专题3.3 函数的基本性质-重难点题型精讲
1．函数的单调性
(1)单调递增、单调递减：
(2)函数的单调性及单调区间：
①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.
②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单
调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
(3)常见函数的单调性：
(4)单调函数的运算性质：
若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的
单调性.
③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，
f(x)与具有相同的单调性.
④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性.
⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：
⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x) g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x) g(x)在区间D上单调递减(增).
(5)复合函数的单调性判定：
对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.
2．函数的最大（小）值
(1)函数的最大（小）值：
(2)利用函数单调性求最值的常用结论：
①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；
②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.
3．函数的奇偶性
(1)定义：
(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）
①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.
(3)函数图象的对称性：
①图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.
②图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【方法点拨】
(1)定义法：利用函数单调性的定义讨论函数的单调性或求单调区间.
(2)图象法：根据函数解析式画出函数图象，通过函数图象研究单调性.
注：①复合函数单调性的判断方法：根据复合函数的单调性满足“同增异减”，可判断复合函数的单调性；
②抽象函数单调性的判断方法：一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.
【例1】（2021秋 邗江区期中）下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（ ）
A． B．y＝2x+1 C．y＝x2 D．y＝x0
【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．
【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y，为反比例函数，在（﹣∞，0）上为增函数，不符合题意；
对于B，y＝2x+1，为一次函数，在（﹣∞，0）上为增函数，不符合题意；
对于C，y＝x2，为二次函数，在（﹣∞，0）上为减函数，符合题意；
对于D，y＝x0＝1，（x≠0），在（﹣∞，0）上不是减函数，不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（2022春 天津期末）下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C． D．f（x）＝﹣|x|
【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝3﹣x为一次函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；
对于B，f（x）＝x2﹣3x为二次函数，在（0，）上为减函数，不符合题意；
对于C，f（x）为反比例函数，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；
对于D，f（x）＝﹣|x|，当x＞0时，f（x）＝﹣x，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】（2020秋 福田区校级期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣3]
【解题思路】确定函数的定义域，考虑内外函数的单调性，运用复合函数的单调性：同增异减，即可得到结论．
【解答过程】解：由题意，x2+3x≥0，可得x≥0或x≤﹣3，
函数的定义域为（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞），
令t＝x2+3x，则y在[0，+∞）上单调递增，
∵t＝x2+3x，在（﹣∞，﹣3]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，
∴函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣3]，
故选：D．
【变式1-3】（2021 白山开学）函数的单调增区间为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞）
【解题思路】先分离常数，再结合复合函数的单调性求解即可．
【解答过程】解：∵函数1，定义域为{x|x≠0}，
且y的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
故函数的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
故选：D．
【题型2 利用函数的单调性求参数】
【方法点拨】
(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
(2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.
需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.
