2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习
一、选择题
1．（2017八下·马山期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（ ）
A．8 B．8 C．4 D．6
3．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
4．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
5．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）一个长方形的长与宽分别是10cm、5cm，它的对角线的长可能是（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
6．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（ ）
A．6 B．5 C．2 D．3
7．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=2 ，∠AEO=120°，则EF的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）矩形的面积为12cm2，一边长为4cm，那么矩形的对角线长是 cm．
10．（2017·连云港模拟）如图，矩形ABCD被分成四部分，其中△ABE、△ECF、△ADF的面积分别为2、3、4，则△AEF的面积为 ．
11．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，矩形ABCD中，AB= ，AD=2．点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．当△CDF是等腰三角形时，BE的长为 ．
12．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，若BE=OE=1cm，则∠AOB= ，AC= ，S矩形ABCD= ．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD．若∠DAE：∠BAE=3：1，则∠EAO= ．
14．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为 ．
三、解答题
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）已知：如图，矩形ABCD中，DE交BC于E，且DE=AD，AF⊥DE于F．
求证：AB=AF．
16．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．
17．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）已知：矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE平分∠BCD，交AB于点E，∠OCE=15°，求∠BEO的度数．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于E，若BE：ED=1：3，AD=6．
（1）求∠BAE的度数；
（2）AE等于多少？
19．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
2．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴BC= ，
∴AC=2BC=4 ，
∴AB= ，
故答案为：D．
【分析】连接OB，由三线合一可得BO⊥EF，从而在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知OA=OB=OC，进而由等角对等边可知∠BAC=∠ABO，再结合∠BEF=2∠BAC，即可求得∠BAC=30°，从而∠FBC=∠FCA=∠BAC=30°，故结合FC=2，利用勾股定理可求得BC= ，AC=2BC=4 ，在直角三角形ABC中利用勾股定理即可求得AB长.
3．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵△AD′C≌△ABC，
∴△AD′F≌△CBF，
∴△AD′F与△CBF面积相等，
设BF=x，则（8﹣x）2=x2+42，
64﹣16x+x2=x2+16，
16x=48，
解得x=3，
∴△AFC的面积=×4×8﹣×3×4=10．
故选B．
【分析】∵△AD′C≌△ABC，∴△AD′F≌△CBF，得△AD′F与△CBF面积相等，设BF=x，列出关于x的关系式，解得x的值即可解题．
4．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC=BD，OA=OB，不能推出AC⊥BD，
∴选项A、B、D不符合题意，选项C不符合题意；
故答案为：C．
【分析】矩形具有平行四边形的一切性质，而且平行四边形的对角线相等但不垂直，而菱形的对角线互相垂直.
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵ = =5 ，
∴对角线长是无理数．
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理可求得对角线长为5 ，为无理数.
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵AE⊥BD，AE=3，
∴AB= =2 ，
故答案为：C．
【分析】由ED=3BE及矩形的对角线相等可得BE：ED=1：3，进而得BE：OB=1：2，再结合AE⊥BD，即可利用线段垂直平分线的性质可知△OAB是等边三角形，解直角三角形ABE即可求得AB的长.
7．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解： ∵∠AEO=120°，∠DOE=90°，
∴∠EDO=30°，
又∵AC=2 ，
∴DO= BD= AC= ，
∴Rt△DOE中，OE=tan30°×DO=1，
同理可得，Rt△BOF中，OF=1，
∴EF=2.
故答案为：B．
【分析】由∠AEO=120°，∠DOE=90°，可利用三角形外角性质求得∠EDO=30°，又AC=2 利用矩形对角线相等且互相平分可得DO长，解Rt△DOE即可求得OE长，同理可得Rt△BOF中OF长，从而求得EF长.
8．【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM=3，
∴DC=6，
∵AD=BC=10，
∴AC= =2 ，
∴BO= AC= ，
故答案为：D
【分析】由于O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，故OM是△ADC的中位线，从而DC=2OM=6，再结合AD=BC=10，在Rt△ADC中利用勾股定理即可求得AC长，再利用矩形对角线相等且互相平分即可求得OB长.
