专题4.10 函数的应用（二）-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高一专题练习）函数的零点为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【解题思路】令，求出方程的解，即可得到函数的零点.
【解答过程】解：令，即，解得，所以函数的零点为；
故选：D.
2．（3分）（2022·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先判断图像对应的是否函数，再判断它们是不是变号零点，逐项判断可得答案.
【解答过程】四个图像中，与x轴垂直的直线和图像只有一个交点，所以四个图像都表示函数的图像，
对于A，函数图像和x轴无交点，所以无零点，故错误；
对于B，D，函数图像和x轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点；
对于C，函数图像是连续不断的，且函数图像与x轴有交点，并且其零点为变号零点.
故选：C．
3．（3分）（2022·全国·高一课时练习）用二分法求函数的一个零点的近似值（误差不超过）时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是（ ）
A．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值
B．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值
C．没有达到对误差的要求，应该接着计算
D．没有达到对误差的要求，应该接着计算
【解题思路】由零点存在定理可知在内有零点，采用二分法可确定结果.
【解答过程】，在内有零点；
，
没有达到对误差的要求，应该继续计算.
故选：C.
4．（3分）（2022·江苏·高一期中）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（ ）
A．1 B． C．0.25 D．0.75
【解题思路】根据二分法的定义计算可得；
【解答过程】解：因为，，所以在内存在零点，
根据二分法第二次应该计算，其中；
故选：C.
5．（3分）（2022·全国·高一课时练习）若函数的零点为2，则函数的零点是（ ）
A．0， B．0， C．0，2 D．2，
【解题思路】由已知，函数的零点为2即可得到a与b之间的关系，然后带入中即可直接求解零点.
【解答过程】因为函数的零点为2，所以，
∵，，∴，∴．
令，得或．
故选：A.
6．（3分）（2022·全国·高一单元测试）若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
f（x） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ）
A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25
【解题思路】由零点存在性定理和二分法求解近似根.
【解答过程】由，，且为连续函数，由零点存在性定理知：区间内存在零点，故方程的一个近似根可以为1.32，B选项正确，其他选项均不可.
故选：B.
7．（3分）（2022·湖南省高一阶段练习）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（ ）
A．-4 B．-5 C．-6 D．-7
【解题思路】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围．
【解答过程】因为元二次方程有两个实数根，，
且，令，
则由题意可得，即
解得，又，可得.
故选：A.
8．（3分）（2022·全国·高一课时练习）已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（ ）
A．至多有2022个零点 B．至多有1011个零点
C．至少有2022个零点 D．至少有1011个零点
【解题思路】根据已知可得：，当时利用零点存在定理，可以判定区间内至少有一个零点，进而判定，，…，上均至少有一个零点，得到在上至少有1011个零点．可以构造“回旋函数”，使之恰好有1011个零点；当时，可以得到，此时在上至少有1012个零点．从而排除BC,判定D正确；举特例函数，或者构造函数，可以排除A.
【解答过程】因为对任意的实数恒成立，令，得．
若，则与异号，即，由零点存在定理得在上至少存在一个零点．由于，得到，进而，所以在区间，，…，内均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点．
构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有1011个零点.
若，则，此时在上至少有1012个零点．
综上所述，在上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确；
可能零点各数个数至少1012，大于1011，故B错误；
对于A,[解法一]取函数，满足，但在上处处是零点，故A错误.
[解法二] 构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有2023个零点，故A错误.
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高一课时练习）若函数的图像在R上连续，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上有且只有1个零点
B．函数在区间上一定没有零点
C．函数在区间上可能有零点
D．函数在区间上至少有1个零点
【解题思路】由已知，函数的图像在R上连续且满足，，，即可判断函数在区间上至少有1个零点，在区间上可能有零点，也可能无零点，根据各选项说法即可做出判断.
【解答过程】因为函数的图像在R上连续，且，，
所以，所以函数在区间上至少有1个零点，
故选项A错误，选项D正确；
函数在区间上可能有零点，也可能无零点，
故选项B错误，选项C正确．
故选：CD.
10．（4分）（2022·全国·高一）设，某学生用二分法求方程的近似解（精确度为），列出了它的对应值表如下：
0 1 2
3
若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（ ）
A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.44
【解题思路】f(x)在R上是增函数，根据零点存在性定理进行判断零点所在的区间﹒
【解答过程】与都是上的单调递增函数，
是上的单调递增函数，
在上至多有一个零点，
由表格中的数据可知：
，
在上有唯一零点，零点所在的区间为，
即方程有且仅有一个解，且在区间内，
，
内的任意一个数都可以作为方程的近似解，
，
符合要求的方程的近似解可以是和1.43﹒
故选：BC.
11．（4分）（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知方程的解在内，则
B．函数的零点是，
C．函数，的图像关于对称
D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上
【解题思路】由函数零点的概念判断选项B，由函数零点存在性定理判断选项AD，由函数与函数互为反函数判断选项C.
