B.
2．（5分）（2022·全国·高一课时练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果.
【解答过程】因为，
由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即，
故选：D.
3．（5分）（2022·四川省模拟预测（理））核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩増效率．已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（ ）（参考数据：，）
A．22.2% B．43.8% C．56.02% D．77.8%
【解题思路】根据列方程，结合指数、对数运算求得正确答案.
【解答过程】依题意，
，
，
，
.
故选：D.
4．（5分）（2022·浙江·高二阶段练习）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】确定函数的奇偶性，时函数值的正负以及函数图像的变化趋势可得答案.
【解答过程】由题意可得：函数的定义域为，
，
所以为奇函数，
当时，，故可排除BC，
当时，，，，
因为指数函数比幂函数增长的速度要快，
所以当，函数值趋近于零，所以排除.
故选：D.
5．（5分）（2022·浙江·高三期中）设函数（且），且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在定义域上的增区间为
C．函数图象经过点 D．函数解析式为
【解题思路】由题可得，进而可得，然后根据指数函数的性质逐项分析即得.
【解答过程】由，可得，
所以，故D错误；
所以函数在定义域R上单调递减，
所以，故A正确，故B错误；
又，故C错误.
故选：A.
6．（5分）（2022·四川·高三阶段练习（文））已知实数x，y满足，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用对数函数与指数函数单调性比较大小，即可得的大小.
【解答过程】解：因为
则，
所以， 故；
设，则，
所以，又因为，因此，即．
综上，.
故选：B．
7．（5分）（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题知函数为偶函数，且在上单调递增，上单调递减，再结合，根据函数图像平移得时，， 时，，再分和两种情况讨论求解即可.
【解答过程】解：函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，
因为在上均为单调递增
所以，当时，为增函数，
所以，当时，为增函数，当时，为减函数，
因为，
所以，当时，，当时，，
所以，当时，，当时，
所以，当时，不等式显然成立，
当时，不等式的解集为，
综上，的解集为
故选：C.
8．（5分）（2021·天津·高一期末）定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题可得函数的周期为2，函数与的图象在区间上有4个交点，利用数形结合即得.
【解答过程】因为定义在R上的函数满足，
所以，即是周期为2的函数，
由，可得，
因为在区间上函数恰有4个不同的零点，
所以函数与的图象在区间上有4个交点，
作出函数与的大致图象，
由图象可知，解得，
即实数m的取值范围为.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·江苏·高一阶段练习）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】A选项，对两边平方可得结果；
B选项，先计算，开方即可；
C选项，先计算，再结合，开方求出答案；
D选项，使用立方和即可求解.
【解答过程】两边平方得：，
所以，A正确；
，
因为的大小不确定，所以，B正确；
，
因为，所以，C错误；
由立方和公式可得：
，
D正确.
故选：ABD.
10．（5分）（2022·全国·高一单元测试）已知当时，．根据上述结论，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由对数函数的性质和运算法则，分析各选项即可.
【解答过程】由，，得，，
选项A：，正确；
选项BD：，因为，所以，B错误，D正确.
选项C：，正确.
故选ACD．
11．（5分）（2022·浙江·高一期末）已知函数（，），则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象关于轴对称
B．函数的图像关于中心对称
C．当时，函数在上单调递增
D．当时，函数有最大值，且最大值为
【解题思路】根据函数奇偶性可判断A,B,由复合函数的单调性可判断C,D.
【解答过程】的定义域为，当时，则，故是偶函数，因此图象关于轴对称，故A正确，B错误，
当时，，令，则，
当时，单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知:在上单调递减，在上单调递增，故C错误，
当时，当时，
由于单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取最大值，且最大值为，
当时，由于是偶函数，故最大值为，故D正确，
故选：AD.
12．（5分）（2022·河北·高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的定义域是 B．是奇函数
C．是单调减函数 D．若，则，且
【解题思路】由对数型复合函数定义域可判断A；由奇函数的定义可判断B；利用指数函数及对数型复合函数的单调性可判断C；利用函数的单调性解不等式可判断D.
【解答过程】对于A，由题意，即，解得，
所以的定义域是，故A正确；
对于B，函数定义域关于原点对称，且，
所以
所以，故不是奇函数，故B错误；
对于C，，
由指数型函数及对数型复合函数为上的减函数，
所以是区间上的单调减函数，故C正确；
对于D，由已知，所以等价于，
又是区间上的单调减函数，故，解得且，故D正确；
故选：ACD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·辽宁·高三阶段练习）已知和是方程的两根，则 .
【解题思路】由题知，，进而得，再结合求解即可.
【解答过程】解：方程可化为，由韦达定理得，，
所以，得.
又，
所以.
故答案为：.
14．（5分）（2021·高一期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上定义为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过 5 个小时才能驾驶．（结果保留整数，参考数据）
【解题思路】由题意可得，指对数互化结合题中题意求解.
【解答过程】设个小时后血液中酒精含量为，
则，即，
当，可得，
所以该驾驶员至少经过个小时才能驾驶．
故答案为：5.
