2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.3 相似多边形 同步练习
一、选择题：
1．下列各组图形中，两个图形形状不一定相同的是（ ）
A．两个等边三角形
B．有一个角是35°的两个等腰三角形
C．两个正方形
D．两个圆
2．下列各组图形中相似的图形是（ ）
A．对应边成比例的多边形
B．四个角都对应相等的两个梯形
C．有一个角相等的两个菱形
D．各边对应成比例的两个平行四边形
3．用一个2倍放大镜照一个△ABC，下面说法中错误的是（ ）
A．△ABC放大后，是原来的2倍
B．△ABC放大后，各边长是原来的2倍
C．△ABC放大后，周长是原来的2倍
D．△ABC放大后，面积是原来的4倍
4．我国国土面积约为960万平方千米，画在比例尺为1：1000万的地图上的面积约是（ ）
A．960平方千米 B．960平方米 C．960平方分米 D．960平方厘米
5．（2016九上·宝丰期末）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（ ）
A．2：1 B． ：1 C．3： D．3：2
二、填空题：
6．若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的周长比是 ．
7．若两个相似多边形的面积比是16：25，则它们的周长比等于 ．
8．两个相似多边形的最长边分别为10cm和20cm，其中一个多边形的最短边为5cm，则另一个多边形的最短边为 .
9．如图，在长8cm，宽4cm的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为 ．
10．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，若四边形AEFB与四边形AB
CD相似，AB=4，则AD的长度为 ．
三、解答题
11．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度．
12．在长为10，宽为8的矩形ABCD中，点E在长AD上，F在BC上，若所得到的矩形EFCD∽矩形ABCD，试问AE之长是多少？请说明理由。
13．对应角相等的两个多边形一定是相似多边形吗？两个多边形的对应边的比值都相等，这样的两个多边形也是相似多边形吗？试分别举例说明。
14．两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是 ，则这两个五边形面积各是多少 ？
15．我们通常用到的一种复印纸，整张称为 纸，对折一分为二裁开成为 纸，再一分为二成为 纸，…，它们都是相似的矩形．求这种纸的长与宽的比值（精确到千分位）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的判定；
B、不相似，因为没有指明该角是顶角还是底角，若一个顶角和一个底角相等则不一定相似；
C、相似，因为其四个角均相等，且对应边成比例，符合相似的条件；
D、相似，因为圆是以定点为圆心，定长为半径所组成的图形，符合相似的条件；
故答案为：B
【分析】根据相似图形的性质判断。
2．【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、对应边成比例的多边形对应角不一定相等（如菱形），所以不一定是相似多边形，故本选项错误；
B、四个角都对应相等的两个梯形对应边不一定成比例，所以不一定是相似多边形，故本选项错误；
C、有一个角相等的两个菱形，对应边成比例，并且对应角相等，所以一定是相似多边形，故本选项正确；
D、各边对应成比例的两个平行四边形对应角不一定相等，所以不一定是相似多边形，故本选项错误．
故选C．
【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，并且对应角相等对各选项分析判断后利用排除法求解．
3．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵放大前后的三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍．
故本题选A．
【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．
4．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】解答： ，
设画在地图上的面积约为x平方厘米，则
，
解得x=960．
则画在地图上的面积约为960平方厘米．
故选D．
分析：相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此求解，注意统一单位．
5．【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF= AB= a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴ = ，即 = ，
∴（ ）2=2，
∴ = ．
故答案为：B．
【分析】根据题意求出AF的长，根据矩形AFED与矩形ABCD相似，得出对应边成比例即可求得结果。注意这两个矩形相似的对应边，AD的对应边不是AD，AB的对应边不是AF。
6．【答案】5：2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的对应边的比是5：2，
∴这两个多边形的周长比是5：2．
故答案为：5：2
【分析】利用相似多边形的性质：相似多边形的周长比等于相似比，可求解。
7．【答案】4：5
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵两个相似多边形面积的比为16：25
∴两个相似多边形的相似比等于4：5，
∴这两个相似多边形周长的比是4：5.
故答案为：4：5.
【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形的面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比可求解。
8．【答案】10cm或2.5cm
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设最短边为x，由题意得，10：20=5：x，或10：20=x：5，∴x=10或2.5．故答案为： 2.5cm或10cm．
【分析】设最短边为x，根据相似多边形的性质，相似多边形的对应边成比例可得关于x的方程，解方程即可求解。
9．【答案】8
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设留下的矩形的宽为x，
∵留下的矩形与矩形相似，
∴x：4=4：8，
解得，x=2，
∴留下的矩形的面积为：2×4=8(cm2).
故答案为：8.
