2023-2024学年辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学试题（含解析）

2023-2024学年辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学试题
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则这个圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.
4.已知对数函数满足，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
5.有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知圆过，，三点，则( )
A. B. C. D.
7.已知锐角，满足，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且，，则( )
A. B. C. D.
9.已知函数，则( )
A. 有一个零点
B. 的极小值为
C. 的对称中心为
D. 直线是曲线的切线
10.把函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图像，则( )
A. 的最小正周期为 B.
C. 在上递增 D. 关于直线对称
11.已知直三棱柱的体积为，，，，为的中点，则( )
A. B. 点到平面的距离为
C. 直三棱柱的外接球的半径为 D. 直线与所成角的余弦值为
12.已知为坐标原点，过抛物线：的焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点，直线与交于，若直线与的倾斜角互补，则( )
A. 直线的斜率为 B.
C. 线段中点的纵坐标为 D.
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13.若随机变量，且，则 ______ ．
14.设单位向量，的夹角为，则 ______ ．
15.已知等比数列的前项和为，，则 ______ ．
16.已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为______ ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.记为数列的前项和，，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
18.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，是边上的点，且．
求；
若：：，求．
19.如图，在三棱锥中，，，，，点，分别为，的重心．
求证：面；
若平面与平面所成的角为，且平面平面，求三棱锥的体积．
20.中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，采用单循环赛任意两人之间只赛一场，每场比赛胜者积分，负者积分，平局各分根据积分排名晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行同分加赛，直到排出小组，，名为止，已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为，平局概率为；甲、丙对局时，甲胜概率为，平局概率为；乙、丙对局时，乙胜概率为，平局概率为，各场比赛相互独立．
甲乙丙单循环赛分出胜负的局数为，求；
甲乙丙单循环赛结束，乙丙同积分，设加赛次后乙获得小组第一名的概率为，证明：．
21.已知双曲线：的渐近线方程为，点在上．
求的方程；
过点的直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，求证：线段的中点为定点．
22.已知定义在上的函数和．
求证：；
设在存在极值点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，集合，
，
，
则．
故选：．
求出集合，利用并集定义求出，再由补集定义能求出．
本题考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由已知可得，所以，
则．
故选：．
利用共轭复数的定义以及复数的运算性质化简即可求解．
本题考查了复数的运算性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的侧面展开图面积计算问题，是基础题．
设圆锥的底面半径为，母线长为，根据题意列方程组求解即可．
【解答】
解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
根据侧面展开图是面积为的半圆，
所以，
解得，，
所以圆锥的底面半径为．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为对数函数且满足，
所以，即，，
由可得或，
即或，
即或．
故选：．
由已知先求出，然后结合二次及对数不等式的求法即可求解．
本题主要考查了对数函数解析式的求解，还考查了二次不等式及对数不等式的求解，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，分两种情况讨论；
两端恰有两个空座位相邻，则必须有一人坐在空座的边上，其余两人在余下的三个座位上任意就座，此时有种坐法；
两个相邻的空座位不在两端，有三种情况，此时这两个相邻的空座位两端必须有两人就座，余下一人在余下的两个座位上任意就座，此时有种坐法．
