高中数学人教新课标A版必修二第2章点、直线、平面之间的位置关系 单元测试
一、单选题
1．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与平面α的位置关系是（ ）
A．b 平面α B．b⊥平面α
C．b∥平面α D．b与平面α相交，或b∥平面α
2．下列叙述中，正确的是（ ）
A．四边形是平面图形
B．有三个公共点的两个平面重合。
C．两两相交的三条直线必在同一个平面内
D．三角形必是平面图形。
3．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
4．空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论不正确的是（ ）
A．C1D1⊥B1C B．BD1⊥AC C．BD1∥B1C D．∠ACB1=60°
6．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若l⊥α，α⊥β，则l β
B．若l∥α，α∥β，则l β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
7．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， BC=AC ，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1 ，③平面AMC1⊥平面CBA1 ，其中正确结论的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF= ，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
9．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 （ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
10．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．平面 过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A， //平面CB1D1， 平面ABCD=m， 平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M，N分别为A1B，B1C1的中点.（ ）
下列结论中正确的个数有（ ）
①直线MN与A1C相交.
②MN⊥BC.
③MN∥平面ACC1A1.
④三棱锥N-A1BC的体积为 = a3.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
13．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：
①直线AM与直线C1C相交；
②直线AM与直线DD1异面；
③直线AM与直线BN平行；
④直线BN与直线MB1异面．
其中正确结论的序号为 （填入所有正确结论的序号）．
14．如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是 .
15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).
16．如图正方形 的边长为 ，已知 ，将 沿 边折起，折起后 点在平面 上的射影为 点，则翻折后的几何体中有如下描述：
① 与 所成角的正切值是 ；
② ∥ ；
③ 的体积是 ；
④平面 ⊥平面 ；
⑤直线 与平面 所成角为 ．
其中正确的有 ．（填写你认为正确的序号）
三、解答题
17．已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：
（1）D，B，E，F四点共面.
（2）若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.
18．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点.
（1）求证：OE∥平面BCC1B1.
（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.
19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG.
（1）求证：EC⊥CD.
（2）求证：AG∥平面BDE.
20．如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC.
（1）求证：平面AEF⊥平面PBC.
（2）求二面角P-BC-A的大小.
21．在四棱锥 中， 平面 ， ∥ ， ，
（1）求证： 平面
（2）求证：平面 平面
（3）设点 为 中点，在棱 上是否存在点 ，使得 ∥平面 ？说明理由.
22．如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.
（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论.
（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】∵两条相交直线a，b，a∥平面α，
∴b与平面α相交，或b∥平面α
故答案为：D.
【分析】若b 平面α，那么a∥b，与直线a，b相交矛盾.
2．【答案】D
【知识点】空间图形的公理
【解析】【解答】A中四边形可以是空间四边形，故A不符合题意；B中两个相交平面的交线上有无数个公共点，故B不符合题意；C中若三条直线有一个公共点的话，易知三条直线不一定在一个平面内，故C不符合题意；D中由不在同一直线上的三个点确定一个平面可以判断三角形必是平面图形，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】本题解题主要依据为：空间中，不在同一直线的三点确定一个平面.
3．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，
∴m∥β或m β或m与β相交，l β，
∵n⊥β，
∴n⊥l．
故选：C．
【分析】由已知条件推导出l β，再由n⊥β，推导出n⊥l．
4．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】取AC中点E，连接BE，DE
因为：AB=AD=AC=CB=CD=BD
那么AC⊥BE，AC⊥DE
所以AC⊥平面BDE，
因此AC⊥BD，即AC与BD所成角为90°
故答案为：D．
【分析】先利用等腰三角形中线的性质得到AC⊥平面BDE，从而得到AC⊥BD，即可判断两条直线所成的角.
5．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】对于A，C1D1⊥平面BCB1C1，∴C1D1⊥B1C，所以A正确，不符合题意；
对于B，BD1⊥平面AB1C，∴BD1⊥AC，所以B正确，不符合题意；
对于C，BD1与B1C 是异面直线，∴所以C错误，符合题意；
对于D，△ACB1为等边三角形，∴∠ACB1=60°，所以D正确，不符合题意.