【例2】（2021 河北区学业考试）已知函数f（x）＝x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，10]∪[40，+∞） B．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞）
C．[10，+∞） D．[40，+∞）
【解题思路】根据题意，求出二次函数f（x）＝x2﹣kx﹣8的对称轴，结合函数单调性的定义可得5或20，再求出k的取值范围即可．
【解答过程】解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣kx﹣8为二次函数，其开口向上，对称轴为x，
若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上具有单调性，
则5或20，解得k≤10或k≥40，
所以实数k的取值范围是（﹣∞，10]∪[40，+∞）；
故选：A．
【变式2-1】（2021秋 怀仁市校级月考）若函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]
【解题思路】根据题意，求出二次函数的对称轴，结合二次函数的性质可得﹣m≤2，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，函数y＝x2+2mx+1为开口向上的抛物线，对称轴为x＝﹣m，
函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，
则﹣m≤2，解得m≥﹣2，即m的取值范围为[﹣2，+∞）；
故选：A．
【变式2-2】（2021秋 河北期中）若函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|在区间[﹣3，0]上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，0）∪（0，9） B．（﹣9，0）∪（0，3）
C．（﹣9，3） D．（﹣3，9）
【解题思路】化简f（x）的解析式，利用二次函数的性质得出f（x）的单调性，从而得出单调区间端点与区间[0，3]的关系，从而得出a的范围．
【解答过程】解：f（x）．
（1）若a＝0，当x＜0时，f（x）＝x2在[﹣3，0]上单调递减，不符合题意；
（2）若a＞0，在f（x）在（﹣∞，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，
若f（x）在[﹣3，0]上不是单调函数，则﹣3＜﹣a＜0，即0＜a＜3；
（3）若a＜0，则f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
若f（x）在[﹣3，0]上不是单调函数，则﹣3，即﹣9＜a＜0．
综上，a的取值范围是（﹣9，0）∪（0，3）．
故选：B．
【变式2-3】（2022 湖南模拟）定义在R的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞）
C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【解题思路】根据题意，分析易得f（x）在R上为减函数，求出g（x）的解析式，分析可得g（x）在[﹣1，1]上为减函数，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，函数f（x）＝﹣x3+m，其定义域为R，则R上f（x）为减函数，
g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上为减函数，
必有x1，解可得k≥2，
即k的取值范围为[2，+∞）；
故选：B．
【题型3 利用函数的单调性比较大小、解不等式】
【方法点拨】
(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上.
(2)解关于的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可.
【例3】（2021秋 福田区校级期末）已知函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），则实数a的取值范围是（ ）
A． B．[2，6）
C． D．（0，6）
【解题思路】由函数的定义域和单调性可得2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，再求出a的取值范围．
【解答过程】解：函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，
若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），则2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，
解得0＜a或2≤a＜6，
所以实数a的取值范围为（0，]∪[2，6），
故选：C．
【变式3-1】（2020秋 泸县校级月考）已知定义在[0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（2a﹣1）＞f（），则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，由函数的定义域和单调性，分析可得0≤2a﹣1，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，f（x）是定义在[0，+∞）上的单调减函数，
若f（2a﹣1）＞f（），则有0≤2a﹣1，解可得a，
即a的取值范围为[，），
故选：D．
【变式3-2】（2021秋 金凤区校级月考）已知函数f（x）是区间（0，+∞）内的减函数，则f（a2﹣a+1）与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．不确定
【解题思路】由已知结合二次函数的性质及函数的单调性即可比较大小．
【解答过程】解：因为a2﹣a+1＝（a）2，
又f（x）是区间（0，+∞）内的减函数，
所以f（a2﹣a+1）．
故选：B．
【变式3-3】（2021秋 滨海新区期中）定义在R上函数y＝f（x）满足以下条件：①函数y＝f（x）图像关于x＝1轴对称，②对任意x1，x2∈（﹣∞，1]，当x1≠x2时都有0，则f（0），，f（3）的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小．
【解答过程】解：∵函数y＝f（x）图像关于x＝1轴对称，且对任意x1，x2∈（﹣∞，1]，当x1≠x2时都有0，
∴f（x）在（﹣∞，1]，上单调递减，在[1，+∞）单调递增，
f（0）＝f（2），
∴f（3）＞f（0）＞f（）．
故选：B．
【题型4 求函数的最值】
【方法点拨】
(1)配方法，主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；
(2)换元法，用换元法时一定要注意新元的取值范围；
(3)数形结合法，对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助图象直观求出；
(4)利用函数的单调性，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.
