第六章 平行四边形 单元练习（含答案） 2023-2024学年初中数学北师版八年级下册

第六章 平行四边形
(时间:120分钟　分值:120分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)
1.平行四边形ABCD中,若∠A=120°,则∠C的度数为 (　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.若一个n边形的每个外角都是45°,则这个n边形的内角和是 (　　)
A.540° B.1080° C.2700° D.2160°
3.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,AC⊥BC,且AB=6,AD=4,则OA的长是 (　　)
A.5
B.
C.
D.2
4.已知△ABC(如图1),根据图2、图3所示的尺规作图痕迹,(不需借助三角形全等)就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是 (　　)
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
5.如图,小青同学在折幸运星时,将一张长方形的纸条折成一个正五边形,则图中∠1的度数为 (　　)
A.72°
B.80°
C.90°
D.108°
6.如图,分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE,F为AB的中点,连接DF,EF,DE,DE与AB相交于点G,若∠BAC=30°,有下列结论:
①EF⊥AC;
②四边形ADFE为平行四边形;
③AD=4AG;
④△DBF≌△EFA.
其中正确的有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.在平行四边形ABCD中,∠A=40°,则∠B的度数是　 　　.
8.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=28,AB=10,则△OCD的周长为　　　　.
9.在平面直角坐标系xOy中,平行四边形OABC的三个顶点分别为O(0,0),A(3,0),C(1,2),顶点B位于第一象限,则点B的坐标为　　　　.
10.如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,已知∠A=65°,则∠DFE=　　　　.
11.如图,小辉从A点出发,沿直线前进2米后向左转36°,再沿直线前进2米,又向左转36°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走了　　　　米.
12.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为平行四边形,点A的坐标为(4,-3),将平行四边形OABC向上平移m(m>0)个单位长度得到平行四边形O'A'B'C',如果△O B'C'为等腰三角形,那么m的值为　　　　.
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(1)如图,在 ABCD中,AD=2AB,E为AD的中点,求证:BE平分∠ABC.
(2)一个多边形的内角和与外角和的和恰好是十二边形的内角和,求这个多边形的边数.
14.如图,C是 ABED边BE的延长线上一点,连接CD,且∠B=∠C,EC=ED,求证:△DEC为等边三角形.
15.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状,并证明你的结论.
16.如图,在 ABCD中,CE平分∠BCD,交AD于点E,AF∥CE,交BC于点F.
(1)求证:△ABF≌△CDE.
(2)若∠1=65°,求∠B的度数.
17.如图,在△ABC中,AB=2BC,ED是△ABC的中位线,F为ED的中点,请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图.
(1)在图1中的BC边上找一点G,使四边形CEDG为平行四边形.
图1
(2)在图2中作出∠B的平分线.
图2
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.如图,将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,折痕l交CD边于点E,连接BE.
(1)求证:四边形BCED'是平行四边形.
(2)若BE平分∠ABC,求证:AB2=AE2+BE2.
19.如图,在 ABCD中,G,H分别是AB,CD 的中点,点E,F在对角线AC上,且AE=CF,连接EG,FG,EH,FH.
(1)求证:四边形EGFH是平行四边形.
(2)连接BD交AC于点O,若BD=12,AE+CF=EF,求EG的长.
20.如图,这是将凸多边形分割成若干个三角形的一种方法.
(1)试根据所给的方法,将图4中的七边形分割成　　　　个三角形.
(2)按这种方法,凸n边形可以分割成　　　　个三角形.
(3)请根据上述方法,以三角形的内角和定理为依据,推导凸n边形的内角和公式.
(4)利用(3)中的公式解答下面的问题:凸n边形的内角和再加上某个外角等于1350°,求这个多边形的边数以及这个外角的度数.
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.如图1,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,点D在线段AB上运动(不与点A,B重合),将△CAD与△CBD分别沿直线CA,CB翻折得到△CAP与△CBQ,连接PD,PQ.
