惠州市 2023-2024学年度第一学期期末质量检测
高二数学参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题满分 5分，共 40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B A B C D B
1 1
1 2．【解析】由 y 4x 2得 x y，故抛物线 y 4x2的准线方程为 y ，故选 D．
4 16
2
2.【解析】由题意得直线 l的斜率为 3，则直线的倾斜角是 ，故选 C．3
3．【解析】设等比数列 an 2的公比为q，由题意得 a3 2a a a 2 4 2 6 2
1
2 6，即 1 q 2a1 q ， a1 0,q 0， q ，2
a q2a3 a5 1 1 q2 q2 1
a 2
，故选 B．
1 a3 a1 1 q 2
4．【解析】若点在平面 内，则n P0P 0，对于 A： n P0P 1, 1,0 1,1,2 2，所以 A选项的点不在
平面 内； 其他选项点都在平面 内，故选 A．
5．【解析】因为事件 A,B为两个互斥事件， A B ，P(AB) 0，故 A正确；事件 A,B为两个互斥事
件，则B A， P AB P B ，故 B错误；P(A B) 1 P(AB) 1 0 1，故 C正确；
P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B)，故 D正确，故选 B．
6．【解析】由题意知数列 an 中，若 a1 1， a2 2，an 2 an 1 an，故 a3 a2 a1 1，a4 = a3 - a2 = -1，
a5 a4 a3 2， a6 a5 a4 1， a7 a6 a5 1,a8 a7 a6 2 ，则 an 为周期为 6的周期数列，
故 a2024 a337 6 2 a2 2，故选 C．
7．【解析】因为G是 ABC
的重心，OA a,OB b,OC c，所以OG OC CG，CG 2 CD，
3
1
CD CA CB ，CA OA OC，CB OB OC，OG OC 2 1 1 1 1 CA CB OC OB OA，2 3 2 3 3 3
1 OG 1 1 a b c，故选 D．
3 3 3
8．【解析】双曲线的右焦点为 F c,0 ，渐近线方程为bx ay 0，OB BF 0，
则有OB BF ，F 到渐近线的距离 BF bc bc b，OF c，BF b，
a2 b2 c
高二数学答案 第 1页，共 12页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
2 b
OB a， AB 2 BF 2b，则 tan AOB 2b ， tan FOB b ， a ，
a a tan 2 FOB 2
1 b
a
2b 2
b
a 2
由 AOB π 2 FOB，有 tan AOB tan 2 FOB 0 b ，即 0a 2 ，解得 b
2，则有
1 a a
c2 a2 b2 e c 3
2 2 3，所以离心率 ，故选 B．a a a
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题满分 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错的得 0分．
题号 9 10 11 12
全部正确选项 ABD BD BD ACD
9.【解析】设等差数列 an 的公差为d ，则 a5 a1 4d 11 4d 3，解得 d 2 .对于 A选项，
S 5a 5 45 1 d 5 11 10 2 35，A对；对于 B选项，an a1 n 1 d 11 2 n 1 13 2n，B2
11 2n, n 5
对；对于 C选项， an 11 2n ，故当 n 5或6时， an 取最小值1，C错；对于 D选项，
2n 11,n 6
n n 1 d
S n na1 11n n n 1 n2 12n n 6
2 36，故当n 6时， Sn取得最大值36，D对.2
故选：ABD.
