第三章 图形的平移与旋转
(时间:120分钟 分值:120分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)
1.下列手机的手势解锁图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
2.将点P(1,4)向上平移4个单位长度,得到点P的对应点P'的坐标是 ( )
A.(1,8) B.(1,0) C.(5,4) D.(-3,4)
3.风力发电是一种绿色可持续的能源获取方式,我国近年来在西部地区大力发展风电产业,如图所示的是风力发电转子叶片图案,绕中心旋转n°后能与原来的图案重合,那么n的值可能是 ( )
A.60 B.90 C.120 D.150
4.如图,在△ABC中,AB=AC,若M是BC边上任意一点,将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN,点M的对应点为N,连接MN,则下列结论不一定成立的是 ( )
A.AM=AN B.∠AMN=∠ANM
C.CA平分∠BCN D.MN⊥AC
5.如图,△ABC沿着BC所在的直线向右平移a个单位长度得到△DEF(点E在点C的左侧).下列判断正确的是 ( )
结论Ⅰ:若BF=8,EC=4,则a的值为2.
结论Ⅱ:连接AD,若△ABC的周长为18,四边形ABFD的周长为22,则a的值为4.
A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对
6.如图,在△AOB中,∠AOB=90°,AO=4,BO=8,△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处,此时线段A'B'与BO的交点E为线段BO的中点,则线段B'E的长度为 ( )
A.3 B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.点A(1,-2)关于原点对称的点的坐标是 .
8.如图,在等边△ABC中,AB=12,D是BC上一点,且BC=3BD,△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则CE的长度为 .
9.在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,若以AC的中点O为旋转中心,将等腰Rt△ABC旋转90°后,点B落在点B1处,则线段BB1的长度为 .
10.如图,在△ABC中,BC=6,将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位长度得到△A'B'C',连接A'C.若△A'B'C为等边三角形,则AC的长为 .
11.如图,将长为5 cm,宽为3 cm的长方形ABCD先向右平移2 cm,再向下平移1 cm,得到长方形A'B'C'D',则阴影部分的面积为 cm2.
12.如图,在△ABC中,BC=6 cm,将△ABC以每秒1 cm的速度沿线段BC所在的直线向右平移,所得图形对应为△DEF,设平移时间为t(t≤6)秒,若在B,E,C三个点中,其中一个点到另外两个点的距离存在2倍的关系,则t的值为 .
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(1)将长度为1的线段OA沿点O顺时针旋转90°,得到线段OB,求△OAB的面积.
(2)如图,将△ABC沿BC的方向平移得到△DEF,若∠B=74°,∠F=26°,求∠A的度数.
14.如图,在△ABC中,∠CAB=75°,在同一平面内,将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置,使得CC'∥AB,求∠BAB'的度数.
15.图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影,请在余下的空白小等边三角形中,按下列要求选取1个涂上阴影.
(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形.
(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.
(请将两个小题依次作答在图1,图2中,均只需画出符合条件的一种情形)
16.如图,点A,B的坐标分别为(-3,0),(1,1),若将线段AB平移至线段CD处.
(1)求a、b的值.
(2)求点P(a,b)关于原点对称的点P'的坐标.
17.如图,在△ABC和△ADE中,点E在BC边上,∠BAC=∠DAE,∠B=∠D,AB=AD.
(1)求证:△ABC≌△ADE.
(2)如果∠AED=75°,将△ADE绕点A旋转一个锐角后与△ABC重合,求这个旋转角的度数.
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.如图,在等边三角形ABC中,D是边AC上一点,连接BD.将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE,连接ED.若BC=20,BD=15,求△AED的周长.
19.在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示.现将△ABC平移,点A平移到点D的位置,点B,C平移后的对应点分别是点E,F.
(1)画出平移后的△DEF.
(2)连接AD,CF,则这两条线段之间的关系是 .
(3)△DEF的面积为 .
20.如图,在平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称.
(1)直接写出点B1,B2,B3的坐标分别为 , , .
(2)连接A1B2,求A1B2的长.