故答案为：C
【分析】不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线是异面直线.
6．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若l⊥α，α⊥β，则l β或l∥β，A不符合题意；
B、若l∥α，α∥β，则l β或l∥β，B不符合题意；
C、若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，C符合题意；
D、若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．
7．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】①：因为在直三棱柱 中，所以面 面 ；因为 ，所以 ，又因为 为 的中点，所以 ，因为面 面 ，所以 面 ，故①正确；②：由①知， ，又因为 ， ，所以 面 ，所以 ，因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 是平行四边形，所以 ，因为 ，所以 ，故②正确；③：由②知 面 ，又因为 面 ，所以面 面 ，故③正确；综上所述，正确结论的个数为3.
故答案为：D.
【分析】①主要利用：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；②主要利用：在同一平面内，两条平行直线中一条直线与第三条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直；③主要利用：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直.
8．【答案】D
【知识点】两条直线垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】对于A，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，故A正确，不符合题意；
对于B，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，故B正确，不符合题意；
对于C，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确，不符合题意；
对于D，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、一条直线垂直一平面，那么这条直线垂直这个平面内的任一条直线；B、两平面平行，那么一个平面内的所有直线平行于另一个平面；C、根据等底等高的三角形面积相等，再由等等底面积，等高的三棱锥体积相等来判断；D、对于等底的两个三角形判断面积是否相等从高是否相等入手.
9．【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】在A中，∵BD∥ ，BD 平面C ， 平面C ，
∴BD∥平面 ，故A正确，不符合题意；
在B中，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵ABCD- 为正方体，∴ ⊥BD，
∵AC∩ =C，∴BD⊥平面 ，∴ ⊥BD，故B正确，不符合题意；
在C中，∵AD∥BC，∴∠ 是异面直线AD与 所成角，
∵BC 是正方形，∴∠ =45°，
∴异面直线AD与 角为45°，故D错误，符合题意；
在D中，∵ 是正方形，∴ ⊥ ，
∵ABCD- 为正方体，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ，∴ ⊥平面 ，∴ ⊥ ，
同理 ⊥ ，∵ ∩ = ，∴ ⊥平面 ，故C正确，不符合题意．
故答案为：D.
【分析】A、一直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面；B、空间中证明两条直线垂直可以通过证明一条直线与另一条直线所在平面垂直来证明；C、一条直线垂直于一平面内的两条不相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；D、将两条异面直线放于同一平面内再求这两条直线所成的角即为这两条异面直线所成的夹角.
10．【答案】C
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】
由已知可得AD⊥DC
又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD
在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角
∵EF= （三角形ACD的中位线），BE= （正三角形BCD的高），BF= （等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）
∴cos∠BEF=
故答案为：C．
【分析】根据题中的几何条件，作点B垂直DC于点E，过点E作EF平行于AD交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角，再求该角的余弦值即可.
11．【答案】A
【知识点】平行公理；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图，
设平面 平面 = ，平面 平面 = ，因为 平面 ，所以 ，则 所成的角等于 所成的角.过 作 ，交 的延长线于点E,连接 ，则 为 .连接 ，过B1作 ，交 的延长线于点 ，则 为 .连接BD，则 ，则 所成的角即为 所成的角，为 ，故 所成角的正弦值为 .
故答案为：A.
【分析】根据所给平面之间的关系及直线m，n的特征，找到符合条件的m ' , n '，再利用m ' , n '的特征在正方体中找到与其分别平行的直线，即可求得两直线的夹角.