10．【解析】 l : 2m 1 x m 1 y 7m 4 0，则 (2x y 7)m (x y 4) 0恒成立，
2x y 7 0 x 3 2 2
故 ，则直线恒过 A(3,1)，因为x y 4 0 y 1 3 1 1 2 5 25，所以点 A(3,1)在圆
C内部，因为直线 l恒过定点 A(3,1)，所以直线 l与圆 C恒相交，所以 A错；
2
对于圆C，令 x 0，得 y 2 24，解得 y 2 2 6 ，所以圆 C被 y轴截得的弦长为 4 6，所以
B选项正确；对于 CD 选项：由于点 A(3,1)在圆 C：(x 1)2 ( y 2)2 25的内部，故直线 l被圆截得的
弦长最短时，CA垂直于直线 l，CA 5 ，最短弦长为 2 25 5 4 5 ，故 C错；因为圆心C 1,2 ，
1
直线 l恒过定点 A(3,1)，直线 l被圆截得的弦长最短时 AC l ，可知直线 AC的斜率为 ，所以直线
2
l的方程为 y 1 2 x 3 ，即 2x y 5 0，所以 D正确；故选 BD.
高二数学答案 第 2页，共 12页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
11．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系： A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),B 1(1,1,1),C 1(0,1,1),D 1 (0,0,1) .
A：BC1 ( 1,0,1), AD1 ( 1,0,1)，因为BC1 AD1 ，所以 BC1 / /AD1，因此选项 A不正确；
B：B1D ( 1, 1, 1), AD1 ( 1,0,1), AC ( 1,1,0)，所以 B1D AD1 0,B1D AC 0，
所以 B1D AD1 ,B1D AC ，而 AC AD1 A,因此 B1D 平面 ACD1，所以选项 B
正确；
C：因为 B1D 平面 ACD1，所以 B1D是平面 ACD1的法向量，B1C ( 1,0, 1)，所
B1C B1D 1 1 1 1 2 3
以点 B1到平面 ACD1的距离为 ，因此选
B1D ( 1)2 ( 1)2 ( 1)2 3
项 C不正确；
BC B DD：设直线 B1C与平面 ACD1所成角为 ，则
1 1
sin cos B1C B D
6
1 ，所以直线 B1C与平
B1C B D 31
2
面 ACD1 所成角的余弦值 1 6 3 cos 2 1 ，因此选项 D正确.故选：BD
3 3
12．【解析】对 AB， x2 4x 8 x2 4x 8 0有 x2 4x 8 x2 4x 8，解得 x 0，且此时根式有
意义，故 x2 4x 8 x2 4x 8 0有且仅有一根 x 0，故 A正确，B错误；
对 CD 2 2，因为 y x2 4x 8 x2 4x 8 x 2 4 x 2 4，其
几何意义为 y 2上的点 A x, 2 与点B 2,0 ，C 2,0 之间的距离和
AB AC .易得C 2,0 关于 y 2的对称点为D 2,4 ，故 AB AC 即
AB AD 的最小值为 BD 4 2，故 C正确；
到点B 2,0 ，C 2,0 之间的距离和为6的点的轨迹是以B 2,0 ，C 2,0 为焦
x2 y2
点， 2a 6的椭圆 1，故 2
9 5 x 4x 8 x
2 4x 8 6的解即 y 2与椭
x2 y2 x2 22
圆 1的交点的横坐标.即 1 x 3 5，解得 ，故 D正确.
9 5 9 5 5
故选：ACD.
高二数学答案 第 3页，共 12页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13 2 2、 3 14、 2 5 15、 3 16、 2
1 1 1
13．【解析】甲乙都没有成功破译密码的概率 P1 (1 ) (1 ) 2 3 3，故该密码被成功破译的概率
P 1 1 2 22 P1 1 3 3 ．故答案为 3 ．
2 2
14 x y 2x 10y 24 0．【解析】联立两圆的方程得 ，两式相减并化简，得 x 2y 4 0，此即两2
x y
2 2x 2y 8 0
圆公共弦所在直线的方程.由 x2 y2 2x 10y 24 0得 (x 1)2 (y 5)2 50, ，圆C1的圆心坐标为 (1, 5)，
半径 r 5 2，圆心到直线 x 2y 4 0的距离为 d |1 2 ( 5) 4 | 2 3 5 .公共弦长为 2 r d 2 2 5，
1 ( 2) 2
故答案为 2 5 .