9．【答案】5
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解： ∵矩形的面积为12cm2，一边长为4cm，
∴另一边为3cm，
∴对角线长为 =5cm．
故答案为：5.
【分析】利用矩形面积求得矩形的另一边长，再利用勾股定理即可求得其对角线的长.
10．【答案】7
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设AB=a，BC=b，
∵△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是2，3，4，
∴S△ABE= ×a×BE=2，
∴BE= ，
∴EC=BC﹣BE=b﹣ ，
∵S△CEF= ×EC×FC=3，
∴FC= ，
∴DF=CD﹣CF=a﹣ ，
∴S△ADF= ×（a﹣ ）×b=4，
∴（ab）2﹣18ab+32=0，
解得：ab=16或ab=2（不合题意，舍去），
∴S△AEF=16﹣3﹣4﹣2=7，
故答案为：7．
【分析】要求阴影面积，可用矩形面积减去三个三角形面积，须设出AB=a、BC=b，分别表示出三块外围的三角形面积，构建关于（ab）的一元二次方程，解出方程，即可求出S△AEF=16﹣3﹣4﹣2=7.
11．【答案】1、 、2﹣
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解： ①CF=CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，
则CM∥AE，DM=MF，
延长CM交AD于点G，
∴AG=GD=1，
∴CE=1，
∴当BE=1时，△CDF是等腰三角形；
②DF=DC时，
则DC=DF= ，
∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=45°，
则BE= ，
∴当BE= 时，△CDF是等腰三角形；
③FD=FC时，
则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．
∵AB= ，BE=x，
∴AE= ，
AF= ，
∵△ADF∽△EAB，
∴ = ，
，
x2﹣4x+2=0，
解得：x=2± ，
∴当BE=2﹣ 时，△CDF是等腰三角形．
综上，当BE=1、 、2﹣ 时，△CDF是等腰三角形．
故答案为：1、 、2﹣ ．
【分析】 △CDF是等腰三角形时按腰的情况可以分为有三种：①CF=CD；②DF=CD；③CF=CD；再根据所给条件进行分类求解即可.
12．【答案】60°；4cm；4 cm2
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解： ∵BE=OE=1cm，
∴OB=2cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AO=OC，BO=DO，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE⊥BD，BE=OE，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=2cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，OA=OB=2cm，
∴AC=2AO=4cm，
由勾股定理得：BC= =2 （cm），
∴S矩形ABCD=BC×AB=2 cm×2cm=4 cm2
故答案为：60°，4cm，4 cm2．
【分析】 由BE=OE=1cm，及矩形的对角线互相平分且相等可得△AOB是等边三角形，从而可知∠AOB=60°，进而可知OA=AB=2cm，即可求得AC=2AO=4cm，从而由勾股定理得BC长，即可求得S矩形ABCD.
13．【答案】45°
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= AC，BO=DO= BD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，
∵∠DAE：∠BAE=3：1，
∴∠DAE=67.5°，∠BAE=22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABO=90°﹣22.5°=67.5°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=67.5°，
∴∠EAO=∠OAB﹣∠BAE=67.5°﹣22.5°=45°，
故答案为：45°．
【分析】由矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB，又∠DAE：∠BAE=3：1，∠DAE+∠BAE=90°，故可求得∠DAE=67.5°，∠BAE=22.5°，从而可求得∠ABO=90°﹣22.5°=67.5°，那么∠OAB=∠OBA=67.5°，即可由∠EAO=∠OAB﹣∠BAE求得其角度.
14．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD= = =5，
S△ABD= AB AD= BD AG，
即 ×3×4= ×5×AG，
解得AG= ，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD= OA PE+ OD PF= OD AG，
∴PE+PF=AG= ．
故答案为： ．
【分析】对角线将平行四边形分为四个面积相等的小三角形，利用等面积法即可证得PE+PF=AG，从而可求得其值.
15．【答案】证明：∵AF⊥DE．
∴∠AFE=90°．
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°．
∴∠ADF=∠DEC．
∴∠AFE=∠C=90°．
∵AD=DE．
∴△ADF≌△DEC．
∴AF=DC．
∵DC=AB．
∴AF=AB．
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】将证AB=AF化为证AF=CD，又利用AAS即可证得 △ADF≌△DEC ，即可证明.