【例4】（2021 白山开学）函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（ ）
A． B．2，5 C．1，2 D．
【解题思路】先简单判断函数的单调性，进而求解结论．
【解答过程】解：∵y＝x2+1在（0，+∞）上单调递增，且y＞1，
∴在区间[1，2]上单调递减，
∴函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是f（1），f（2），
故选：A．
【变式4-1】（2022春 铜鼓县校级期末）若函数，则函数g（x）＝f（x）﹣4x的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【解题思路】由已知求得函数解析式，代入g（x）＝f（x）﹣4x，整理后再由配方法求最值．
【解答过程】解：∵，
令t，则t≠1，
∴f（x）＝x2（x≠1）．
从而g（x）＝f（x）﹣4x＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
当x＝2时，g（x）取得最小值，且最小值为﹣4．
故选：D．
【变式4-2】（2022春 阎良区期末）设函数在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m＝（ ）
A．4 B．6 C．10 D．24
【解题思路】将函数f（x）分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解．
【解答过程】解：因为，
所以f（x）在[3，4]上是减函数．
所以m＝f（4）＝4，M＝f（3）＝6．
所以M+m＝6+4＝10．
故选：C．
【变式4-3】（2021秋 杭州期末）已知，设f（x）＝min{x﹣2，﹣x2+4x﹣2}，则函数f（x）的最大值是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
【解题思路】由题意可得函数f（x）的解析式，作出图象，数形结合得答案．
【解答过程】解：由x﹣2＝﹣x2+4x﹣2，得x2﹣3x＝0，解得x＝0或x＝3．
∴当0≤x≤3时，x﹣2≤﹣x2+4x﹣2，当x＜0或x＞3时，x﹣2＞﹣x2+4x﹣2，
则f（x）＝min{x﹣2，﹣x2+4x﹣2}．
作出f（x）的图象如图所示，
由图可知，当x＝3时，函数f（x）取得最大值为1．
故选：B．
【题型5 由函数的最值求参数】
【方法点拨】
在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解.
若对于区间D上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>；若对于区间D上的任意x，a；若在区间D上存在x使a>f(x)成立，则a>；若在区间D上存在x使a【例5】（2022春 爱民区校级期末）若函数在区间[0，1]上的最大值为，则实数m＝（ ）
A．3 B． C．2 D．或3
【解题思路】将函数化为f（x）＝2，x∈[0，1]，讨论m＝2，m＞2和m＜2时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值．
【解答过程】解：函数，即f（x）＝2，x∈[0，1]，
当m＝2时，f（x）＝2不成立；
当m﹣2＞0，即m＞2时，f（x）在[0，1]递减，可得f（0）为最大值，
即f（0），解得m，成立；
当m﹣2＜0，即m＜2时，f（x）在[0，1]递增，可得f（1）为最大值，
即f（1），解得m＝3，不成立；
综上可得m．
故选：B．
【变式5-1】（2021秋 香坊区校级期中）已知函数f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先将函数的图象进行左移，使函数的关系式变得简单，进一步利用分类讨论思想的应用去掉绝对值，进一步利用函数的值域建立关系式，最后求出参数a的取值范围．
【解答过程】解：将函数f（x）＝|x2﹣2x+a|+a＝|（x﹣1）2+（a﹣1）|+a的图象向左平移1个单位，得到函数g（x）＝|x2+a﹣1|+a，
则由﹣1≤x≤1，故0≤x2≤1，
①当a﹣1≥0时，即a≥1时，g（x）＝x2+a﹣1+a＝x2+2a﹣1≥2a﹣1≥1，此时函数g（x）的最小值为1，不合题意；
②当a﹣1≤﹣1时，即a≤0时，g（x）＝﹣（x2+a﹣1+a＝﹣x2+1≤1，符合题意；故a≤0；
③当﹣1＜a﹣1＜0，即0＜a＜1时，g（x），化简得：．
又由0≤x2≤1﹣a，根据二次函数的性质，g（x）的值域满足1﹣（1﹣a）2≤g（x）≤1，
当1﹣a＜x2≤1时，（1﹣a）2+2a﹣1≤g（x）≤2a，必有2a≤1，可得；
综上所述：实数a的取值范围为（．
故选：B．
【变式5-2】（2021秋 浉河区校级期末）函数f（x）＝x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值为，最大值为2，则n﹣m的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【解题思路】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x的取值，然后利用数形结合即可得到结论．