15．【解析】直线 l过点 A 1,2,3 ，且直线 l的方向向量为m 1,0, 1 ，点 P 1,1,1 ，所以 AP 0, 1, 2 ，
2
2 AP m 2
所以点 P 1,1,1 到 l的距离 d AP 5 2 5 2 3 ,故答案为 3 ． m 2
16．【解析】依题意，函数 f (x) 2x2 1，正数数列 an 满足 f an 1 a2n 且 a1 1，
2
所以 2an 1 1 a
2
n，2a
2 2 2 2 2 2
n 1 an 1 2,an 1 1,an 1 1，即an 1，所以 an 1 an 1 an 1 0，
a
a a a a n 2
an 1 a a
所以不等式 n 2 n 1 n 1 n 恒成立等价于 n 2 n 1 恒成立，an 1 an an 1 an
2 2 g a g a
由2a2 2 an 1 an 1n 1 an 1得 a a g a
n 1 n
n 1 ，令 an 1 g an ，则 n 2 n 1 ，则 恒成2 2 an 1 an
x2 1 y2 2
. y g x , 2 y
2 x2 1, 1 x
2 1 y , x 0, x 1立 令 2 2 所以函数
2
2
y x 1 y
2
, x 0, x 1 2
2
表示双曲线在第一象限的一部分，双曲线的渐近线为 y x，所以对
2 2
2 g an 1 g an 2
应图象上任意两点的连线的斜率的取值范围是 0, ，即 的取值范围是2 a
0, ，
n 1 an 2
2所以 , 2 2的最小值为 .故答案为： .
2 2 2
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
高二数学答案 第 4页，共 12页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
17．（本小题满分 10分，其中第一小问 5分，第二小问 5分。）
【解析】当n 1时， a1 S1 1，…………………………………………………………………1分
当n 2 2时，由 S 2n n ，得 Sn 1 n 1 ，………………………………………………………2分
所以 a 2n Sn Sn 1 n (n 1)
2 2n 1，…………………………………………………………3分
当 n 1时， a1 1，符合上式，……………………………………………………………………4分
因此， an 的通项公式为 an 2n 1；……………………………………………………………5分
2
（2）由（1）可知 an 2n 1，所以bn ， …………………………………6分 2n 1 2n 1
b 1 1n ……………………………………………………………………………7分2n 1 2n 1
Tn b b
1 1 1 1 1
1 2 b 1 ……………………………………………8分n 3 3 5 2n 1 2n 1
1 1 2n 综上T 2n ． …………………………………………………………10分
2n 1 2n 1 n 2n 1
18．（本小题满分 12分，其中第一小问 5分，第二小问 7分。）
【解析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件 A,B,C， ………………1分
因为 A,B,C为两两互斥事件，
1
P(A) P(B) P(C) 1 P(A)
2
由已知得 P(A) P(B) 3 ，解得 P(B) 1 .………………………………………………4分
4 4
P(B) P(C) 1
P(C) 1
2 4
∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是 2,1,1；……………………………………………………5分
3 1
【注】1.写出 P(A) P(B) ,P(B) P(C) 两个等式各 1分。2.若没有分析，直接写出答案给 2分。
4 2
（2）
（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为 2，1，1，用 1，2表示红球，用 a表示黄球，用b表示蓝球，
m表示第一次取出的球， n表示第二次取出的球， (m,n)表示试验的样本点，…………………6分
则样本空间 {(1,1), (1,2), (1,a), (1,b), (2,1), (2,2), (2,a), (2,b), (a,1), (a, 2),
(a,a), (a,b), (b,1), (b, 2), (b,a), (b,b)} . ………………………………………………………………8分
【注】球的表示和样本空间的表示合理也可给分，注意 n( ) 16，样本空间没写成集合不得分。
高二数学答案 第 5页，共 12页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
（ii）由（i）得 n( ) 16，记“取到两个球颜色相同”为事件M ，“取到两个球颜色不相同”为事件N，则
M (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (a,a), (b,b) ………………………………………………9分【注】没写扣 1分