16．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，
∴AB= AC=3，
由勾股定理得：BC=3 ，
∴AB=DC=3，AD=BC=3 ，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6 ，
矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3 =9 ．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形对角线相等与直角三角形30°角所对边等于斜边的一半，可得 AB= AC=3 ，在直角三角形CBD中可求得BC长，从而可求得矩形的周长与面积.
17．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，DC∥AB，
∴∠DCE=∠CEB，
∵CE平分∠DCB，
∴∠BCE=∠DCE=45°，
∴∠BCE=∠CEB，
∴BE=BC，
∵∠DCE=45°，∠OCE=15°，
∴∠DCO=30°，
∴∠BCO﹣90°﹣30°=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，
∴AO=OC=CO=BO，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC=OB=BE，
∵DC∥AB，
∴∠CAB=∠DBA=30°，
∴∠BEO=∠BOE= （180°﹣∠DBA）= ×（180°﹣30°）=75°
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】由矩形中∠DCB=90°与CE平分∠DCB可求得∠BCO=60°，再由矩形对角线互相平分可知 △BOC是等边三角形 ，再结合DC∥AB，可求得∠CAB=∠DBA=30°，从而可求得∠BEO的度数.
18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠BAE=30°
（2）解：∵△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ADE=90°﹣∠ABD=30°，
∵AE⊥BD，AD=6，
∴AE= AD=3．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的对角线相等及BE：ED=1：3，可知点E为OB中点，又AE⊥BD，所以AB=OA，从而可知△OAB是等边三角形，那么∠BAE=30°；（2）通过求∠ADE=30° ，可由直角三角形30°边所对边为斜边的一半可知AE= AD=3 .
19．【答案】（1）解：∵△CDQ≌△CPQ，
∴DQ=PQ，PC=DC，
∵AB=DC=5，AD=BC=3，
∴PC=5，
在Rt△PBC中，PB= =4，
∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，
设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，
在Rt△PAQ中，（3﹣x）2=x2+12，
解得x= ，
∴AQ= ．
（2）解：方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，
∵MD⊥MP，
∴∠PMD=90°，
∴∠PME+∠DMF=90°，
∵∠FDM+∠DMF=90°，
∴∠MDF=∠PME，
∵M是QC的中点，
∴DM= QC，PM= QC，
∴DM=PM，
在△MDF和△PME中，
，
∴△MDF≌△PME（AAS），
∴ME=DF，PE=MF，
∵EF⊥CD，AD⊥CD，
∴EF∥AD，
∵QM=MC，
∴DF=CF= DC= ，
∴ME= ，
∵ME是梯形ABCQ的中位线，
∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，
∴AQ=2．
方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点，
∴DM=CM，
∴∠DMQ=2∠DCQ，
∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点，
∴MP=CM，
∴∠PMQ=2∠PCQ，
∵∠DMP=90°，
∴2∠DCQ+2∠PCQ=90°，
∴∠PCD=45°，°∠BCP=90°﹣45°=45°，
∴∠BPC=45°=∠BCP，∴BP=BC=3，
∵∠CPQ=90°，
∴∠APQ=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠AQP=90°﹣45°=45°=∠APQ，
∴AQ=AP=2．
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形斜边上的中线；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）三角形全等与矩形性质可知BC=3，PC=5，再在Rt△PBC中利用勾股定理可得PB= =4，从而PA=1，设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，再在Rt△PAQ中利用勾股定理即可求得x的值，即AQ的长；（2）方法1，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，
利用AAS证△MDF≌△PME，从而ME=DF，PE=MF，再由垂直于同一直线的两直线平行可知EF∥AD，再由M为CQ的中点可知点F为DC的中点，故ME=DF=DC= ，又可知ME是梯形ABCQ的中位线，故可求得AQ长；方法2、由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=CM=MP，
∠DMQ=2∠DCQ，∠PMQ=2∠PCQ，再结合∠DMP=90°可得∠BPC=∠BCP=45°，即可得BP=BC=3，
进而可得AQ=AP=2．
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习
一、选择题
1．（2017八下·马山期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（ ）
A．8 B．8 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴BC= ，
∴AC=2BC=4 ，
∴AB= ，
故答案为：D．
【分析】连接OB，由三线合一可得BO⊥EF，从而在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知OA=OB=OC，进而由等角对等边可知∠BAC=∠ABO，再结合∠BEF=2∠BAC，即可求得∠BAC=30°，从而∠FBC=∠FCA=∠BAC=30°，故结合FC=2，利用勾股定理可求得BC= ，AC=2BC=4 ，在直角三角形ABC中利用勾股定理即可求得AB长.