【解答过程】解：当x≥0时，f（x）＝x（|x|﹣1）＝x2﹣x＝（x）2，
当x＜0时，f（x）＝x（|x|﹣1）＝﹣x2﹣x＝﹣（x）2，
作出函数f（x）的图象如图：
当x≥0时，由f（x）＝x2﹣x＝2，解得x＝2．
当x时，f（）．
当x＜0时，由f（x）＝）＝﹣x2﹣x．
即4x2+4x﹣1＝0，解得x，
∴此时x，
∵[m，n]上的最小值为，最大值为2，
∴n＝2，，
∴n﹣m的最大值为2，
故选：B．
【变式5-3】（2021秋 松山区校级月考）若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且M+N＝4，则实数a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．1
【解题思路】根据函数奇偶性求解即可．
【解答过程】解：a，
令g（x）＝f（x）﹣a，
g（﹣x）g（x），
∴g（x）为奇函数，
∴g（x）max+g（x）min＝0，
∴M+N＝g（x）max+a+g（x）min+a＝4，
∴a＝2．
故选：C．
【题型6 函数奇偶性的判断】
【方法点拨】
(1)定义法：先求函数的定义域，再进行函数奇偶性的判断.
(2)图象法：根据解析式画出函数图象，根据函数的对称性进行函数奇偶性的判断.
(3)性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断.
【例6】（2021秋 海安市校级月考）设函数f（x），则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f（x﹣2）﹣1 B．f（x﹣2）+1 C．f（x+2）﹣1 D．f（x+2）+1
【解题思路】化简函数f（x）＝1，分别写出每个选项对应的解析式，利用奇函数的定义判断．
【解答过程】解：由题意得，f（x）＝1．
对A，f（x﹣2）﹣1是奇函数；
对B，f（x﹣）+1＝2，关于（0，2）对称，不是奇函数；
对C，f（x+2）﹣1，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不关于原点对称，不是奇函数；
对D，f（x+2）+1＝2，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不关于原点对称，不是奇函数；
故选：A．
【变式6-1】（2022春 杨陵区校级期末）若函数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，则g（x）＝2ax3+bx2+9x是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
【解题思路】根据题意，由二次函数的性质求出b的值，即可得g（x）的解析式，分析其奇偶性可得答案．
【解答过程】解：根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，而f（x）为二次函数，
则有b＝0，
则g（x）＝2ax3+9x，其定义域为R，有g（﹣x）＝﹣g（x），g（x）为奇函数，
故选：A．
【变式6-2】（2022春 祁东县期末）设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A．f（x+1） B．f（x）+1 C．f（x﹣1） D．f（x）﹣1
【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，，
由此分析选项：
对于A，，是偶函数，符合题意；
对于B，f（x）+11，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；
对于C，f（x﹣1），既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；
对于D，f（x）﹣11，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；
故选：A．
【变式6-3】（2022春 云浮期末）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）+g（x）为R上的奇函数
B．f（x）﹣g（x）为R上的奇函数
C．为R上的偶函数
D．|f（x）g（x）|为R上的偶函数
【解题思路】由已知结合函数奇偶性的定义即可判断．
【解答过程】解：因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
所以f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）≠﹣[f（x）+g（x）]，
故f（x）+g（x）为非奇非偶函数，A错误；
同理，f（x）﹣g（x）为非奇非偶函数，B错误；
设F（x），则F（﹣x）F（x），
所以F（x）为奇函数，C错误；
设函数H（x）＝|f（x）g（x）|，
因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
则由函数奇偶性的定义得，H（﹣x）＝|f（﹣x）g（﹣x）|＝|﹣f（x）g（x）|＝|f（x）g（x）|＝H（x），D正确．
故选：D．
【题型7 函数奇偶性的应用】
【方法点拨】
(1)求函数值、函数解析式：利用函数的奇偶性，进行转化求解.