【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形的对应边成比例可得比例式求解留下的矩形的宽，则留下的矩形的面积可求解。
10．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设AE=x，则AD=2x，
∵四边形ABCD与矩四边形ABFE是相似的，
∴AE：AB=AB：AD，
∴AB2=2x2，
∴AB= x=4，
∴x=2 ，
∴AD=4 ，
故答案为：4 .
【分析】由题意可设设AE=x，则AD=2x，根据相似多边形的性质，相似多边形的对应边成比例可得AE：AB=AB：AD，代入可求得x的值，则AD的值可求解。
11．【答案】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°， ， ，∴ ，∴EH=28（cm）．答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等、对应边成比例可得∠α=∠B，∠D=∠H， 根据四边形的内角和为 360 ° 可求得∠ β 的度数；EH：AD=HG：DC，将已知的边代入计算即可求解。
12．【答案】解：AE＝3.6．理由如下：
∵矩形EFCD∽矩形ADCB，∴ED：EF=AB：AD，得（10-AE）：8=8：10，10-AE＝6.4，则AE＝10－6.4＝3.6．
【知识点】相似图形
【解析】【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形的对应边成比例可得ED：EF=AB：AD，将已知条件代入可得关于AE的方程，解方程即可求解。
13．【答案】解：对应角相等的两个多边形未必相似，如矩形和正方形；两个多边形的对应边成比例，这两个多边形未必相似，如；菱形和正方形．
【知识点】相似图形
【解析】【分析】对应角相等的两个多边形不一定相似，如矩形；对应边成比例的两个多边形不一定相似，如菱形。
14．【答案】解：设较小五边形与较大五边形的面积分别是 ， ．
则 ，因而 ．
根据面积之和是 ，得到 ，
解得： ，
则 ．
即较小五边形与较大五边形的面积分别是 ，
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】设较小五边形与较大五边形的面积分别是 x，y。根据相似多边形的面积的比等于相似比可求得x与y之间的关系，x =y，再根据面积之和为78可得x与y的关系，联立解方程组即可求解。
15．【答案】解：设 纸的长为a，宽为b，A2纸的长为b，宽为 ，
∵ 纸与 纸是相似的矩形，
∴ 、 纸的长与宽对应边的比相等，
即a：b=b： ，
∴ = ≈1.414.
答：这种纸的长与宽的比值是1.414.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据相似多边形的对应边成比例可得比例式求解。
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一、选择题：
1．下列各组图形中，两个图形形状不一定相同的是（ ）
A．两个等边三角形
B．有一个角是35°的两个等腰三角形
C．两个正方形
D．两个圆
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的判定；
B、不相似，因为没有指明该角是顶角还是底角，若一个顶角和一个底角相等则不一定相似；
C、相似，因为其四个角均相等，且对应边成比例，符合相似的条件；
D、相似，因为圆是以定点为圆心，定长为半径所组成的图形，符合相似的条件；
故答案为：B
【分析】根据相似图形的性质判断。
2．下列各组图形中相似的图形是（ ）
A．对应边成比例的多边形
B．四个角都对应相等的两个梯形
C．有一个角相等的两个菱形
D．各边对应成比例的两个平行四边形
【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、对应边成比例的多边形对应角不一定相等（如菱形），所以不一定是相似多边形，故本选项错误；
B、四个角都对应相等的两个梯形对应边不一定成比例，所以不一定是相似多边形，故本选项错误；
C、有一个角相等的两个菱形，对应边成比例，并且对应角相等，所以一定是相似多边形，故本选项正确；
D、各边对应成比例的两个平行四边形对应角不一定相等，所以不一定是相似多边形，故本选项错误．
故选C．
【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，并且对应角相等对各选项分析判断后利用排除法求解．
3．用一个2倍放大镜照一个△ABC，下面说法中错误的是（ ）
A．△ABC放大后，是原来的2倍
B．△ABC放大后，各边长是原来的2倍
C．△ABC放大后，周长是原来的2倍
D．△ABC放大后，面积是原来的4倍
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵放大前后的三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍．
故本题选A．
【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．
4．我国国土面积约为960万平方千米，画在比例尺为1：1000万的地图上的面积约是（ ）
A．960平方千米 B．960平方米 C．960平方分米 D．960平方厘米
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】解答： ，
设画在地图上的面积约为x平方厘米，则
，
解得x=960．
则画在地图上的面积约为960平方厘米．
故选D．
分析：相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此求解，注意统一单位．
5．（2016九上·宝丰期末）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（ ）
A．2：1 B． ：1 C．3： D．3：2
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF= AB= a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴ = ，即 = ，
∴（ ）2=2，
∴ = ．
故答案为：B．
【分析】根据题意求出AF的长，根据矩形AFED与矩形ABCD相似，得出对应边成比例即可求得结果。注意这两个矩形相似的对应边，AD的对应边不是AD，AB的对应边不是AF。
二、填空题：
6．若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的周长比是 ．
【答案】5：2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的对应边的比是5：2，
∴这两个多边形的周长比是5：2．
故答案为：5：2
【分析】利用相似多边形的性质：相似多边形的周长比等于相似比，可求解。
7．若两个相似多边形的面积比是16：25，则它们的周长比等于 ．
【答案】4：5
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵两个相似多边形面积的比为16：25
∴两个相似多边形的相似比等于4：5，
∴这两个相似多边形周长的比是4：5.