【解答过程】对于选项A，令，
因为在上是增函数，且，
所以方程的解在，所以，故A正确；
对于选项B，令得或，故函数的零点为和，故B错误；
对于选项C，函数与函数互为反函数，所以它们的图像关于对称，故C正确；
对于选项D，由于，所以由零点存在性定理可得方程的根落在区间上，故D正确.
故选：ACD.
12．（4分）（2022·江苏常州·高三阶段练习）已知，，则结论正确的是（ ）
A．函数有唯一零点
B．存在实数m使得函数有三个以上不同的零点
C．当时，函数恰有三个不同的零点
D．当时，函数恰两个不同的零点
【解题思路】把函数零点的问题转化为函数图象交点的问题，作出函数的大致图象，结合函数的性质逐个判断即可得到答案．
【解答过程】作出函数的大致图象，如图，
当时，单调递减，且，只有一个零点；当时，，没有零点，所以函数有唯一零点，故A正确；
由，得或，其中有唯一实数根，
而实数根的个数即函数与图象交点的个数，由图可知，
函数与图象至多有两个交点，所以不存在m使得有三个以上零点，故B错误；
当时，函数与图象有两个交点，所以函数恰有三个不同的零点，故C正确；
当时，函数与图象有一个交点，所以函数恰两个不同的零点，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021·湖北·高一阶段练习）函数的零点所在区间为，则
1 .
【解题思路】根据的性质及题意，结合零点存在的定理，代入数据，分析即可得答案.
【解答过程】因为是定义域为R的连续函数，且与在R上均为增函数，
所以在R上为增函数，
又，
所以，即零点在区间（1,2）内，
所以n=1.
故答案为：1.
14．（4分）（2022·全国·高一专题练习）根据下表，用二分法求函数在区间上的零点的近似值（精确度）是 （答案不唯一） ．
f（1）=-1 f（2）=3 f（1.5）=-0.125
f（1.75）=1.109375 f（1.625）=0.41601562 f（1.5625）=0.12719726
【解题思路】根据二分法的定义，结合零点存在性定理以及图表，可得答案.
【解答过程】由二分法定义：由函数，由图表知；；；.由于，故零点的近似值是1.5或1.5625或区间[1.5，1.5625]上的任何一个值.
故答案为：.（答案不唯一）.
15．（4分）（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且．若，则实数a的取值范围是 ．
【解题思路】根据函数图象的特征，可得，根据对数的运算性质得，进而根据不等式即可求解.
【解答过程】由于的图象关于 对称， 由，所以可得，又 ，所以，
因此，故且 ，解得： ,
故答案为：.
16．（4分）（2022·湖南·高二期末（理））对于定义域为的函数，若存在非零实数，使函数在和上均有零点，则称为函数的一个“给力点”.现给出下列四个函数：
（1）；
（2）
（3）；
（4）
则存在“给力点”的函数是 （4） .
【解题思路】根据“给力点”的定义，对四个函数逐一判断即可得到结果.
【解答过程】对于（1），，定义域为，且恒成立，则不存在“给力点”.
对于（2），，定义域为，
不符合函数定义域的要求，所以不存在“给力点”.
对于（3），，定义域为，，
在时，，递减，
在或时，，递增，
则处取得极小值，处取得极大值，
则与轴只有一个交点，则不存在“给力点”.
对于（4），，定义域为，
由于判别式，则一定存在“给力点”.
综上可得，（4）正确.
故答案为:（4）.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021·全国·高一课前预习）求方程的一个近似解（精确度0.1）
【解题思路】利用二分法，直到精确度小于，求方程的近似解.
【解答过程】设.因为
在区间内单调递增，
所以在区间内，方程有唯一的实数根为取2与3的平均数
因为，所以，再取2与2.5的平均数2.25，
因为，所以；如此继续下去，有
，所以；
，所以；因为，
所以方程的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.
18．（6分）（2022·全国·高一课时练习）求证：方程在内必有一个实数根．
【解题思路】构造函数，先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理分析判断.
【解答过程】证明：设函数．
任取，且，则
，
因为，且，
所以，，，，
所以，即
所以函数在内是增函数．
又，，
即，
所以函数在区间内有零点，且只有一个，
即方程在内必有一个实数根．
19．（8分）（2022·全国·高一课时练习）已知函数为上的连续函数，判断在上是否存在零点？若存在，用二分法求出这个零点的近似值（精确到0.1）；若不存在，请说明理由．
【解题思路】根据零点存在性定理，由，，即，为上的连续函数，可知函数在上必存在零点，根据二分法，可得答案.
【解答过程】解析，．
因为，为上的连续函数，
所以函数在上必存在零点，设为．
区间 中点的值 中点函数值符号
0
－0.5
－0.25
－0.125
－0.0625
所以．
因为－0.125，－0.0625精确到0.1的近似值都为－0.1，故所求近似值为－0.1．
20．（8分）（2022·全国·高一单元测试）已知函数，．
(1)求函数在上的零点；
(2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．
【解题思路】(1)通过换元法将复合函数转化为以t为自变量的二次函数，整理之后求出令函数为0的t值，求出对应x值即为其零点；
(2)求出时k的表达式，通过换元法用t表示k，根据t的取值范围判断k的取值范围即可.