(2)求参数值：①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.
②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.
【例7】（2022春 北京期末）f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由f（1+x）﹣f（x）＝0可得函数的周期为1，然后利用周期和奇函数的性质可求得结果．
【解答过程】解：因为f（1+x）﹣f（x）＝0，所以f（1+x）＝f（x），
所以函数的周期为1，
因为f（x）是定义域为R的奇函数，，
所以，
故选：C．
【变式7-1】（2022 成都开学）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当1≤x≤2时，f（x）＝x﹣1，则f（）的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，先分析函数的周期性，结合函数的解析式分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），则有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），变形可得f（x+2）＝﹣f（x），
则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），函数f（x）是周期为4的周期函数，
则f（）＝f（）＝﹣f（），
当1≤x≤2时，f（x）＝x﹣1，f（），
故f（），
故选：D．
【变式7-2】（2022春 长春期末）设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由已知可得出f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），f（﹣x+2）＝f（x+2），分别令x＝1、x＝3，结合已知条件可得出关于a、b的方程组，解出a、b的值，即可得出函数f（x）在[﹣1，2]上的解析式，再利用函数的对称性求得结果．
【解答过程】解：由f（x﹣1）是奇函数，得f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），①
由f（x+2）是偶函数，得f（﹣x+2）＝f（x+2），②
令x＝1，由①得f（﹣2）＝﹣f（0）＝﹣b，由②得：f（1）＝f（3）＝a+b，
令x＝3，由①得：f（﹣4）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，
由f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，得，则a＝1，b＝﹣1，
∴x∈[﹣1，2]时，f（x）＝x2﹣1．
则f（）＝f（）＝f（）＝f（）＝f（）
＝﹣f（）＝﹣f（）＝﹣[1]．
故选：A．
【变式7-3】（2022春 辽宁期末）设f（x）的定义域为R，f（x﹣2）是奇函数，f（x﹣1）是偶函数，则f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝（ ）
A．﹣4 B．0 C．4 D．不确定
【解题思路】根据给定条件，可得函数f（x）的性质f（x﹣2）+f（x）＝0，且f（﹣2）＝0，借助此性质计算作答．
【解答过程】解：R上的函数f（x），由f（x﹣2）是奇函数，得f（﹣x﹣2）＝﹣f（x﹣2），f（﹣2）＝0，
由f（x﹣1）是偶函数，得f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），即f（﹣x﹣2）＝f（x），于是得f（x﹣2）+f（x）＝0，
因此f（﹣3）+f（﹣1）＝0，f（1）+f（3）＝0，由f（x﹣）+f（x）＝0得f（x）＝﹣f（x﹣2），
则f（4）＝﹣f（2）＝f（0）＝﹣f（﹣2）＝f（﹣4）＝0，
所以f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0．
故选：B．
【题型8 函数图象的识别、判断】
【方法点拨】
①排除法：利用特殊点的值来排除；
②利用函数的奇偶性、单调性来判断.