故共有种坐法．
根据题意，按空位的位置分两种情况讨论，两端恰有两个空座位相邻，两个相邻的空座位不在两端；分别求出两种情况下的坐法数目，进而相加可得答案．
本题考查排列、组合的综合运用，分类讨论时，按一定的标准，做到补充不漏．
6.【答案】
【解析】解：设圆的方程为，
圆过三点，，，
，
解得，，，
故圆的方程为，
即，
故的圆心为，
所以．
故选：．
设圆的方程为，将对应的三点代入该方程，即可求解．
本题考查圆的一般式方程，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：，
则，即，
，
则．
故选：．
根据已知条件，结合三角恒等变换公式，即可求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：令，，
则有，
又因为，
所以，故A错误；
令，
则有，
又因为，
所以，故B错误；
令，
则有，
所以，
两式相加得：，
即，
，
，
所以函数的周期为，
所以，
在中，令，
则有，
所以，故C正确；
令，
则有，
所以，
所以，
，
，故D错误．
故选：．
令，，可得，即可判断；
令，结合，可得，即可判断；
令，可得函数的周期为，求得，即可判断；
令，可得，从而可求得，即可判断．
本题考查了利用赋值示求抽象函数的值，考查了求抽象函数的周期，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由，得，
令，得；令，得或，
则函数在上单调递减，在，上单调递增，
且，
所以当时，，故函数在上只有一个零点，故A正确；
B.由选项A的可知，函数的极小值为，故B错误；
C.令，定义域为，则，
所以函数为奇函数，对称中心为，
将函数图象向下平移个长度单位，得函数的图象，
所以的对称中心为，故C正确；
D.由选项A知，，令，又，
所以切线方程为，即，
所以直线是曲线在点处的切线，故D正确．
故选：．
利用导数讨论函数的单调性，判断，结合判断；证明函数为奇函数，结合函数平移变换判断；根据导数的几何意义求出曲线的切线方程判断．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究函数的切线方程，函数的对称中心，考查了转化思想，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：把函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象；
对于：函数的最小正周期为，故A错误；
对于：当时，，故B正确；
对于：当时，，故函数在该区间上单调递增，故C正确；
对于：当时，，故D正确．
故选：．
首先求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：函数的关系式的求法，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，因为直三棱柱的体积为，且，
所以，即，解得，即选项A正确；
选项B，由选项A可知，，，
所以，
由直三棱柱的性质知，平面，
因为平面，所以，
又，且，、平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，即，解得，
所以点到平面的距离为，即选项B错误；
选项C，因为平面，，
所以直三棱柱的外接球就是以，，为邻边构成的长方体的外接球，
所以，其中为外接球的半径，
所以，即选项C正确；
选项D，因为，与的共线，
所以或其补角就是直线与所成角，
由选项B知，平面，
因为平面，所以，
又，所以，
所以，所以，
所以直线与所成角的余弦值为，即选项D错误．
故选：．
选项A，由棱柱的体积公式即可得解；选项B，利用等体积法求解即可；选项C，采用补形法求外接球的半径；选项D，利用平移的思想找出异面直线所成的角，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握等体积法，异面直线夹角的求法，外接球半径的求法等是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A：若直线与的倾斜角互补，，
不妨设中点为，
此时垂直平分，
所以，
因为点为第一象限上一点，
所以，
解得，
此时，
则直线的斜率，故选项A正确；
对于选项B：由选项A可知，直线的斜率，
所以直线的方程为，
联立，消去并整理得，
因为，
由韦达定理得，
解得，
所以，
此时，故选项B错误；
对于选项C：由选项A知，
因为直线与的倾斜角互补，
又，
所以直线的斜率，
此时直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以线段中点的纵坐标为，故选项C正确；
对于选项D：由选项C知，
所以，
因为，，
所以，故选项D正确．
故选：．
由题意，根据直线与的倾斜角互补，即垂直平分，求出点的坐标，结合点的坐标即可判断选项A；将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理以及焦半径公式即可判断选项B；将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理以及中点坐标公式即可判断选项C，进而可推出点的坐标，再判断选项D即可．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为随机变量，则该曲线对称轴为，
又，，
则．
故答案为：．
根据正态分布曲线的对称性可解．