12．【答案】B
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】取A1B1的中点D，连结DM、DN．
由于M、N分别是所在棱的中点，
所以可得DN∥A1C1，DN 平面A1AC1C，A1C1 平面A1AC1C，所以DN∥平面A1AC1C．
同理可证DM∥平面A1AC1C．
又∵DM∩DN=D，
所以平面DMN∥平面A1AC1C，
所以直线MN与A1C 相交不成立，①错误；
由三视图可得A1C1⊥平面BCC1B1．
所以DN⊥平面BCC1B1，
所以DN⊥BC，
又易知DM⊥BC，
所以BC⊥平面DMN，
所以BC⊥MN，②正确；
由①中，平面DMN∥平面A1AC1C，
可得：MN∥平面ACC1A1，③正确；
因为 a3，所以④正确．
综上，②③④正确．
故答案为：B
【分析】①过两条直线的两个平面平行，那么这两条直线不相交，而是可能平行或异面；②证明两条直线垂直，可以通过证明一条直线垂直于另一直线所在平面；③两平面平行，那么一个平面中的所有直线都平行于另一平面；④所求三棱锥的为直三棱锥，所有容易求得其体积.
13．【答案】②④
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】由异面直线判定定理知：①直线AM与直线CC1异面；②直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面，因为直线BN与直线AE平行，（E为DD1中点），所以③直线AM与直线BN异面．
故答案为：②④.
【分析】异面直线判定定理：平面的一条交线与平面内不过交点的直线互为异面直线.
14．【答案】
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】∵PA⊥平面AC，
∴PA⊥DE
又∵PE⊥DE，PA∩PE=P
∴DE⊥平面PAE
∴DE⊥AE
即E点为以AD为直径的圆与BC的交点
∵AB=3，BC=a，满足条件的E点有2个
∴
故答案为：
【分析】先根据题意证得DE⊥AE，从而可知点E的位置特点：以AD为直径的圆与BC的交点，所以只有BC的长度大于AC长度的2倍，交点才有两个，从而可得到a的取值范围.
15．【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
故答案为：DM⊥PC.
【分析】先根据已知条件得到相关直线或平面的关系，从而根据所缺条件进行填写.本题利用的定理为：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.
16．【答案】①③④⑤
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，AB= BC，AE= a，
AD⊥平面BCDE，AD=a，AC= a①由于BC∥DE，∴∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角
∵AB= a，BC=a，AC= a，
∴BC⊥AC，∴tan∠ABC= ，故①正确；②由图象可知AB与CE是异面直线，故②错误．③VB﹣ACE的体积是 S△BCE×AD= × a3= ，故③正确；④∵AD⊥平面BCDE，BC 平面BCDE，
∴AD⊥BC，∵BC⊥CD，AD∩CD=D，∴BC⊥平面ADC，
∵BC 平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故④正确；⑤连接CE交BD于F，则EF⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BDE，
∴EF⊥平面ABD，连接F，
则∠EAF为直线AE与平面ABD所成角，
在△AFE中，EF= ，AE= a，
∴sin∠EAF= = ，则∠EAF=30°，故⑤正确，
故答案为：①③④⑤.
【分析】①通过直线平行，将直线AB与DE所成角变为直线AB与BC 所成角，即∠ABC即为所求的夹角，则其正切值即为所求；②利用平面的一条交线与平面内不过交点的直线为异面直线来判断AB与CE是异面直线；③AD为三棱锥VB﹣ACE的高，从而可求得其体积；④利用一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；⑤先过点E作出EF垂直平面ABD的线段，从而可知直线AE与平面ABD所成角为∠EAF，其角度即为所求度数.
17．【答案】（1）解:连接B1D1.因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点，所以EF∥B1D1，又因为B1D1∥BD，
所以EF∥BD，所以EF与BD共面，
所以E，F，B，D四点共面.
（2）解:因为AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.
同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
因为A1C∩平面DBFE=R，
所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
所以P，Q，R三点共线.
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】（1）利用两条直线平行，有且只有一个平面来证明四点共面；（2）因为两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，所以通过证明这三个点都为平面AA1C1C与平面BDEF的交点，从而可以证明这三个点在同一直线上.
18．【答案】（1）解:连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE 平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.