n(M ) 6 6 3，所以 P(M ) …………………………………………………………………10分
16 8
所以 P(N ) 1 P(M )
3 5
1 …………………………………………………………………11分
8 8
5 3
因为 ，所以此游戏不公平.…………………………………………………………………12分
8 8
19．（本小题满分 12分，其中第一小问 5分，第二小问 7分。）
【解析】（1）【解法 1】设曲线 C上的点 P(x, y)(x 0)
由题意得点 P(x, y)(x 0)与定点 F (1,0)的距离和它到直线 x= 1的距离相等， ……………1分
所以，曲线 C是以 F为焦点，直线 x= 1为准线的抛物线（去掉顶点），……………………2分
设曲线 C方程为： y2 2 px(x 0)所以 p 1, p 2， …………………………………………4分
2
所以曲线 C的方程是 y2 4x(x 0) ；……………………………………………5分【注】无 x 0扣 1分
【解法 2】设曲线 C上的点 P(x, y)(x 0)
因为点 P(x, y)(x 0)与定点 F (1,0)的距离和它到比它到 y轴的距离大 1，所以 PF x 1……1分
所以， (x 1)2 y2 x 1……………………………………………………………………………2分
两边同时平方整理得： y2 4x(x 0) ……………………………………………………………4分
所以曲线 C的方程是 y2 4x(x 0) ；……………………………………………5分【注】无 x 0扣 1分
（2）【解法 1】若直线 AB斜率不存在，则 | AB | 4不合题意，因此直线 AB斜率存在，……6分
设直线 AB方程为 y k (x 1)，………………………………………………………………………7分
C 2 2代入曲线 方程整理得 k x 2k 2 4 x k 2 0， ………………………………………………8分
2k 2 4 4
设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，则 x1 x2 2 2 2 ，………………………………………………9分k k
| AB | | AF | | BF | 4 x1 x2 p 2 2 2 8,k 1，……………………………………………11分k
所以直线 AB方程为 y (x 1)，即 x y 1 0或 x y 1 0．…………………………………12分
【注】 | AB |用弦长公式 | AB | 1 k 2 x1 x2 1 k
2 (x1 x )
2
2 4x1x2 答案正确也可以给分
【解法 2】因为直线 AB斜率不为 0，设直线 AB方程为 x ty 1， A(x1, y1),B(x2 , y2 )…………6分
高二数学答案 第 6页，共 12页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
x ty 1
由 ，消 x整理得 y22 4ty 4 0 ………………………………………………………7分
y 4x
16(t 2 1) 0， y1 y2 4t ， y1y2 4……………………………………………………8分
| AB | 1 t 2 y1 y2 1 t
2 (y1 y2 )
2 4y1y2 1 t
2 16(t 2 1) 4(t 2 1) 8 ……………10分
解得 t 2 1, t 1 ……………………………………………………………………………………11分
所以直线 AB方程为 x y 1，即 x y 1 0或 x y 1 0 …………………………………12分
20．（本小题满分 12分，其中第一小问 4分，第二小问 8分。）
【解析】（1）【解法 1】由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在 y轴上， …………………1分
2
设圆弧所在圆的方程为 x2 y b r 2 ……………………………………………………………2分
2
8 0 b
2 r2
因为点B 8,0 D 0,4 和点 在圆上，所以 …………………………………………3分
02
2 2
4 b r
b 6
解得 故该圆弧所在圆的方程为 x
2 y 6 2 100．…………………………………………4分
r 10
【解法 2】由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在 y轴上，…………………………………1分
2
设该圆的半径为 r米，则由勾股定理 r 2 82 r 4 ，解得 r 10， …………………………2分
所以圆心坐标为 0, 6 ………………………………………………………………………………3分
故该圆弧所在圆的方程为 x2 y 6 2 100． ……………………………………………………4分
2
（2）【解法 1】设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为 d米，则 d 6 1.6
2 10 2 ，…5分
2
解得 d 2 42.24．…………………………………………………………………………………………6分