【解答过程】（1）
由，得．
令，因为，所以，
则原式可转化为，化简为，
解得或（舍去），所以，所以，
即函数在上的零点为．
（2）
，
令，因为，所以，
令，得，
因为，所以，即实数的取值范围为．
21．（8分）（2021·北京·高二学业考试）已知函数与.
(1)若与有相同的零点，求的值；
(2)若对恒成立，求的最小值.
【解题思路】（1）求出函数的零点，将其代入，即可求出的值；
（2）令，由对恒成立，令，可解出，再检验时，对恒成立.
【解答过程】(1)
令，即，
所以，故，解得；
(2)
令，
因为对恒成立，
所以，则，
当时，
，
当时， ，所以，
所以实数的最小值是.
22．（8分）（2022·浙江·高二学业考试）已知函数， ．
(1)若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
(2)设，若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围；
【解题思路】（1）由求得，求出对称轴，分和讨论的单调性，再结合的正负，得到的单调性，即可求解；
（2）令画出图像，将问题转化为的根的问题，结合的图像求得两根的分布，由二次函数的性质求出实数即可.
【解答过程】（1）
由，可知，所以，对称轴为，，
当时，，则在上是减函数，又，则在上有，则函数在上是减函数；
当时，，则在上为增函数，又，则在上，有，则函数在上为减函数，
则有，解得，综上可得，实数的取值范围为；
（2）
函数有三个不同的零点，则方程有三个不同的实根，设，其图像如图所示，
则，即必有两个不同实根，由的图像可知，
则或或；
若，则，解得，此时方程为，解得，符合题意；
若，则，解得，此时方程为，解得，不合题意；
若，则，无解，不合题意；综上可得，.专题4.10 函数的应用（二）-重难点题型检测
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高一专题练习）函数的零点为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．（3分）（2022·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022·全国·高一课时练习）用二分法求函数的一个零点的近似值（误差不超过）时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是（ ）
A．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值
B．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值
C．没有达到对误差的要求，应该接着计算
D．没有达到对误差的要求，应该接着计算
4．（3分）（2022·江苏·高一期中）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（ ）
A．1 B． C．0.25 D．0.75
5．（3分）（2022·全国·高一课时练习）若函数的零点为2，则函数的零点是（ ）
A．0， B．0， C．0，2 D．2，
6．（3分）（2022·全国·高一单元测试）若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
f（x） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ）
A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25
7．（3分）（2022·湖南省高一阶段练习）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（ ）
A．-4 B．-5 C．-6 D．-7
8．（3分）（2022·全国·高一课时练习）已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（ ）
A．至多有2022个零点 B．至多有1011个零点
C．至少有2022个零点 D．至少有1011个零点
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高一课时练习）若函数的图像在R上连续，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上有且只有1个零点
B．函数在区间上一定没有零点
C．函数在区间上可能有零点
D．函数在区间上至少有1个零点
10．（4分）（2022·全国·高一）设，某学生用二分法求方程的近似解（精确度为），列出了它的对应值表如下：
0 1 2
3
若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（ ）
A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.44
11．（4分）（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知方程的解在内，则
B．函数的零点是，
C．函数，的图像关于对称
D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上
12．（4分）（2022·江苏常州·高三阶段练习）已知，，则结论正确的是（ ）
A．函数有唯一零点
B．存在实数m使得函数有三个以上不同的零点
C．当时，函数恰有三个不同的零点
D．当时，函数恰两个不同的零点
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021·湖北·高一阶段练习）函数的零点所在区间为，则
.
14．（4分）（2022·全国·高一专题练习）根据下表，用二分法求函数在区间上的零点的近似值（精确度）是 ．
f（1）=-1 f（2）=3 f（1.5）=-0.125
f（1.75）=1.109375 f（1.625）=0.41601562 f（1.5625）=0.12719726
15．（4分）（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且．若，则实数a的取值范围是 ．
16．（4分）（2022·湖南·高二期末（理））对于定义域为的函数，若存在非零实数，使函数在和上均有零点，则称为函数的一个“给力点”.现给出下列四个函数：
（1）；
（2）
（3）；
（4）
则存在“给力点”的函数是 .
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021·全国·高一课前预习）求方程的一个近似解（精确度0.1）
18．（6分）（2022·全国·高一课时练习）求证：方程在内必有一个实数根．
19．（8分）（2022·全国·高一课时练习）已知函数为上的连续函数，判断在上是否存在零点？若存在，用二分法求出这个零点的近似值（精确到0.1）；若不存在，请说明理由．
20．（8分）（2022·全国·高一单元测试）已知函数，．
(1)求函数在上的零点；
(2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．
21．（8分）（2021·北京·高二学业考试）已知函数与.
(1)若与有相同的零点，求的值；
(2)若对恒成立，求的最小值.
22．（8分）（2022·浙江·高二学业考试）已知函数， ．
(1)若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
(2)设，若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