3．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵△AD′C≌△ABC，
∴△AD′F≌△CBF，
∴△AD′F与△CBF面积相等，
设BF=x，则（8﹣x）2=x2+42，
64﹣16x+x2=x2+16，
16x=48，
解得x=3，
∴△AFC的面积=×4×8﹣×3×4=10．
故选B．
【分析】∵△AD′C≌△ABC，∴△AD′F≌△CBF，得△AD′F与△CBF面积相等，设BF=x，列出关于x的关系式，解得x的值即可解题．
4．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC=BD，OA=OB，不能推出AC⊥BD，
∴选项A、B、D不符合题意，选项C不符合题意；
故答案为：C．
【分析】矩形具有平行四边形的一切性质，而且平行四边形的对角线相等但不垂直，而菱形的对角线互相垂直.
5．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）一个长方形的长与宽分别是10cm、5cm，它的对角线的长可能是（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
【答案】D
【知识点】矩形的性质；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵ = =5 ，
∴对角线长是无理数．
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理可求得对角线长为5 ，为无理数.
6．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（ ）
A．6 B．5 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵AE⊥BD，AE=3，
∴AB= =2 ，
故答案为：C．
【分析】由ED=3BE及矩形的对角线相等可得BE：ED=1：3，进而得BE：OB=1：2，再结合AE⊥BD，即可利用线段垂直平分线的性质可知△OAB是等边三角形，解直角三角形ABE即可求得AB的长.
7．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=2 ，∠AEO=120°，则EF的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解： ∵∠AEO=120°，∠DOE=90°，
∴∠EDO=30°，
又∵AC=2 ，
∴DO= BD= AC= ，
∴Rt△DOE中，OE=tan30°×DO=1，
同理可得，Rt△BOF中，OF=1，
∴EF=2.
故答案为：B．
【分析】由∠AEO=120°，∠DOE=90°，可利用三角形外角性质求得∠EDO=30°，又AC=2 利用矩形对角线相等且互相平分可得DO长，解Rt△DOE即可求得OE长，同理可得Rt△BOF中OF长，从而求得EF长.
8．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM=3，
∴DC=6，
∵AD=BC=10，
∴AC= =2 ，
∴BO= AC= ，
故答案为：D
【分析】由于O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，故OM是△ADC的中位线，从而DC=2OM=6，再结合AD=BC=10，在Rt△ADC中利用勾股定理即可求得AC长，再利用矩形对角线相等且互相平分即可求得OB长.
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）矩形的面积为12cm2，一边长为4cm，那么矩形的对角线长是 cm．
【答案】5
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解： ∵矩形的面积为12cm2，一边长为4cm，
∴另一边为3cm，
∴对角线长为 =5cm．
故答案为：5.
【分析】利用矩形面积求得矩形的另一边长，再利用勾股定理即可求得其对角线的长.
10．（2017·连云港模拟）如图，矩形ABCD被分成四部分，其中△ABE、△ECF、△ADF的面积分别为2、3、4，则△AEF的面积为 ．
【答案】7
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设AB=a，BC=b，
∵△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是2，3，4，
∴S△ABE= ×a×BE=2，
∴BE= ，
∴EC=BC﹣BE=b﹣ ，
∵S△CEF= ×EC×FC=3，
∴FC= ，
∴DF=CD﹣CF=a﹣ ，
∴S△ADF= ×（a﹣ ）×b=4，
∴（ab）2﹣18ab+32=0，
解得：ab=16或ab=2（不合题意，舍去），
∴S△AEF=16﹣3﹣4﹣2=7，
故答案为：7．
【分析】要求阴影面积，可用矩形面积减去三个三角形面积，须设出AB=a、BC=b，分别表示出三块外围的三角形面积，构建关于（ab）的一元二次方程，解出方程，即可求出S△AEF=16﹣3﹣4﹣2=7.
