第四章 指数函数与对数函数全章综合测试卷-基础篇
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·江西·高三阶段练习）函数过定点（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）（2022·江苏省高一阶段练习）化简的结果为（ ）
A． B． C．1 D．
3．（5分）（2022·安徽·高三阶段练习）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2021·甘肃·高一期中）已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（ ）A．0.625 B． C．0.5625 D．0.066
5．（5分）（2022·广东·高三阶段练习）设，，那么是（ ）
A．奇函数且在上是增函数 B．偶函数且在上是减函数
C．奇函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数
6．（5分）（2022·山东·高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）（2022·北京·高一阶段练习）若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2022·河南信阳·一模（理））已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·全国·高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（5分）（2022·全国·高一单元测试）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
11．（5分）（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是
C．的最大值是 D．的最小值是
12．（5分）（2022·浙江·高一期末）关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A．的定义域为
B．为奇函数
C．在定义域上是减函数
D．对任意，，都有
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·四川省高三阶段练习（理））计算： ．
14．（5分）（2022·天津市高三阶段练习）已知， ，，则的大小关系为 ．
15．（5分）（2022·全国·高一专题练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
16．（5分）（2022·云南省高一阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 若 则 的取值范围是 .
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·山东省高一期中）请解答下列各题：
(1)计算；
(2)已知，求．
18．（12分）（2022·全国·高一单元测试）计算
(1)
(2).
19．（12分）（2022·全国·高一课时练习）已知函数为上的连续函数，判断在上是否存在零点？若存在，用二分法求出这个零点的近似值（精确到0.1）；若不存在，请说明理由．
20．（12分）（2022·江苏·高一单元测试）设均为正数，且.
(1)试求之间的关系.
(2)求使成立，且与最近的正整数（即求与p的差的绝对值最小的整数）.
(3)比较，，的大小.
21．（12分）（2022·黑龙江·高三阶段练习（理））已知函数（，且）的图象经过点，.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，求函数的值域
22．（12分）（2022·四川省高三阶段练习（理））已知函数（a>0且a≠1）是奇函数．
(1)求m的值；
(2)当a>1时，判断f（x）在区间（1，＋∞）上的单调性并加以证明；
(3)当a>1，时，f（x）的值域是（1，＋∞），求a的值.第四章 指数函数与对数函数全章综合测试卷-基础篇
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·江西·高三阶段练习）函数过定点（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据函数恒过点，令，即得解.
【解答过程】由于函数恒过点，令，则，，
故函数恒过定点.
故选：C.
2．（5分）（2022·江苏省高一阶段练习）化简的结果为（ ）
A． B． C．1 D．
【解题思路】先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质计算即可.
【解答过程】
故选：C.
3．（5分）（2022·安徽·高三阶段练习）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.
【解答过程】由，得时，，即；
时，；，
.
故选：A.
4．（5分）（2021·甘肃·高一期中）已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（ ）A．0.625 B． C．0.5625 D．0.066
【解题思路】按照二分法的方法流程进行计算，根据的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于0.05时，只需从该区间上任取一个数即可．
【解答过程】由题意得在区间上单调递增，
设方程的解的近似值为，
由表格得，
所以,
因为，
所以方程的近似解可取为0.5625．
故选：C.
5．（5分）（2022·广东·高三阶段练习）设，，那么是（ ）
A．奇函数且在上是增函数 B．偶函数且在上是减函数
C．奇函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数
【解题思路】根据奇偶函数的定义判断奇偶性，再由指数函数的单调性判断在上的单调性即可.
【解答过程】，，
，
故为偶函数,当时，，是增函数，
故选：D．
6．（5分）（2022·山东·高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据指数函数的单调性即可比较B,C,D,由中间值法可求解A.
【解答过程】对于A,由于 ，，故,故正确，
对于B,由于为单调递减函数，所以 ，故错误，
对于C，由于为单调递增函数，所以，故错误，
对于D，由于为单调递增函数，所以，故错误,
故选：A.
7．（5分）（2022·北京·高一阶段练习）若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系
【解答过程】，，，
故.
故选：B.
8．（5分）（2022·河南信阳·一模（理））已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围
【解答过程】解：令，
∵ 在上单调递减，
∴ 在内递增，且恒大于0，
且，
．
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·全国·高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.
【解答过程】，而，故A错误；
，故B错误；
，故C 正确；，故D正确.
故选：CD.
10．（5分）（2022·全国·高一单元测试）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【解题思路】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D.
【解答过程】解：对于选项A，由换底公式可得，故A不正确；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，设 ，两边分别平方可得，因为，所以，故，故C不正确；
对于选项D，，故D正确．
故选：BD．
11．（5分）（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是
C．的最大值是 D．的最小值是
【解题思路】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，判断AB；根据函数的单调性，再判断函数的最值，判断CD.