（2）解:因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C 平面A1BC，A1B 平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC 平面A1BC，所以AC1⊥BC.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）利用不在平面内的直线平行于平面内的一条直线，则这条只直线平行于这个平面；（2）证明两直线平行，可以通过证明一直线平行于另一直线所在平面来证明.
19．【答案】（1）证明:由平面ABCD⊥平面BCEG，
平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE 平面BCEG，
所以EC⊥平面ABCD，又CD 平面ABCD，故EC⊥CD.
（2）证明:在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连接DM，
则由已知知，MG=MN，MN∥BC∥DA，且MN=AD= BC，
所以MG∥AD，MG=AD，
故四边形ADMG为平行四边形，
所以AG∥DM，因为DM 平面BDE，AG 平面BDE，所以AG∥平面BDE.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）因为两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面，从而判断EC⊥平面ABCD，又因为一直线垂直于一平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所以直线；（2）利用三角形中位线作辅助线DM，从而利用一直线平行于一平面内的直线那么这条直线平行于这个平面来证明AG∥平面BDE.
20．【答案】（1）解:因为PA⊥平面ABC，又BC 平面ABC，所以PA⊥BC，
又AB⊥BC，AB与PA相交于点A，
所以BC⊥平面PAB，又AE 平面PAB，所以BC⊥AE，又AE⊥PB，而PB与BC相交于点B，所以AE⊥平面PBC，又AE 平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC.
（2）解:由(1)知，BC⊥平面PAB，PB 平面PAB，
所以PB⊥BC，又AB⊥BC，
所以∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，
在Rt△PAB中，因为PA=AB，所以∠PBA=45°，
即二面角P-BC-A的大小为45°.
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直来证明两平面垂直；（2）利用三垂线定理作出二面角∠PBA，再求其角度即可.
21．【答案】（1）证明： 平面 平面 ， ，
又 ，且 ， 平面
（2）证明： 平面 ，且 ∥ ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面
（3）解：取 中点 ，连结 ， ，则 ∥平面 .
, 分别为 ， 中点，则 ∥ ，又 平面 ，
平面 ，所以 ∥平面
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1)由已知结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直再利用线面垂直的判定定理即可得出结论。(2)利用已知条件得出线面垂直再由平行关系的传递性得到A B ⊥ 平面 P A C ，根据面面垂直的判定定理即可得证。(3)根据题意作出辅助线由线面平行得出线线平行，再利用平行的传递性即可得证。
22．【答案】（1）解:线段BC的中点就是满足条件的点P.
证明如下：
取AB的中点F，连接DP，PF，EF，
则FP∥AC，FP= AC，
取AC的中点M，连接EM，EC，
因为AE=AC且∠EAC=60°，
所以△EAC是正三角形，所以EM⊥AC.
所以四边形EMCD为矩形，
所以ED=MC= AC.
又因为ED∥AC，
所以ED∥FP且ED=FP，
所以四边形EFPD是平行四边形，所以DP∥EF，
而EF 平面EAB，DP 平面EAB，
所以DP∥平面EAB.
（2）解:过C作CG∥AB，过B作BG∥AC，CG∩BG=G，连接GD.
因为ED∥AC，所以ED∥BG，
所以B，E，D，G四点共面，
所以平面EBD与平面ABC相交于BG，
因为CD⊥AC，平面ACDE⊥平面ABGC，
所以CD⊥平面ABGC，
又因为BG 平面ABGC，
所以BG⊥CD，
又BG⊥GC，CD∩GC=C，
所以BG⊥平面CDG，
所以BG⊥DG，
所以∠DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ，设AB=AC=AE=a，
则GC=AB=a，DC=EM= a，
所以GD= = a，
所以cosθ=cos∠DGC= = .
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）先利用三角形中位线与梯形的上下底平行，得到ED与PF平行，再结合正三角形与矩形证得ED与PF相等，从而证得四边形DEFP为平行四边形，即PD平行于EF，进而证得DP平行于平面EAB；（2）先作出平行四边形ABGC，从而平面EBD与平面ABC所成的锐二面角为平面EBD与平面ABC所成的锐二面角，从而证得∠DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ.