11．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，矩形ABCD中，AB= ，AD=2．点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．当△CDF是等腰三角形时，BE的长为 ．
【答案】1、 、2﹣
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解： ①CF=CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，
则CM∥AE，DM=MF，
延长CM交AD于点G，
∴AG=GD=1，
∴CE=1，
∴当BE=1时，△CDF是等腰三角形；
②DF=DC时，
则DC=DF= ，
∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=45°，
则BE= ，
∴当BE= 时，△CDF是等腰三角形；
③FD=FC时，
则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．
∵AB= ，BE=x，
∴AE= ，
AF= ，
∵△ADF∽△EAB，
∴ = ，
，
x2﹣4x+2=0，
解得：x=2± ，
∴当BE=2﹣ 时，△CDF是等腰三角形．
综上，当BE=1、 、2﹣ 时，△CDF是等腰三角形．
故答案为：1、 、2﹣ ．
【分析】 △CDF是等腰三角形时按腰的情况可以分为有三种：①CF=CD；②DF=CD；③CF=CD；再根据所给条件进行分类求解即可.
12．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，若BE=OE=1cm，则∠AOB= ，AC= ，S矩形ABCD= ．
【答案】60°；4cm；4 cm2
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解： ∵BE=OE=1cm，
∴OB=2cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AO=OC，BO=DO，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE⊥BD，BE=OE，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=2cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，OA=OB=2cm，
∴AC=2AO=4cm，
由勾股定理得：BC= =2 （cm），
∴S矩形ABCD=BC×AB=2 cm×2cm=4 cm2
故答案为：60°，4cm，4 cm2．
【分析】 由BE=OE=1cm，及矩形的对角线互相平分且相等可得△AOB是等边三角形，从而可知∠AOB=60°，进而可知OA=AB=2cm，即可求得AC=2AO=4cm，从而由勾股定理得BC长，即可求得S矩形ABCD.
13．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD．若∠DAE：∠BAE=3：1，则∠EAO= ．
【答案】45°
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= AC，BO=DO= BD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，
∵∠DAE：∠BAE=3：1，
∴∠DAE=67.5°，∠BAE=22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABO=90°﹣22.5°=67.5°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=67.5°，
∴∠EAO=∠OAB﹣∠BAE=67.5°﹣22.5°=45°，
故答案为：45°．
【分析】由矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB，又∠DAE：∠BAE=3：1，∠DAE+∠BAE=90°，故可求得∠DAE=67.5°，∠BAE=22.5°，从而可求得∠ABO=90°﹣22.5°=67.5°，那么∠OAB=∠OBA=67.5°，即可由∠EAO=∠OAB﹣∠BAE求得其角度.
14．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD= = =5，
S△ABD= AB AD= BD AG，
即 ×3×4= ×5×AG，
解得AG= ，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD= OA PE+ OD PF= OD AG，
∴PE+PF=AG= ．
故答案为： ．
【分析】对角线将平行四边形分为四个面积相等的小三角形，利用等面积法即可证得PE+PF=AG，从而可求得其值.
三、解答题
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）已知：如图，矩形ABCD中，DE交BC于E，且DE=AD，AF⊥DE于F．
求证：AB=AF．
【答案】证明：∵AF⊥DE．
∴∠AFE=90°．
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°．
∴∠ADF=∠DEC．
∴∠AFE=∠C=90°．
∵AD=DE．
∴△ADF≌△DEC．
∴AF=DC．
∵DC=AB．
∴AF=AB．
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】将证AB=AF化为证AF=CD，又利用AAS即可证得 △ADF≌△DEC ，即可证明.