【解答过程】设，，则是增函数，且，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误；
，故C正确；
，，因此的最小值是，故D正确．
故选:ACD．
12．（5分）（2022·浙江·高一期末）关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A．的定义域为
B．为奇函数
C．在定义域上是减函数
D．对任意，，都有
【解题思路】由函数的奇偶性，单调性等性质对选项逐一判断
【解答过程】对于A，由得，故的定义域为，故A错误，
对于B，的定义域为，，则为奇函数，故B正确，
对于C，，由复合函数的单调性知在上是减函数，故C正确，
对于D，任意，，，
，，故D正确，
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·四川省高三阶段练习（理））计算： 2 ．
【解题思路】结合指数、对数运算求得正确答案.
【解答过程】
.
故答案为：.
14．（5分）（2022·天津市高三阶段练习）已知， ，，则的大小关系为 ．
【解题思路】利用指数函数以及对数函数的性质判断的取值范围，即得答案.
【解答过程】因为，，，
故，
故答案为：.
15．（5分）（2022·全国·高一专题练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
【解题思路】参变分离可得，再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【解答过程】解：由，得，
即，
，，
则，
，则，即．
故答案为：.
16．（5分）（2022·云南省高一阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 若 则 的取值范围是 .
【解题思路】由奇偶性得的值，再根据函数的奇偶性与单调性化简后求解，
【解答过程】由题意可得 则
当时，单调递增，因为是偶函数，
所以当时单调递减，而
故等价于，得，
解得或，
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·山东省高一期中）请解答下列各题：
(1)计算；
(2)已知，求．
【解题思路】（1）根据指数幂的运算，即可求得答案.
（2）由求出、的值，代入即可求得答案.
【解答过程】（1）
．
（2）
，
∴，
∴，
∴．
18．（12分）（2022·全国·高一单元测试）计算
(1)
(2).
【解题思路】（1）根据对数的运算性质求解，
（2）根据对数的运算性质和换底公式求解.
【解答过程】（1）
；
（2）
原式＝.
19．（12分）（2022·全国·高一课时练习）已知函数为上的连续函数，判断在上是否存在零点？若存在，用二分法求出这个零点的近似值（精确到0.1）；若不存在，请说明理由．
【解题思路】根据零点存在性定理，由，，即，为上的连续函数，可知函数在上必存在零点，根据二分法，可得答案.
【解答过程】解析，．
因为，为上的连续函数，
所以函数在上必存在零点，设为．
区间 中点的值 中点函数值符号
0
－0.5
－0.25
－0.125
－0.0625
所以．
因为－0.125，－0.0625精确到0.1的近似值都为－0.1，故所求近似值为－0.1．
20．（12分）（2022·江苏·高一单元测试）设均为正数，且.
(1)试求之间的关系.
(2)求使成立，且与最近的正整数（即求与p的差的绝对值最小的整数）.
(3)比较，，的大小.
【解题思路】（1）令，利用指对数互化求出、、，由对数的运算性质求出、、，由对数的运算性质化简与，即可得到关系值；
（2）由换底公式求出，由对数函数的性质判断的取值范围，找出与它最接近的2个整数，利用对数的运算性质化简与这2个整数的差，即可得到答案；
（3）由（1）得、、，由于3个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，从而得到这3个数大小关系．
【解答过程】（1）
设，由、、均为正数得.
故取以为底的对数，可得.
∴，，.
，
∴、、之间的关系为.
（2）
.
由，得，从而.
而，.
由知，
∴.
从而所求正整数为3.
（3）
∵
.
而，，，，∴.
又∵，
而，，，，∴.
故有.
21．（12分）（2022·黑龙江·高三阶段练习（理））已知函数（，且）的图象经过点，.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，求函数的值域
【解题思路】（1）将给定的点代入函数式，再解方程组作答.
（2）由（1）求出函数的解析式，判断函数单调性求解作答.
【解答过程】（1）
依题意，，而，解得，即有，
所以函数的解析式是.
（2）
由（1）知，，
因函数和在上都单调递增，因此函数在上单调递增，，
所以函数的值域为.
22．（12分）（2022·四川省高三阶段练习（理））已知函数（a>0且a≠1）是奇函数．
(1)求m的值；
(2)当a>1时，判断f（x）在区间（1，＋∞）上的单调性并加以证明；
(3)当a>1，时，f（x）的值域是（1，＋∞），求a的值.
【解题思路】（1）由已可得化为，求得，检验可得结果；
（2）任取 ，先证明，再讨论两种情况，即可得结果；
（3）由在上递减，可得， 解得.
【解答过程】（1）
由已知 即，
∴，
∴
当时，舍去 ∴.经检验满足题意.
（2）
由（1）得，任取
，
,
又，
∴0＜＜1，
当时，＞0，∴，此时为增函数，
当时，＜0，∴，此时为减函数．
（3）
由（2）知：当时，在为减函数，
又，
即在上递减，∴，
.