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一、单选题
1．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与平面α的位置关系是（ ）
A．b 平面α B．b⊥平面α
C．b∥平面α D．b与平面α相交，或b∥平面α
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】∵两条相交直线a，b，a∥平面α，
∴b与平面α相交，或b∥平面α
故答案为：D.
【分析】若b 平面α，那么a∥b，与直线a，b相交矛盾.
2．下列叙述中，正确的是（ ）
A．四边形是平面图形
B．有三个公共点的两个平面重合。
C．两两相交的三条直线必在同一个平面内
D．三角形必是平面图形。
【答案】D
【知识点】空间图形的公理
【解析】【解答】A中四边形可以是空间四边形，故A不符合题意；B中两个相交平面的交线上有无数个公共点，故B不符合题意；C中若三条直线有一个公共点的话，易知三条直线不一定在一个平面内，故C不符合题意；D中由不在同一直线上的三个点确定一个平面可以判断三角形必是平面图形，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】本题解题主要依据为：空间中，不在同一直线的三点确定一个平面.
3．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，
∴m∥β或m β或m与β相交，l β，
∵n⊥β，
∴n⊥l．
故选：C．
【分析】由已知条件推导出l β，再由n⊥β，推导出n⊥l．
4．空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】取AC中点E，连接BE，DE
因为：AB=AD=AC=CB=CD=BD
那么AC⊥BE，AC⊥DE
所以AC⊥平面BDE，
因此AC⊥BD，即AC与BD所成角为90°
故答案为：D．
【分析】先利用等腰三角形中线的性质得到AC⊥平面BDE，从而得到AC⊥BD，即可判断两条直线所成的角.
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论不正确的是（ ）
A．C1D1⊥B1C B．BD1⊥AC C．BD1∥B1C D．∠ACB1=60°
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】对于A，C1D1⊥平面BCB1C1，∴C1D1⊥B1C，所以A正确，不符合题意；
对于B，BD1⊥平面AB1C，∴BD1⊥AC，所以B正确，不符合题意；
对于C，BD1与B1C 是异面直线，∴所以C错误，符合题意；
对于D，△ACB1为等边三角形，∴∠ACB1=60°，所以D正确，不符合题意.
故答案为：C
【分析】不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线是异面直线.
6．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若l⊥α，α⊥β，则l β
B．若l∥α，α∥β，则l β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若l⊥α，α⊥β，则l β或l∥β，A不符合题意；
B、若l∥α，α∥β，则l β或l∥β，B不符合题意；
C、若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，C符合题意；
D、若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．
7．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， BC=AC ，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1 ，③平面AMC1⊥平面CBA1 ，其中正确结论的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】①：因为在直三棱柱 中，所以面 面 ；因为 ，所以 ，又因为 为 的中点，所以 ，因为面 面 ，所以 面 ，故①正确；②：由①知， ，又因为 ， ，所以 面 ，所以 ，因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 是平行四边形，所以 ，因为 ，所以 ，故②正确；③：由②知 面 ，又因为 面 ，所以面 面 ，故③正确；综上所述，正确结论的个数为3.
故答案为：D.
【分析】①主要利用：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；②主要利用：在同一平面内，两条平行直线中一条直线与第三条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直；③主要利用：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直.
8．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF= ，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
【答案】D
【知识点】两条直线垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】对于A，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，故A正确，不符合题意；
对于B，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，故B正确，不符合题意；
对于C，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确，不符合题意；
对于D，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、一条直线垂直一平面，那么这条直线垂直这个平面内的任一条直线；B、两平面平行，那么一个平面内的所有直线平行于另一个平面；C、根据等底等高的三角形面积相等，再由等等底面积，等高的三棱锥体积相等来判断；D、对于等底的两个三角形判断面积是否相等从高是否相等入手.