设并排通过 n(n N )辆该种汽车，则安全通行的宽度为 n 2.5 (n 1) 0.5 3n 0.5………………8分
要能并排安全通过隧道，则3n 0.5 2 42.24 …………………………………………………………9分
因为 n N ，所以 n的最大值为 4 ……………………………………………………………………11分
综上所述，该隧道最多可以并排通过 4辆该种汽车． …………………………………………………12分
2
2 d d 6 1.6 2【解法 】设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为 米，则 10 2 ，……5分
2
高二数学答案 第 7页，共 12页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
解得 d 2 42.24．…………………………………………………………………………………………6分
若并排通过 5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5 2.5 4 0.5 14.5， ……………………………8分
因为14.5 2 42.24故该隧道不能并排通过 5辆该种汽车．……………………………………………9分
若并排通过 4辆该种汽车，则安全通行的宽度为 4 2.5 3 0.5 11.5 ， ……………………………11分
因为11.5 2 42.24 隧道能并排通过 4辆该种汽车．
综上所述，该隧道最多可以并排通过 4辆该种汽车． ……………………………………………12分
21．（本小题满分 12分，其中第一小问 4分，第二小问 8分。）
【解析】（1）连接 DG，因为 AB⊥AF，AF=AB
所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，∠DCE=45°，…………………………………………1分
在半圆 DGC上，G是弧 CD中点，所以∠GDC=45°， ………………………………………2分
所以DG / /EC，又 EC / /FB， …………………………………………………………………3分
所以DG / /FB，所以 B F D G四点共面.………………………………………………………4分
【注】利用建系证明DG / /FB证明或者用向量共面充要条件证明，过程正确也可以得分
（2）【解法 1】直棱柱中，AB⊥AF，以 A为原点，建立如图空间直角坐标系，
AF=AB=2，设 AD=h，F(2，0，0)，B(0，2，0)，D(0，0，h)，…………………………………5分
FD (-2，0，h)， BF =(2，-2，0)，
设平面 BFD的法向量为n =(x，y，z).
2x hz 0, h则有 ，化简得
x z
2 ，……………………………………………………………6分
2x 2y 0. x y
取 z 2,则x y h,所以，n=(h，h，2)，……………………………………………………7分
A(0，0，0)，B(0，2，0)，G(-1，1，h)， AB =(0，2，0)， AG =(-1，1，h)，
设平面 ABG的法向量为 m=(r，s，t)
高二数学答案 第 8页，共 12页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
2s 0, s 0
则有 r s ht 0，化简得 r ht ,， …………………………………………………………8分
取 t 1,则r h, s 0,所以，m=(h，0，1)， …………………………………………………9分
平面 BDF与平面 ABG所成夹角即n与m夹角或其补角，
| h2 2 | 21
所以 | cos n,m | 6 ……………………………………………………………10分2h2 4 h2 1
解得 h 5，所以 AD 5 .…………………………………………………………………………12分
【解法 2】解：设 AD h .
由（1）可知 B F D G四点共面，则平面BDF 平面ABG BG.
取 BF 中点 N ，连接 AN ,DN ，易知 BF 平面ADN ..........................................5分
过 A作 AO DN于O，又 BF AO，DN BF N，DN,BF 平面 BDF.
所以 AO 平面BDF ......………………………………………………………......6分
过O作OM BG于M,连接AM则AM BG .又 AMO是锐角.
所以 AMO是平面BDF与平面ABG所成的夹角 .则cos AMO 21 .....................7分
6
所以在Rt AOM中， sin AMO 15 AO .......................................................8分
6 AM
AD AN h 2
在Rt DAN中，根据等面积法 AO ................................9分
DN h2 2
2
在 ABG中， AG BG h 2， AB 2 .