【例8】下列四个函数图象中，当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是应是（﹣∞，0）上的减函数，逐个观察图象，得出结论即可．
【解答过程】解：当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是应是（﹣∞，0）上的减函数，
对于A，在（﹣∞，0）上是增函数；对于B，在（﹣∞，0）上是增函数；
对于C，在（﹣∞，0）上不单调，先增后减；对于D，在（﹣∞，0）上是减函数；
故选：D．
【变式8-1】根据下列函数图象，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】结合图象根据函数的奇偶性以及单调性判断即可．
【解答过程】解：对于A，是奇函数且递增，符合题意；
对于B，C，是非奇非偶函数，不合题意；
对于D，不是奇函数，不合题意；
故选：A．
【变式8-2】已知f（x）则关于图中的函数图象正确的是（ ）
A．是f（x﹣1）的图象 B．是f（﹣x）的图象
C．是f（|x|）或|f（x）|的图象 D．以上答案都不对
【解题思路】画出f（x）的图象，根据图象的变换可得答案．
【解答过程】解：画f（x）的图象
f（x﹣1）的图象是由f（x）的图象向右移一个单位，与题目中的图不一样，故A不正确
而f（﹣x）与f（x）的图象关于y轴对称，与题目中的图不一样，故B不正确
f（|x|）是偶函数或|f（x）|的图象与f（x）的图象一样，故选项C不正确，
故选：D．
【变式8-3】反比例函数f（x）的图象，如图，则（ ）
A．常数k＜﹣1
B．函数f（x）在定义域范围内，y随x的增大而减小
C．若点A（﹣1，m），B（2，n）在f（x）上，则m＜n
D．函数f（x）图象对称轴的直线方程y＝x
【解题思路】根据反比例函数f（x）的图象与性质，对题目中的选项进行分析判断即可．
【解答过程】解：根据反比例函数f（x）的图象在一、三象限知，k＞0，A错误；
又函数f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是单调减函数，B错误；
当点A（﹣1，m），B（2，n）在f（x）上时，
m＝﹣k＜0，n0，∴m＜n，C正确；
函数f（x）图象对称轴的直线方程为y＝±x，∴D错误．
故选：C．专题3.3 函数的基本性质-重难点题型精讲
1．函数的单调性
(1)单调递增、单调递减：
(2)函数的单调性及单调区间：
①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.
②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单
调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
(3)常见函数的单调性：
(4)单调函数的运算性质：
若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的
单调性.
③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，
f(x)与具有相同的单调性.
④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性.
⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：
⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x) g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x) g(x)在区间D上单调递减(增).
(5)复合函数的单调性判定：
对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.
2．函数的最大（小）值
(1)函数的最大（小）值：
(2)利用函数单调性求最值的常用结论：
①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；
②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.
3．函数的奇偶性
(1)定义：
(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）
①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.
(3)函数图象的对称性：
①图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.
②图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【方法点拨】
(1)定义法：利用函数单调性的定义讨论函数的单调性或求单调区间.
(2)图象法：根据函数解析式画出函数图象，通过函数图象研究单调性.
注：①复合函数单调性的判断方法：根据复合函数的单调性满足“同增异减”，可判断复合函数的单调性；
②抽象函数单调性的判断方法：一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.
【例1】（2021秋 邗江区期中）下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（ ）
A． B．y＝2x+1 C．y＝x2 D．y＝x0
【变式1-1】（2022春 天津期末）下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C． D．f（x）＝﹣|x|
【变式1-2】（2020秋 福田区校级期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣3]
【变式1-3】（2021 白山开学）函数的单调增区间为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞）
【题型2 利用函数的单调性求参数】
【方法点拨】
(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
(2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.
需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.
【例2】（2021 河北区学业考试）已知函数f（x）＝x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，10]∪[40，+∞） B．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞）
C．[10，+∞） D．[40，+∞）
【变式2-1】（2021秋 怀仁市校级月考）若函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]
【变式2-2】（2021秋 河北期中）若函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|在区间[﹣3，0]上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，0）∪（0，9） B．（﹣9，0）∪（0，3）
C．（﹣9，3） D．（﹣3，9）
【变式2-3】（2022 湖南模拟）定义在R的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞）
C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【题型3 利用函数的单调性比较大小、解不等式】
【方法点拨】
(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上.
(2)解关于的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可.