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.如图,在同一平面直角坐标系中,第1次将△ABC关于x轴对称变换得△A1B1C1,第2次将△A1B1C1关于原点中心对称变换得△A2B2C2,第3次将△A2B2C2关于y轴对称变换得△A3B3C3,…,如此对△ABC进行循环往复的轴对称与中心对称变换,若原来点A的坐标是(3,2)(点A的对应点为An).
(1)求第一次变换后点A的对称点A1的坐标.
(2)求△AA1A2的面积.
(3)求经过第2023次变换后所得的点A的对应点A2023的坐标.
22.如图,已知l1∥l2,点A,B在l1上,点C,D在l2上,连接AD,BC,AE,CE分别是∠BAD,∠BCD的平分线,∠α=70°,∠β=30°.
(1)求∠AEC的度数.
(2)若AB=CD=2,现将线段AD进行左右平移,其他条件不变,∠AEC如何变化
六、解答题(本大题共12分)
23.在边长为8的等边△ABC中,D是AB边上一动点,点E在AC边上,且CE=2AD,射线DE绕点D顺时针旋转60°交BC边于点F.
(1)如图1,求证:∠AED=∠BDF.
图1
(2)如图2,在射线DF上截取DP=DE,连接BP.
图2
①求∠DBP的度数;
②取边BC的中点M,当PM取最小值时,求AD的长.
参考答案
1.B 2.A 3.C 4.D 5.D
6.B 提示:∵∠AOB=90°,AO=4,BO=8,
∴AB===4.
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A'OB'处,
∴AO=A'O=4,A'B'=AB=4.
∵E为BO的中点,
∴OE=BO=×8=4,
∴OE=A'O=4.
如图,过点O作OF⊥A'B'于点F,
S△A'OB'=×4·OF=×4×8,
解得OF=.
在Rt△EOF中,EF===.
∵OE=A'O,OF⊥A'B',
∴A'E=2EF=2×=,
∴B'E=A'B'-A'E=4-=.
故选B.
7.(-1,2) 8.4 9. 10.2 11.6
12.2或3或4 提示:∵△ABC以每秒1 cm的速度沿线段BC所在的直线向右平移,所得图形对应为△DEF,平移时间t≤6,
∴BE=CF=t cm,点E在线段BC上移动,
当CE=2BE时,即6-t=2t,解得t=2;
当BC=2BE时,即6=2t,解得t=3;
当BE=2CE时,即t=2(6-t),解得t=4.
综上所述,t的值为2或3或4.
13.(1)解:由题意可得∠AOB=90°,OB=OA=1, 1分
故S△OAB=OA·OB=. 3分
(2)解:由图形平移的特征可知△ABC和△DEF的形状与大小相同,
即△ABC≌△DEF,
∴∠ACB=∠F=26°. 1分
∵∠B=74°,
∴∠A=180°-(∠ACB+∠B)=180°-(26°+74°)=80°. 3分
14.解:∵CC'∥AB,
∴∠ACC'=∠CAB=75°. 1分
∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置,
∴AC=AC',∠CAC'=∠BAB', 3分
∴∠ACC'=∠AC'C=75°, 4分
∴∠CAC'=180°-75°-75°=30°, 5分
∴∠BAB'=30°. 6分
15.解:(1)如图1所示. 3分
(2)如图2所示. 6分
16.解:(1)由图可知,线段AB向下平移3个单位长度,向右平移2个单位长度,
∴a=-3,b=3. 3分
(2)由(1)知点P(-3,3),
根据中心对称的性质,点P(a,b)关于原点对称的点P'的坐标是(3,-3). 6分
17.解:(1)证明:在△ABC和△ADE中,
∵∠BAC=∠DAE,AB=AD,∠B=∠D,
∴△ABC≌△ADE(ASA). 3分
(2)由(1)可知AC=AE, ∠C=∠AED=75°,
∴ ∠AEC=∠C=75°,
∴∠EAC=180°-75°-75°=30°.
答:这个旋转角的度数为30°. 6分
18.解:∵△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE,
∴根据旋转前、后的图形全等的旋转性质得CD=AE,BD=BE.