BG2 AB
2
2 h2所以 AM AB sin ABG AB 2 2 1 .......................10分
BG h2 2
2 h
2
sin AMO 15 h 2 h . .....................................................11分所以
6 h2 1 2h22 2
h2 2
解得 h2 5,h 0,即h 5
所以AD 5. ....................................................................................................12分
22．（本小题满分 12分，其中第一小问 6分，第二小问 6分。）
c 1 2
1 x y
2
【解析】（ ）由题设 a 2且 ，故 c 1，可得b2 a2 c2 3，则C : 1…………1分a 2 4 3
高二数学答案 第 9页，共 12页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
yP yB(2,0) Q所以 ，则 k1 k x ， 2 ，P 2 xQ 2
若 PQ斜率为 0，则 P,Q关于 y轴对称，显然与 3k1 k2 0矛盾，…………………………………2分
x2 2
所以 PQ
y
斜率不为 0，令 PQ : x ty m(m 2)，联立C : 1，
4 3
整理得： (3t 2 4) y2 6tmy 3m2 12 0 ，则 36t 2m2 12(3t 2 4)(m2 4) 0 ，
y y 6tm 3m
2
12 x
2 y2P P
P Q 2 ， yP yQ 2 ，而 1，……………………………………………3分3t 4 3t 4 4 3
2 9
又 k
y y y 3
1 k P P PBP x 2 x 2 x2
，又 3k
4 4 1
k2 0，则3k1 k
P P P 4k
2 ，
BP
k k 9
yP yQ yP yQ 9
所以 BP 2 ，即 4 xP 2 xQ 2 xPxQ 2(xP xQ ) 4 4
，……………………………………4分
2 2 2 2 2 2 2
xPxQ (tyP m)(tyQ m) t
2y y tm (y y ) m 2 3t m 12t 6t m 4m 12tP Q P
2
Q m ，3t 2 4 3t 2 4 3t2 4
xP xQ t (yP yQ ) 2m
8m
，
3t 2 4
3m2 12
3t 2 4 3m
2 12 9
综上， ，即 2 ，………………………5分
4m2 12t 2 16m 4m2 16m 16 4 m 6m 8 0
3t 2
4 3t 2
4
4
所以m 4或m 2（舍），则 PQ : x ty 4，即直线 PQ过定点 R(4,0) .…………………………6分
（2）【解法 1】根据椭圆对称性，不妨设 P,Q在椭圆的上半部分，即 yP , yQ 0, yP yQ，有以下两种情
况：
yP yQ
令BP : y (x 2) AQ : y (x 2) yx 2 ， x ，联立消去 得：P Q 2
2(xP yQ xx Q
yP ) 4(yP yQ ) 2tyP yQ 6yP 2yQ
T x y x y 2(y y ) 3y y ，………………………………………7分Q P P Q P Q P Q
高二数学答案 第 10页，共 12页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
2tyP yQ 6(yP yQ ) 4yx Q 24t 36所以 T y y 3(y y ) 4y ，而 P Q 2 ，
yP yQ 2 ， ……………8分
P Q Q 3t 4 3t 4
72t 144t
3t 2
2 4y 4 3t 4 Q
所以 xT 72t 1，即T在定直线 x 1上， ………………………………9分
4y
3t 2 4 Q
BP, AQ x 2 yQ (xP 2) yQ (tyP 2) ty y 2y【注】联立直线 也可利用 1 P Q Q 求得T在定直线 x 1
x 2 yP (xQ 2) yP (tyQ 6) tyP yQ 6yP 3
S 1 1而 1 S ABT | AB | | y |，T S2 S ABQ | AB | | y |，则
S1 | y T |， (y , y 0)， ……10分
2 2 Q S2 y
T Q
Q
由T ,Q在直线 AQ上，分别过T ,Q作 x轴的垂线交于T1,Q1因为 ATT1与 AQQ1相似，所以
S1 y x 2 3 T T ， ……………………………………………………………………11分
S2 yQ xQ 2 xQ 2
因为当 xT xQ 1时， P,Q,T 三点重合，不符合题意，
所以 xQ 2,1 1,2 求得
S1 (3， ,1) (1, ) ……………………………………………12分S2 4
【解法 2】
解法二:由椭圆的对称性，不妨设kAP k1 0,则kBQ 3k1 ,
k 3 3AP kBP ，k k 4 AQ BQ 4
k 3 1 BP ，kAQ ……………………………………………………………………7分4k1 4k1
l : y 1 (x 2) l : y 3所以 AQ ， BP (x 2) ………………………………………8分4k1 4k1
y 1 (x 2) 4k
联立 13 ，得xT 1, y
3
T ………………………………………………9分
y (x 2) 4k1
4k1
设Q(x2 , yQ )，则k
y2 1 y2 12k1
AQ ，kBQ 3k1,得yQ 2 …………10分x2 2 4k1 x2 2 12k1 1
S1 S ABT yT 1 3 k 2 0 1 0, 1 3 3 ，因为 ，所以 …………11分