故答案为：4：5.
【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形的面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比可求解。
8．两个相似多边形的最长边分别为10cm和20cm，其中一个多边形的最短边为5cm，则另一个多边形的最短边为 .
【答案】10cm或2.5cm
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设最短边为x，由题意得，10：20=5：x，或10：20=x：5，∴x=10或2.5．故答案为： 2.5cm或10cm．
【分析】设最短边为x，根据相似多边形的性质，相似多边形的对应边成比例可得关于x的方程，解方程即可求解。
9．如图，在长8cm，宽4cm的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为 ．
【答案】8
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设留下的矩形的宽为x，
∵留下的矩形与矩形相似，
∴x：4=4：8，
解得，x=2，
∴留下的矩形的面积为：2×4=8(cm2).
故答案为：8.
【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形的对应边成比例可得比例式求解留下的矩形的宽，则留下的矩形的面积可求解。
10．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，若四边形AEFB与四边形AB
CD相似，AB=4，则AD的长度为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设AE=x，则AD=2x，
∵四边形ABCD与矩四边形ABFE是相似的，
∴AE：AB=AB：AD，
∴AB2=2x2，
∴AB= x=4，
∴x=2 ，
∴AD=4 ，
故答案为：4 .
【分析】由题意可设设AE=x，则AD=2x，根据相似多边形的性质，相似多边形的对应边成比例可得AE：AB=AB：AD，代入可求得x的值，则AD的值可求解。
三、解答题
11．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度．
【答案】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°， ， ，∴ ，∴EH=28（cm）．答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等、对应边成比例可得∠α=∠B，∠D=∠H， 根据四边形的内角和为 360 ° 可求得∠ β 的度数；EH：AD=HG：DC，将已知的边代入计算即可求解。
12．在长为10，宽为8的矩形ABCD中，点E在长AD上，F在BC上，若所得到的矩形EFCD∽矩形ABCD，试问AE之长是多少？请说明理由。
【答案】解：AE＝3.6．理由如下：
∵矩形EFCD∽矩形ADCB，∴ED：EF=AB：AD，得（10-AE）：8=8：10，10-AE＝6.4，则AE＝10－6.4＝3.6．
【知识点】相似图形
【解析】【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形的对应边成比例可得ED：EF=AB：AD，将已知条件代入可得关于AE的方程，解方程即可求解。
13．对应角相等的两个多边形一定是相似多边形吗？两个多边形的对应边的比值都相等，这样的两个多边形也是相似多边形吗？试分别举例说明。
【答案】解：对应角相等的两个多边形未必相似，如矩形和正方形；两个多边形的对应边成比例，这两个多边形未必相似，如；菱形和正方形．
【知识点】相似图形
【解析】【分析】对应角相等的两个多边形不一定相似，如矩形；对应边成比例的两个多边形不一定相似，如菱形。
14．两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是 ，则这两个五边形面积各是多少 ？
【答案】解：设较小五边形与较大五边形的面积分别是 ， ．
则 ，因而 ．
根据面积之和是 ，得到 ，
解得： ，
则 ．
即较小五边形与较大五边形的面积分别是 ，
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】设较小五边形与较大五边形的面积分别是 x，y。根据相似多边形的面积的比等于相似比可求得x与y之间的关系，x =y，再根据面积之和为78可得x与y的关系，联立解方程组即可求解。
15．我们通常用到的一种复印纸，整张称为 纸，对折一分为二裁开成为 纸，再一分为二成为 纸，…，它们都是相似的矩形．求这种纸的长与宽的比值（精确到千分位）．
【答案】解：设 纸的长为a，宽为b，A2纸的长为b，宽为 ，
∵ 纸与 纸是相似的矩形，
∴ 、 纸的长与宽对应边的比相等，
即a：b=b： ，
∴ = ≈1.414.
答：这种纸的长与宽的比值是1.414.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据相似多边形的对应边成比例可得比例式求解。
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