∵△ABC是等边三角形,BC=20,
∴AC=BC=20,
∴AD+AE=AD+CD=AC=20. 4分
又∵旋转角∠DBE=60°,
∴△DBE是等边三角形,
∴DE=BD=15,
∴△AED的周长=DE+AE+AD=15+20=35. 8分
19.解:(1)如图,△DEF即为所求. 2分
(2)AD=CF,AD∥CF. 5分
(3)7. 8分
提示:S△DEF=×(2+4)×4-×2×3-×1×4=7.
20.解:(1)(2,0);(4,0);(6,0). 3分
(2)如图,连接A1B2,过点A1作A1C⊥x轴于点C.
∵△OA1B1是边长为2的等边三角形,
∴OC=OB1=1,∠OA1C=∠OA1B1=30°,
∴A1C===. 6分
∵B2C=B1C+B1B2=1+2=3,
∴A1B2====2. 8分
21.解:(1)∵点A(3,2),
∴由关于x轴对称可得A1(3,-2). 2分
(2)∵A1(3,-2),
∴由关于原点中心对称可得A2(-3,2),
∴AA1=4,AA2=6.
如图,由对称性质可知△AA1A2是直角三角形,
∴△AA1A2的面积=×4×6=12. 6分
(3)∵点A(3,2)第1次关于x轴对称得点A1(3,-2),
第2次关于原点对称得点A2(-3,2),
第3次关于y轴对称得点A3(3,2),
每三次为一轮循环,
∴2023÷3=674……1,
故经过第2023次变换后所得的点A2023的坐标是(3,-2). 9分
22.解:(1)过点E作EF∥l1,如图1.
∵l1∥l2,
∴EF∥l2.
∵l1∥l2,
∴∠BCD=∠α.
∵∠α=70°,
∴∠BCD=70°.
∵CE是∠BCD的平分线,
∴∠ECD=×70°=35°.
∵EF∥l2,
∴∠FEC=∠ECD=35°.
同理可求∠AEF=15°,
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=50°. 4分
(2)当AD向右平移大于等于2时,如图2,过点E作EF∥l1.
∵l1∥l2,∴l1∥EF∥l2,
∴∠BCD=∠α=70°.
∵CE是∠BCD的平分线,
∴∠ECD=×70°=35°.
∵EF∥l2,∴∠FEC=∠ECD=35°.
∵l1∥l2,∴∠BAD+∠β=180°,
∴∠BAD=150°.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=×150°=75°.
∵EF∥l1,
∴∠BAE+∠AEF=180°,∴∠AEF=105°,
∴∠AEC=105°+35°=140°. 6分
当AD向左平移大于等于2时,如图3,过点E作EF∥l1.
同理可得l1∥EF∥l2,
∴∠BAE=∠β=15°,∠AEF=∠BAE=15°,
∠BCD=180°-∠α=110°,∠DCE=∠BCD=55°,∠CEF=180°-∠DCE=125°,
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=15°+125°=140°.
当AD左右平移后,且线段BC与AD仍然相交时,由(1)可知∠AEC=50°. 9分
23.解:(1)证明:∵在等边△ABC中,AB=AC,∠A=∠B=∠C=60°,
且∠EDF=60°, 1分
∴∠ADE+∠BDF=∠ADE+∠AED=120°, 2分
∴∠AED=∠BDF. 3分
(2)①如图1,在DB上截取DG=AE,连接PG.
图1
∵∠AED=∠BDF,DP=DE,
∴△ADE≌△GPD(SAS),
∴PG=AD,∠PGD=60°. 5分
∵CE=AC-AE=AB-DG=AD+BG=2AD,
∴BG=AD=PG,
∴∠DBP=∠BPG=30°. 7分
②如图2,在DB上截取DG=AE,连接PG.
图2
由①可知∠MBP=30°,AD=BG=PG.
当MP⊥BE时,PM取得最小值. 8分
在Rt△BMP中,∠MBP=30°,BM=4,
∴PM=2,PB==2.
过点G作GH⊥BP于点H.
∵BG=PG,
∴BH=PB=. 10分
在Rt△BGH中,∠GBH=30°,BH=,
∴设HG=x,则BG=2x.
由勾股定理得BG2=HG2+BH2,
即(2x)2=x2+3,∴x=1,∴BG=2x=2,
∴AD=BG=2. 12分
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