S2 S ABT yQ 16k
2 1 2 2
1 4 16k1 16k1 4 4
高二数学答案 第 11页，共 12页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
1 S
当T、P、Q三点重合时，此时k1 ，1 12 S2
P Q S 3因为 、 是两个不同点，所以 1 （ ，1) (1, ）…………………………………12分
S2 4
高二数学答案 第 12页，共 12页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}惠州市 2023-2024 学年度第一学期期末质量检测试题
高二数学
全卷满分 150分，时间 120分钟． 2024.01
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填
写在答题卡上。
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目
的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，
写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求的。
1．已知抛物线的方程是 y 4x2，则它的准线方程是（ ）
A． y 1 B． x= 1 x
1 y 1 C． D．
16 16
2 ．若直线 l的方向向量是 e = (-1, 3)，则直线 l的倾斜角是（ ）
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
a a
3．已知正项等比数列 an }满足a3为 2a a 3 52 与 6的等比中项，则 a （ ）1 a3
A 2
1
． B． C． 2 D．2
2 2
P n
4．已知平面 ∣ P0P 0 ，其中 P0 1,1,1 ，法向量 n 1,1,2 ，则下列各点中不在
平面 内的是（ ）
A． 2,0,1 B． 2,0, 2 C． 1,1,0 D． 0,2,0
5．设 A,B为两个互斥的事件，且 P A 0,P B 0，则下列各式错．误．的是（ ）
A． P AB 0 B． P AB 1 P A P B
C． P AUB 1 D． P A B P A P B
6．在数列 an 中，若 a1 1， a2 2，an 2 an 1 an，则 a2024 （ ）
A． 1 B． 2 C．2 D．1
数学试题 第 1 页，共 6 页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
7．如图，在四面体OABC中，G是△ABC的重心，
OA a,OB b,OC c，则OG （ ）
A． 1
a 2
2
b c B． 2 a 2 b 1 c
3 3 3 3 3 3
C． 2
a 2
b 2
c D． 1 a 1 b 1 c
3 3 3 3 3 3
x2 y28．已知双曲线 C： 2 2 1 a 0,b 0 的右焦点为 F，过 F作直线分别与双曲线的两a b
条渐近线相交于 A、B两点，且OB BF 0，AB 2BF，则该双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
二、选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分。
9．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 a1 11， a5 3，则 （ ）
A． S5 35 B．an 13 2n
C． an 的最小值为 0 D． Sn的最大值为36
10 2 2．已知圆C : x 1 y 2 25，直线 l : 2m 1 x m 1 y 7m 4 0.则（ ）
A．直线 l与圆C可能相切
B．圆C被 y轴截得的弦长为4 6
C．直线 l被圆C 截得的最短弦长为 2 5
D．直线 l被圆C截得最短弦长时，直线 l的方程为 2x y 5 0
数学试题 第 2 页，共 6 页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
11．已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，则（ ）
A．直线 BC1与直线 AD1所成的角为90
B． B1D 平面 ACD1
C．点 B1到平面 ACD
3
1的距离为 2
D．直线 B1C与平面 ACD1所成角的余弦值为
3
3
12．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.” 事实上，很多代数问题可
2 2
以转化为几何问题加以解决. 例如，与 x a y b 相关的代数问题，可以转化为点
A x, y 与点 B a,b 之间的距离的几何问题.结合上述观点，则（ ）
A．函数 f x x2 4x 8 x2 4x 8有 1个零点
B．函数 g x x2 4x 8 x2 4x 8有 2个零点
C．函数h x x2 4x 8 x2 4x 8有最小值 4 2
D．关于 x的方程 x2 4x 8 x2 4x 8 6的解为 x 3 5
5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1 1
13．甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是 ， ，则该
2 3
密码被成功破译的概率为 ．
14．圆C : x2 y21 2x 10y 24 0
2
与圆C2 : x y
2 2x 2 y 8 0的公共弦长
为 .