15．（5分）（2022·上海市高三阶段练习）已知定义在上的偶函数满足，当时，，则 4 ．
【解题思路】根据和为偶函数得到函数周期，然后利用周期性结合解析式求值即可.
【解答过程】因为，且为偶函数，所以，所以4是的一个周期，.
故答案为：4.
16．（5分）（2022·辽宁·高一阶段练习）已知定义在上的函数，设为三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为 .
【解题思路】先判断函数的性质以及图像的特点，设，由图像得是个定值，及的取值范围，即可得出结论．
【解答过程】解：作出的图像如图：
当时，由，得，
若互不相等，不妨设，
因为，
所以由图像可知，
由，得，
即，即，
则，所以，
因为，
所以，
即，
所以的取值范围是．
故答案为：．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·江苏·高一阶段练习）计算：
(1)求值：；
(2)．
【解题思路】（1）根据指数式的运算直接计算即可；
（2）根据对数式的运算直接计算即可．
【解答过程】（1）
原式
；
（2）
原式
.
18．（12分）（2022·北京市高三阶段练习）已知函数的图象经过点，其中且．
(1)若，求实数和的值；
(2)设函数，请你在平面直角坐标系中作出的简图，
①并根据图象写出该函数的单调递增区间.
②求的解集.
【解题思路】（1）由可求得的值，可得出函数的解析式，进而可解方程，可得出的值；
（2）①根据函数的解析式可作出函数的图象，根据图象可得出函数的单调递增区间；
②分、两种情况解不等式，综合可得出不等式的解集.
【解答过程】（1）
解：由题意可得，解得，则，
所以，，可得.
（2）
解：①由（1）可得，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的单调递增区间为、；
②当时，由可得，解得，此时；
当时，由可得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为.
19．（12分）（2022·全国·高一专题练习）阅读材料
求方程的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法：
方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：
第一步：令．因为，，所以设，．
第二步：令，判断是否为0．若是，则为所求；
若否，则继续判断大于0还是小于0．
第三步：若，则；否则，令．
第四步：判断是否成立？若是，则之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步．
方法二：考虑的一种等价形式
变形如下：，∴，∴
这就可以形成一个迭代算法：给定
根据，，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值
(1)分别运用方法一和方法二计算的近似值（结果保留4位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢；
(2)根据以上阅读材料，设计合适的方案计算的近似值（精确到0.001）．
【解题思路】（1）按照方法一和方法二进行迭代求解，求出相应的近似值；（2）结合第一问作出的判断，选择方法二进行迭代求解.
【解答过程】（1）
，，，则，所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，
则之间的任意值均为满足条件的近似值，其中，
取可取1.414
方法二：，，1，2，…，
不妨取，则，
，
，
其中，
显然，方法二的迭代速度更快
（2）
考虑的一种等价形式，
，∴，∴
这就可以形成一个迭代算法：给定
则，，1，2，…，
计算过程如下：，
，
.
20．（12分）（2022·山东省高一期中）已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求a，b的值．
(2)判断函数的单调性，并用定义证明．
(3)当时，恒成立，求实数k的取值范围．
【解题思路】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案；
（2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案；
（3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案.
【解答过程】（1）
因为在定义域为R上是奇函数，所以，即，
∴，又∵，即，∴．
则，由 ，
则当，原函数为奇函数．
（2）
由（1）知，
任取，设，则，
因为函数在R上是增函数，，∴．又，
∴，即，∴在上为减涵数．
（3）
因是奇函数，从而不等式：，
等价于，
因为减函数，由上式推得：．
即对一切有：恒成立，设，
令，则有，
∴，
∴，即k的取值范围为．
21．（12分）（2022·湖南·高一阶段练习）已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
【解题思路】（1）根据，代入计算可得；
（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.
（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.
【解答过程】（1）
由题意知，，
即，所以，
故.
（2）
由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
（3）
因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
22．（12分）（2022·安徽·高三阶段练习）设（a为实常数），与的图像关于y轴对称.
(1)若函数为奇函数，求a的取值；
(2)当a=0时，若关于x的方程有两个不等实根，求m的范围；
(3)当|a|<1时，求方程的实数根个数，并加以证明.
【解题思路】（1）由奇函数的性质列方程即可求得的值；
（2）把关于x的方程有两个不等实根，转化成一元二次方程根的分布去解决即可；
（3）先构建一个新函数，再去判定函数的零点情况即可解决.
【解答过程】（1）
设点为图像上任意一点，关于原点的对称点为，
由题意可知在上，则有，，故
由 为奇函数，则有
故，（经检验，时是奇函数）
（2）
时，
由可得，，即
令，则有两个不等正根
则有，，解之得，
（3）
令
由，可知，
则时，与均单调递增，故上单调递增，
又时，，
，
故在上有唯一零点；
又当时，恒成立，即在上无零点.
综上可知，方程有且仅有一个实数根.