图1
(1)在点D的运动过程中,△APD始终为　　　　三角形.
(2)当四边形APQC为平行四边形时,如图2,判断AD与BD之间的数量关系并证明.
图2
22.如图,BD是四边形ABCD的对角线,AB=CD=3 cm,AD=BC=5 cm,动点P,Q均以1 cm/s的速度分别从B,D同时出发,点P沿B→C→D向终点D匀速运动,点Q沿D→A→B向终点B匀速运动,连接PQ交BD于点O,设点P的运动时间为t s.
(1)求证:AD∥BC.
(2)求证:OB=OD.
(3)当CP的长是四边形ABCD一边长的一半时,求t的值.
(4)连接AP,若直线AP将四边形ABCD的面积分成1∶2的两部分,直接写出t的值.
六、解答题(本大题共12分)
23.(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以点B为中心,把△ABC逆时针旋转90°,得到△A1BC1;再以点C为中心,把△ABC顺时针旋转90°,得到△A2B1C,连接C1B1,则C1B1与BC的位置关系为　　　　　　　　.
(2)如图2,当△ABC是锐角三角形,∠ABC=α(α≠60°)时,将△ABC按照(1)中的方式旋转α,连接C1B1,探究C1B1与BC的位置关系,写出你的探究结论,并加以证明.
(3)如图3,在图2的基础上,连接B1B,若C1B1=BC,△C1BB1的面积为4,求△B1BC的面积.
参考答案
1.C　2.B　3.B　4.A　5.A　6.D
7.140°　8.24　9.(4,2)　10.65°　11.20
12.2或3或　提示:∵点A的坐标为(4,-3),
∴OA==5.
∵四边形OABC为平行四边形,
∴BC=OA=5.
∵△OB'C'为等腰三角形,
∴①当OC'=B'C'=5时,m=CC'=5-3=2;②当OB'=B'C'=5时,m=BB'=3;③当OC'=OB'时,3+m=,解得m=.
故答案为2或3或.
13.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC. 1分
∵E为AD的中点,∴AD=2AE.
∵AD=2AB,∴AE=AB,
∴∠ABE=∠AEB,
∴∠ABE=∠EBC,
∴BE平分∠ABC. 3分
(2)解:设这个多边形的边数为n,
则(n-2)×180°+360°=(12-2)×180°, 1分
解得n=10. 2分
答:这个多边形的边数为10. 3分
14.证明:在 ABED中,AD∥BC,∠B=∠ADE,
∴∠ADE=∠DEC. 2分
∵∠B=∠C,
∴∠DEC=∠C. 3分
∵EC=ED,
∴∠EDC=∠C. 4分
∴∠EDC=∠C=∠DEC.
∴△DEC为等边三角形. 6分
15.解:四边形ABFC是平行四边形. 1分
证明如下:
∵AB∥CD,∴∠BAE=∠CFE.
∵E是BC的中点,∴BE=CE.
在△ABE和△FCE中,
∴△ABE≌△FCE(AAS), 5分
∴AE=EF,又∵BE=CE,∴四边形ABFC是平行四边形. 6分
16.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD∥BC,∠B=∠D,∴∠1=∠BCE. 1分
∵AF∥CE,∴∠AFB=∠ECB,
∴∠AFB=∠1. 2分
在△ABF和△CDE中,∴△ABF≌△CDE(AAS). 3分
(2)由(1)得∠1=∠ECB.∵CE平分∠BCD,∴∠DCE=∠ECB,∴∠1=∠DCE=65°,
∴∠B=∠D=180°-2×65°=50°. 6分
17.解:(1)如图1,点G即为所求. 3分
图1
(2)如图2,射线BH即为∠B的平分线. 6分
图2
18.证明:(证法不唯一)(1)∵将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,
∴∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,∠D=∠AD'E.