本题考查正态分布曲线的对称性，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，，，
所以．
故答案为：．
根据向量的模及夹角直接进行数量积运算即可．
本题考查平面向量数量积运算，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：等比数列的前项和为，，
，
解得，，
则．
故答案为：．
利用等比数列的通项公式列方程组，求出首项和公比，由此能求出结果．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：令椭圆：的半焦距为，
设，则，由点在轴上，，
得，而，
，，
，解得舍去，或，
在中，，
在中，由余弦定理得，，
整理得，，即．
故答案为：．
设，利用椭圆定义及对称性求出出，，，结合勾股定理，可得，再利用余弦定理求解即可．
本题考查直线与椭圆的综合，椭圆的性质和余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：由，
时，，
相减可得：，
化为：，
，
，时也成立．
，
数列的前项和，
，
相减可得：，
化为：．
【解析】由，时，，相减化为：，利用即可得出结论．
，利用错位相减法即可得出数列的前项和．
本题考查了数列递推关系、累乘求积、错位相减法、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：由已知，所以，
又，联立可得；
因为：：，且，
所以，
两边平方得
，将代入整理后得：
，解得，结合得．
【解析】结合，利用余弦定理得，再结合已知，可得的值；
结合平面向量的线性运算，将，两边平方可得结论．
本题考查余弦定理的运用、数量积的运算等，同时考查了方程思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：证明：连接并延长交于，连接并延长交于，连接，
在三角形中，为中点，为中点，
，
在三角形中，，
，又面，面，
面；
如图，由知，，分别为，的中点，平面即为平面，
连接，，，又平面平面，
且平面，平面平面，
平面，则取的中点，连接，则，且，
平面，过作于点，连接，
则由三垂线定理可知平面与平面所成的平面角为，
又根据题意可知为腰为的等腰直角三角形，为中点，
，，，又在中，，
，
，即到底面的距离为，
棱锥的体积为．
【解析】根据线面平行的判定定理，即可证明；
根据面面角的概念，三棱锥的体积公式，即可求解．
本题考查线面平行的证明，面面角的概念，面面垂直的性质，三棱锥的体积的求解，属中档题．
20.【答案】解：单循环赛共赛场，故可能取值为，，，，
则，
，
，
，
所以；
证明：当乙丙同积分式，说明乙丙各胜场，各平局场，而甲负场得分．
若乙丙加赛场后乙胜，此时乙获得小组第一的概率为；
若乙丙加赛场后乙胜，说明加赛的第场平局，第场乙胜，此时；
若乙丙加赛场后乙胜，说明加赛的前场平局，第场乙胜，此时；
若乙丙加赛场后乙胜，说明加赛的前场平局，第场乙胜，此时；
若乙丙加赛场后乙胜，说明加赛的前场平局，第场乙胜，此时，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，即证．
【解析】由题意可知可能取值为，，，，利用独立事件的乘法公式分别求出对应的概率，结合数学期望的计算公式求解即可；
根据题意依次分析乙丙加赛场、场、、场后乙胜的情况，表示出对应的概率，结合等比数列的概念和等比数列前项求和公式计算，即可证明．
本题考查离散型随机变量的期望，考查等比数列的应用，是难题．
21.【答案】解解：因为点在双曲线上，则，又因为，则，
又因为双曲线的渐近线方程为，则，
因此，双曲线的方程为；
证明：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
此时，直线与双曲线相切，不合乎题意；
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
设点、，
联立，消去化简得：，
由题意可知，解得：，
由韦达定理可得：，
直线的方程为：，
在直线的方程中，令，得，即点，
同理可得点，
因为
，
所以，线段的中点坐标为，即线段的中点为定点．
【解析】根据点在双曲线上可得出的值，结合双曲线的渐近线方程可得出的值，由此可得出双曲线的方程；
分析可知，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，写出直线、的方程，进而可求得点、的坐标，即可求得线段中点的坐标．
本题考查双曲线的性质及圆锥曲线中直线过定点的问题，属于中档题．
22.【答案】证明：记，所以，
因此在上单调递减，故，
故．
解：，
则，
由于在存在极值点，
所以有正的实数根，
即方程有正的实数根，
令，则，且，
故变形为，
进而等价于有正的实数根，
令，，
则，
令，则，
当时，则，
所以在单调递增，故，进而，
此时在单调递增，故，此时不符合要求，
当时，则，所以在单调递减，
故，进而，此时在单调递减，故，此时不符合要求，
当时，则在单调递增，由于，
当时，，故存在，使得，
故当，，单调递减，当，，单调递增，
又当时，，
因此存在，使得，，单调递减，
当，，单调递增，故当是的零点，
综上可得，即的取值范围是．
【解析】构造函数，利用导数求单调性，即可求证；
将问题转化为有正的实数根，利用换元法将问题进一步等价于有正的实数根，构造函数，即可求导分类讨论求解．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．
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