16．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，
∴AB= AC=3，
由勾股定理得：BC=3 ，
∴AB=DC=3，AD=BC=3 ，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6 ，
矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3 =9 ．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形对角线相等与直角三角形30°角所对边等于斜边的一半，可得 AB= AC=3 ，在直角三角形CBD中可求得BC长，从而可求得矩形的周长与面积.
17．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）已知：矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE平分∠BCD，交AB于点E，∠OCE=15°，求∠BEO的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，DC∥AB，
∴∠DCE=∠CEB，
∵CE平分∠DCB，
∴∠BCE=∠DCE=45°，
∴∠BCE=∠CEB，
∴BE=BC，
∵∠DCE=45°，∠OCE=15°，
∴∠DCO=30°，
∴∠BCO﹣90°﹣30°=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，
∴AO=OC=CO=BO，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC=OB=BE，
∵DC∥AB，
∴∠CAB=∠DBA=30°，
∴∠BEO=∠BOE= （180°﹣∠DBA）= ×（180°﹣30°）=75°
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】由矩形中∠DCB=90°与CE平分∠DCB可求得∠BCO=60°，再由矩形对角线互相平分可知 △BOC是等边三角形 ，再结合DC∥AB，可求得∠CAB=∠DBA=30°，从而可求得∠BEO的度数.
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于E，若BE：ED=1：3，AD=6．
（1）求∠BAE的度数；
（2）AE等于多少？
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠BAE=30°
（2）解：∵△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ADE=90°﹣∠ABD=30°，
∵AE⊥BD，AD=6，
∴AE= AD=3．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的对角线相等及BE：ED=1：3，可知点E为OB中点，又AE⊥BD，所以AB=OA，从而可知△OAB是等边三角形，那么∠BAE=30°；（2）通过求∠ADE=30° ，可由直角三角形30°边所对边为斜边的一半可知AE= AD=3 .
19．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．
【答案】（1）解：∵△CDQ≌△CPQ，
∴DQ=PQ，PC=DC，
∵AB=DC=5，AD=BC=3，
∴PC=5，
在Rt△PBC中，PB= =4，
∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，
设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，
在Rt△PAQ中，（3﹣x）2=x2+12，
解得x= ，
∴AQ= ．
（2）解：方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，
∵MD⊥MP，
∴∠PMD=90°，
∴∠PME+∠DMF=90°，
∵∠FDM+∠DMF=90°，
∴∠MDF=∠PME，
∵M是QC的中点，
∴DM= QC，PM= QC，
∴DM=PM，
在△MDF和△PME中，
，
∴△MDF≌△PME（AAS），
∴ME=DF，PE=MF，
∵EF⊥CD，AD⊥CD，
∴EF∥AD，
∵QM=MC，
∴DF=CF= DC= ，
∴ME= ，
∵ME是梯形ABCQ的中位线，
∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，
∴AQ=2．
方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点，
∴DM=CM，
∴∠DMQ=2∠DCQ，
∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点，
∴MP=CM，
∴∠PMQ=2∠PCQ，
∵∠DMP=90°，
∴2∠DCQ+2∠PCQ=90°，
∴∠PCD=45°，°∠BCP=90°﹣45°=45°，
∴∠BPC=45°=∠BCP，∴BP=BC=3，
∵∠CPQ=90°，
∴∠APQ=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠AQP=90°﹣45°=45°=∠APQ，
∴AQ=AP=2．
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形斜边上的中线；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）三角形全等与矩形性质可知BC=3，PC=5，再在Rt△PBC中利用勾股定理可得PB= =4，从而PA=1，设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，再在Rt△PAQ中利用勾股定理即可求得x的值，即AQ的长；（2）方法1，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，
利用AAS证△MDF≌△PME，从而ME=DF，PE=MF，再由垂直于同一直线的两直线平行可知EF∥AD，再由M为CQ的中点可知点F为DC的中点，故ME=DF=DC= ，又可知ME是梯形ABCQ的中位线，故可求得AQ长；方法2、由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=CM=MP，
∠DMQ=2∠DCQ，∠PMQ=2∠PCQ，再结合∠DMP=90°可得∠BPC=∠BCP=45°，即可得BP=BC=3，
进而可得AQ=AP=2．
1 / 1