9．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 （ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】在A中，∵BD∥ ，BD 平面C ， 平面C ，
∴BD∥平面 ，故A正确，不符合题意；
在B中，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵ABCD- 为正方体，∴ ⊥BD，
∵AC∩ =C，∴BD⊥平面 ，∴ ⊥BD，故B正确，不符合题意；
在C中，∵AD∥BC，∴∠ 是异面直线AD与 所成角，
∵BC 是正方形，∴∠ =45°，
∴异面直线AD与 角为45°，故D错误，符合题意；
在D中，∵ 是正方形，∴ ⊥ ，
∵ABCD- 为正方体，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ，∴ ⊥平面 ，∴ ⊥ ，
同理 ⊥ ，∵ ∩ = ，∴ ⊥平面 ，故C正确，不符合题意．
故答案为：D.
【分析】A、一直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面；B、空间中证明两条直线垂直可以通过证明一条直线与另一条直线所在平面垂直来证明；C、一条直线垂直于一平面内的两条不相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；D、将两条异面直线放于同一平面内再求这两条直线所成的角即为这两条异面直线所成的夹角.
10．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】
由已知可得AD⊥DC
又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD
在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角
∵EF= （三角形ACD的中位线），BE= （正三角形BCD的高），BF= （等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）
∴cos∠BEF=
故答案为：C．
【分析】根据题中的几何条件，作点B垂直DC于点E，过点E作EF平行于AD交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角，再求该角的余弦值即可.
11．平面 过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A， //平面CB1D1， 平面ABCD=m， 平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行公理；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图，
设平面 平面 = ，平面 平面 = ，因为 平面 ，所以 ，则 所成的角等于 所成的角.过 作 ，交 的延长线于点E,连接 ，则 为 .连接 ，过B1作 ，交 的延长线于点 ，则 为 .连接BD，则 ，则 所成的角即为 所成的角，为 ，故 所成角的正弦值为 .
故答案为：A.
【分析】根据所给平面之间的关系及直线m，n的特征，找到符合条件的m ' , n '，再利用m ' , n '的特征在正方体中找到与其分别平行的直线，即可求得两直线的夹角.
12．一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M，N分别为A1B，B1C1的中点.（ ）
下列结论中正确的个数有（ ）
①直线MN与A1C相交.
②MN⊥BC.
③MN∥平面ACC1A1.
④三棱锥N-A1BC的体积为 = a3.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】取A1B1的中点D，连结DM、DN．
由于M、N分别是所在棱的中点，
所以可得DN∥A1C1，DN 平面A1AC1C，A1C1 平面A1AC1C，所以DN∥平面A1AC1C．
同理可证DM∥平面A1AC1C．
又∵DM∩DN=D，
所以平面DMN∥平面A1AC1C，
所以直线MN与A1C 相交不成立，①错误；
由三视图可得A1C1⊥平面BCC1B1．
所以DN⊥平面BCC1B1，
所以DN⊥BC，
又易知DM⊥BC，
所以BC⊥平面DMN，
所以BC⊥MN，②正确；
由①中，平面DMN∥平面A1AC1C，
可得：MN∥平面ACC1A1，③正确；
因为 a3，所以④正确．
综上，②③④正确．
故答案为：B
【分析】①过两条直线的两个平面平行，那么这两条直线不相交，而是可能平行或异面；②证明两条直线垂直，可以通过证明一条直线垂直于另一直线所在平面；③两平面平行，那么一个平面中的所有直线都平行于另一平面；④所求三棱锥的为直三棱锥，所有容易求得其体积.
二、填空题
13．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：
①直线AM与直线C1C相交；
②直线AM与直线DD1异面；
③直线AM与直线BN平行；
④直线BN与直线MB1异面．
其中正确结论的序号为 （填入所有正确结论的序号）．
【答案】②④
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】由异面直线判定定理知：①直线AM与直线CC1异面；②直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面，因为直线BN与直线AE平行，（E为DD1中点），所以③直线AM与直线BN异面．
故答案为：②④.