【例3】（2021秋 福田区校级期末）已知函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），则实数a的取值范围是（ ）
A． B．[2，6）
C． D．（0，6）
【变式3-1】（2020秋 泸县校级月考）已知定义在[0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（2a﹣1）＞f（），则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2021秋 金凤区校级月考）已知函数f（x）是区间（0，+∞）内的减函数，则f（a2﹣a+1）与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．不确定
【变式3-3】（2021秋 滨海新区期中）定义在R上函数y＝f（x）满足以下条件：①函数y＝f（x）图像关于x＝1轴对称，②对任意x1，x2∈（﹣∞，1]，当x1≠x2时都有0，则f（0），，f（3）的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 求函数的最值】
【方法点拨】
(1)配方法，主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；
(2)换元法，用换元法时一定要注意新元的取值范围；
(3)数形结合法，对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助图象直观求出；
(4)利用函数的单调性，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.
【例4】（2021 白山开学）函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（ ）
A． B．2，5 C．1，2 D．
【变式4-1】（2022春 铜鼓县校级期末）若函数，则函数g（x）＝f（x）﹣4x的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【变式4-2】（2022春 阎良区期末）设函数在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m＝（ ）
A．4 B．6 C．10 D．24
【变式4-3】（2021秋 杭州期末）已知，设f（x）＝min{x﹣2，﹣x2+4x﹣2}，则函数f（x）的最大值是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
【题型5 由函数的最值求参数】
【方法点拨】
在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解.
若对于区间D上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>；若对于区间D上的任意x，a；若在区间D上存在x使a>f(x)成立，则a>；若在区间D上存在x使a【例5】（2022春 爱民区校级期末）若函数在区间[0，1]上的最大值为，则实数m＝（ ）
A．3 B． C．2 D．或3
【变式5-1】（2021秋 香坊区校级期中）已知函数f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2021秋 浉河区校级期末）函数f（x）＝x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值为，最大值为2，则n﹣m的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式5-3】（2021秋 松山区校级月考）若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且M+N＝4，则实数a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．1
【题型6 函数奇偶性的判断】
【方法点拨】
(1)定义法：先求函数的定义域，再进行函数奇偶性的判断.
(2)图象法：根据解析式画出函数图象，根据函数的对称性进行函数奇偶性的判断.
(3)性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断.
【例6】（2021秋 海安市校级月考）设函数f（x），则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f（x﹣2）﹣1 B．f（x﹣2）+1 C．f（x+2）﹣1 D．f（x+2）+1
【变式6-1】（2022春 杨陵区校级期末）若函数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，则g（x）＝2ax3+bx2+9x是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
【变式6-2】（2022春 祁东县期末）设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A．f（x+1） B．f（x）+1 C．f（x﹣1） D．f（x）﹣1
【变式6-3】（2022春 云浮期末）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）+g（x）为R上的奇函数
B．f（x）﹣g（x）为R上的奇函数
C．为R上的偶函数
D．|f（x）g（x）|为R上的偶函数
【题型7 函数奇偶性的应用】
【方法点拨】
(1)求函数值、函数解析式：利用函数的奇偶性，进行转化求解.
(2)求参数值：①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.
②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.
【例7】（2022春 北京期末）f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2022 成都开学）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当1≤x≤2时，f（x）＝x﹣1，则f（）的值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2022春 长春期末）设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2022春 辽宁期末）设f（x）的定义域为R，f（x﹣2）是奇函数，f（x﹣1）是偶函数，则f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝（ ）
A．﹣4 B．0 C．4 D．不确定
【题型8 函数图象的识别、判断】
【方法点拨】
①排除法：利用特殊点的值来排除；
②利用函数的奇偶性、单调性来判断.
【例8】下列四个函数图象中，当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】根据下列函数图象，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】已知f（x）则关于图中的函数图象正确的是（ ）
A．是f（x﹣1）的图象 B．是f（﹣x）的图象
C．是f（|x|）或|f（x）|的图象 D．以上答案都不对
【变式8-3】反比例函数f（x）的图象，如图，则（ ）
A．常数k＜﹣1
B．函数f（x）在定义域范围内，y随x的增大而减小
C．若点A（﹣1，m），B（2，n）在f（x）上，则m＜n
D．函数f（x）图象对称轴的直线方程y＝x