15．已知直线 l过点 A 1,2,3 ，且直线 l的方向向量为m 1,0, 1 ，则点 P 1,1,1 到直线 l的
距离为 .
16.已知函数 f (x) 2x2 1 2，数列 an 各项均为正数，满足 f an 1 an 且 a1 1，若不等式
an 2 an 1 an 1 an 恒成立，则实数 的最小值为 .
数学试题 第 3 页，共 6 页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10分）
已知数列 a 的前 n项和公式为 S n2n n ．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）设b 2 ，求数列 bn 的前 n项和Tn．n anan 1
18．（本小题满分 12分）
已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共 4个，从中任取一球，得到红球或
3 1
黄球的概率是 ，得到黄球或蓝球的概率是 .
4 2
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．
（i）写出该试验的样本空间 ；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，
判断这个游戏是否公平，请说明理由.
19．（本小题满分 12分）
已知曲线 C位于 y轴右侧，且曲线 C上任意一点 P与定点 F 1,0 的距离比它到 y轴
的距离大 1．
（1）求曲线 C的方程；
（2）若直线 l经过点 F，与曲线 C交于 A，B两点，且 | AB | 8，求直线 l的方程．
数学试题 第 4 页，共 6 页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
20．（本小题满分 12分）
如图，这是某圆弧形山体隧道的截面示意图，其中底边 AB的长为 16米，最大高度
CD的长为 4米，以 C为坐标原点，AB所在的直线为 x轴建立直角坐标系．
（1）求该圆弧所在圆的方程；
（2）若某种汽车的宽约为 2.5 米，高约为 1.6 米，车
辆行驶时两车的间距要求不小于 0.5米以保证安全，同时车
顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆
该种汽车？（将汽车看作长方体，参考数据 42.24 6.5）．
21．（本小题满分 12分）
如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.
其中，∠FAB=90°，AB=AF=2，点 G为弧 CD的中点，且 C，G，
D，E四点共面.
（1）证明：D，G，B，F四点共面；
（2 21）若平面 BDF与平面 ABG夹角的余弦值为 ，求 AD
6
长．
数学试题 第 5 页，共 6 页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
22．（本小题满分 12分）
x2 y2
如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C : 2 2 1(a b 0)过点 A 2,0 ，且离心a b
率为 1 ，设椭圆C的右顶点为B，点 P，Q是椭圆C上异于 A，B的两个动点，记直线 AP，
2
BQ的斜率分别为 k1， k2，且 3k1 k2 0．
（1）求证：直线 PQ过定点 R；
（2）设直线 AQ，BP相交于点T，记 ABT ， ABQ
的面积分别为 S1， S2，求
S1 的取值范围．
S2
数学试题 第 6 页，共 6 页
{#{QQABQQAAoggIAAIAAAhCAwWYCEIQkBEAAIoORFAEMAAACQNABAA=}#}