【分析】异面直线判定定理：平面的一条交线与平面内不过交点的直线互为异面直线.
14．如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】∵PA⊥平面AC，
∴PA⊥DE
又∵PE⊥DE，PA∩PE=P
∴DE⊥平面PAE
∴DE⊥AE
即E点为以AD为直径的圆与BC的交点
∵AB=3，BC=a，满足条件的E点有2个
∴
故答案为：
【分析】先根据题意证得DE⊥AE，从而可知点E的位置特点：以AD为直径的圆与BC的交点，所以只有BC的长度大于AC长度的2倍，交点才有两个，从而可得到a的取值范围.
15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).
【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
故答案为：DM⊥PC.
【分析】先根据已知条件得到相关直线或平面的关系，从而根据所缺条件进行填写.本题利用的定理为：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.
16．如图正方形 的边长为 ，已知 ，将 沿 边折起，折起后 点在平面 上的射影为 点，则翻折后的几何体中有如下描述：
① 与 所成角的正切值是 ；
② ∥ ；
③ 的体积是 ；
④平面 ⊥平面 ；
⑤直线 与平面 所成角为 ．
其中正确的有 ．（填写你认为正确的序号）
【答案】①③④⑤
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，AB= BC，AE= a，
AD⊥平面BCDE，AD=a，AC= a①由于BC∥DE，∴∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角
∵AB= a，BC=a，AC= a，
∴BC⊥AC，∴tan∠ABC= ，故①正确；②由图象可知AB与CE是异面直线，故②错误．③VB﹣ACE的体积是 S△BCE×AD= × a3= ，故③正确；④∵AD⊥平面BCDE，BC 平面BCDE，
∴AD⊥BC，∵BC⊥CD，AD∩CD=D，∴BC⊥平面ADC，
∵BC 平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故④正确；⑤连接CE交BD于F，则EF⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BDE，
∴EF⊥平面ABD，连接F，
则∠EAF为直线AE与平面ABD所成角，
在△AFE中，EF= ，AE= a，
∴sin∠EAF= = ，则∠EAF=30°，故⑤正确，
故答案为：①③④⑤.
【分析】①通过直线平行，将直线AB与DE所成角变为直线AB与BC 所成角，即∠ABC即为所求的夹角，则其正切值即为所求；②利用平面的一条交线与平面内不过交点的直线为异面直线来判断AB与CE是异面直线；③AD为三棱锥VB﹣ACE的高，从而可求得其体积；④利用一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；⑤先过点E作出EF垂直平面ABD的线段，从而可知直线AE与平面ABD所成角为∠EAF，其角度即为所求度数.
三、解答题
17．已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：
（1）D，B，E，F四点共面.
（2）若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.
【答案】（1）解:连接B1D1.因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点，所以EF∥B1D1，又因为B1D1∥BD，
所以EF∥BD，所以EF与BD共面，
所以E，F，B，D四点共面.
（2）解:因为AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.
同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
因为A1C∩平面DBFE=R，
所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
所以P，Q，R三点共线.
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】（1）利用两条直线平行，有且只有一个平面来证明四点共面；（2）因为两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，所以通过证明这三个点都为平面AA1C1C与平面BDEF的交点，从而可以证明这三个点在同一直线上.
18．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点.
（1）求证：OE∥平面BCC1B1.
（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.
【答案】（1）解:连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE 平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.
（2）解:因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C 平面A1BC，A1B 平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC 平面A1BC，所以AC1⊥BC.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）利用不在平面内的直线平行于平面内的一条直线，则这条只直线平行于这个平面；（2）证明两直线平行，可以通过证明一直线平行于另一直线所在平面来证明.
19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG.
（1）求证：EC⊥CD.
（2）求证：AG∥平面BDE.
【答案】（1）证明:由平面ABCD⊥平面BCEG，
平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE 平面BCEG，
所以EC⊥平面ABCD，又CD 平面ABCD，故EC⊥CD.