∵DE∥AD',∴∠DEA=∠EAD',
∴∠DAE=∠EAD'=∠DEA=∠D'EA,
∴∠DAD'=∠DED',
∴四边形DAD'E是平行四边形, 2分
∴DE=AD'.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,且AB=DC,∴EC∥BD',且EC=BD',
∴四边形BCED'是平行四边形. 4分
(2)∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠EBA.
∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°. 6分
∵∠DAE=∠BAE,∴∠EAB+∠EBA=90°,∴∠AEB=90°,∴AB2=AE2+BE2. 8分
19.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠GAE=∠HCF.
∵G,H分别是AB,CD的中点,
∴AG=CH.
∵AE=CF,
∴△AGE≌△CHF(SAS),
∴GE=HF,∠AEG=∠CFH,
∴∠GEF=∠HFE,
∴GE∥HF,
又∵GE=HF,
∴四边形EGFH是平行四边形. 4分
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵BD=12,
∴OB=OD=6.
∵AE=CF,OA=OC,
∴OE=OF.
∵AE+CF=EF,
∴2AE=EF=2OE,
∴AE=OE,
又∵G是AB的中点,
∴EG是△ABO的中位线,
∴EG=OB=3,
∴EG的长为3. 8分
20.解:(1)6. 1分
(2)(n-1). 3分
(3)由(2)得凸n边形可以分割成(n-1)个三角形,
∴(n-1)个三角形的内角的和为180°(n-1),
∴凸n边形的内角和为180°(n-1)-180°=(n-2)×180°. 5分
(4)设加上的某个外角的度数为x(0由题意得(n-2)×180°+x=1350°,
∴x=1350°-(n-2)×180°. 6分
∵0∴6.5∴8.5∴n=9,
∴x=1350°-7×180°=90°.
故这个多边形的边数为9,这个外角的度数为90°. 8分
21.解:(1)等边. 2分
(2)AD=BD. 3分
证明:∵四边形APQC为平行四边形,
∴AP=CQ. 4分
∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA,CB翻折得到△CAP与△CBQ,
∴AP=AD,CQ=CD,
∴AD=CD,
∴∠CAD=∠DCA. 5分
由(1)知∠CAD=30°,∴∠DCA=30°. 6分
∵∠ACB=120°,
∴∠DCB=90°,∠CDB=∠CAD+∠DCA=60°.
在Rt△BDC中,CD=BD,
∴AD=BD. 9分
22.解:(1)证明:∵AB=CD=3 cm,AD=BC=5 cm,∴四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC. 2分
(2)证明:∵动点P,Q均以1 cm/s的速度分别从B,D同时出发,∴DQ=BP,∵AD∥BC,∴∠OBP=∠ODQ,∠BPO=∠DQO,
∴△BOP≌△DOQ,∴OB=OD. 4分
(3)当0≤t≤5时,CP=2.5 cm或CP=1.5 cm,∴t=2.5或t=3.5;
当5(4)t的值为或6. 9分
23.解:(1)平行. 3分
提示:∵把△ABC逆时针旋转90°,得到△A1BC1;再以点C为中心,把△ABC顺时针旋转90°,得到△A2B1C,∴∠C1BC=∠B1CB=90°,BC1=BC=CB1,∴BC1∥CB1,∴四边形BCB1C1是平行四边形,
∴C1B1∥BC,故答案为平行.
(2)平行. 4分
证明:如图,过点C1作C1E∥B1C,交BC于点E,则∠C1EB=∠B1CB.
由旋转的性质知BC1=BC=B1C,∠C1BC=∠B1CB,∴∠C1BC=∠C1EB, 5分
∴C1B=C1E,∴C1E=B1C,∴四边形C1ECB1是平行四边形,
∴C1B1∥BC. 8分
(3)由(2)知C1B1∥BC,设C1B1与BC之间的距离为h.
∵C1B1=BC,∴=. 9分
∵=B1C1·h,=BC·h,
∴===. 10分
∵△C1BB1的面积为4,∴△B1BC的面积为6. 12分
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