（2）证明:在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连接DM，
则由已知知，MG=MN，MN∥BC∥DA，且MN=AD= BC，
所以MG∥AD，MG=AD，
故四边形ADMG为平行四边形，
所以AG∥DM，因为DM 平面BDE，AG 平面BDE，所以AG∥平面BDE.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）因为两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面，从而判断EC⊥平面ABCD，又因为一直线垂直于一平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所以直线；（2）利用三角形中位线作辅助线DM，从而利用一直线平行于一平面内的直线那么这条直线平行于这个平面来证明AG∥平面BDE.
20．如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC.
（1）求证：平面AEF⊥平面PBC.
（2）求二面角P-BC-A的大小.
【答案】（1）解:因为PA⊥平面ABC，又BC 平面ABC，所以PA⊥BC，
又AB⊥BC，AB与PA相交于点A，
所以BC⊥平面PAB，又AE 平面PAB，所以BC⊥AE，又AE⊥PB，而PB与BC相交于点B，所以AE⊥平面PBC，又AE 平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC.
（2）解:由(1)知，BC⊥平面PAB，PB 平面PAB，
所以PB⊥BC，又AB⊥BC，
所以∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，
在Rt△PAB中，因为PA=AB，所以∠PBA=45°，
即二面角P-BC-A的大小为45°.
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直来证明两平面垂直；（2）利用三垂线定理作出二面角∠PBA，再求其角度即可.
21．在四棱锥 中， 平面 ， ∥ ， ，
（1）求证： 平面
（2）求证：平面 平面
（3）设点 为 中点，在棱 上是否存在点 ，使得 ∥平面 ？说明理由.
【答案】（1）证明： 平面 平面 ， ，
又 ，且 ， 平面
（2）证明： 平面 ，且 ∥ ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面
（3）解：取 中点 ，连结 ， ，则 ∥平面 .
, 分别为 ， 中点，则 ∥ ，又 平面 ，
平面 ，所以 ∥平面
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1)由已知结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直再利用线面垂直的判定定理即可得出结论。(2)利用已知条件得出线面垂直再由平行关系的传递性得到A B ⊥ 平面 P A C ，根据面面垂直的判定定理即可得证。(3)根据题意作出辅助线由线面平行得出线线平行，再利用平行的传递性即可得证。
22．如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.
（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论.
（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.
【答案】（1）解:线段BC的中点就是满足条件的点P.
证明如下：
取AB的中点F，连接DP，PF，EF，
则FP∥AC，FP= AC，
取AC的中点M，连接EM，EC，
因为AE=AC且∠EAC=60°，
所以△EAC是正三角形，所以EM⊥AC.
所以四边形EMCD为矩形，
所以ED=MC= AC.
又因为ED∥AC，
所以ED∥FP且ED=FP，
所以四边形EFPD是平行四边形，所以DP∥EF，
而EF 平面EAB，DP 平面EAB，
所以DP∥平面EAB.
（2）解:过C作CG∥AB，过B作BG∥AC，CG∩BG=G，连接GD.
因为ED∥AC，所以ED∥BG，
所以B，E，D，G四点共面，
所以平面EBD与平面ABC相交于BG，
因为CD⊥AC，平面ACDE⊥平面ABGC，
所以CD⊥平面ABGC，
又因为BG 平面ABGC，
所以BG⊥CD，
又BG⊥GC，CD∩GC=C，
所以BG⊥平面CDG，
所以BG⊥DG，
所以∠DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ，设AB=AC=AE=a，
则GC=AB=a，DC=EM= a，
所以GD= = a，
所以cosθ=cos∠DGC= = .
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）先利用三角形中位线与梯形的上下底平行，得到ED与PF平行，再结合正三角形与矩形证得ED与PF相等，从而证得四边形DEFP为平行四边形，即PD平行于EF，进而证得DP平行于平面EAB；（2）先作出平行四边形ABGC，从而平面EBD与平面ABC所成的锐二面角为平面EBD与平面ABC所成的锐二面角，从而证得∠DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ.
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