第四章 因式分解 单元练习 2023-2024学年初中数学北师版八年级下册(含答案)

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名称 第四章 因式分解 单元练习 2023-2024学年初中数学北师版八年级下册(含答案)
格式 docx
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资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2024-01-25 23:05:23

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第四章 因式分解
(时间:120分钟 分值:120分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)
1.下列由左边到右边的变形,属于因式分解的是 (  )
A.3(a+b)=3a+3b B.a2-1=(a+1)(a-1)
C.a2-a+1=a(a-1)+1 D.a2+2a+4=(a+2)2
2.在多项式8a3b2-4a3bc中,各项的公因式是 (  )
A.4ab2 B.4a2b2 C.4a3b D.4a3bc
3.一次课堂练习,小敏同学做了如下四道因式分解题,你认为小敏做得不够完整的题是 (  )
A.x3-x=x(x2-1) B.x2-2xy+y2=(x-y)2
C.x2y-xy2=xy(x-y) D.x2-y2=(x-y)(x+y)
4.利用因式分解简便计算69×99+32×99-99正确的是(  )
A.99×(69+32)=99×101=9999
B.99×(69+32-99)=99×2=198
C.99×(69+32+1)=99×102=10098
D.99×(69+32-1)=99×100=9900
5.已知9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解,则m的值为 (  )
A.12 B.±12 C.24 D.±24
6.现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码,但很多人还是直接用生日来设计密码,这存在极大的安全隐患.小涵的生日是12月3日,他想用刚学的因式分解来设计家中的电脑密码.若对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若x=10,y=6,则x-y=4,x+y=16,x2+y2=136,于是可将“416136”作为密码.对于多项式9x3-xy2,小涵用自己的生日月份作为x的值,用生日日期作为y的值,则产生的密码不可能是 (  )
A.123933 B.339321 C.333912 D.391233
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.分解因式:m2-m=    .
8.请写出一个多项式,并把它进行因式分解(要求第一步先提公因式,第二步能运用公式分解因式),请写出该多项式及分解的结果:            .
9.甲、乙两个同学分解因式2x2+ax+b时,甲看错了b,分解结果为(2x+3)(x-2);乙看错了a,分解结果为(x+3)(2x+2),则a+b=    .
10.如图,这是长为a,宽为b的长方形,它的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为    .
11.如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b).把余下的部分剪拼成一个长方形,从左到右,通过计算阴影部分的面积,验证了一个因式分解的公式,用已知的符号写出这个公式:          .
12.已知a, b, c为三角形的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,那么它的形状是       .
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.因式分解:
(1)x(x-6)+9.
(2)x2(x-y)-(x-y).
14.简便计算:972-194×95+952.
15.如图,约定上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式.
(1)求整式M.
(2)请将整式N分解因式.
16.已知一个长方形的面积是2m2+4m+2,长与宽的比是2∶1,求这个长方形的周长.
17.阅读下面的因式分解并回答问题:
问题:如何将多项式am+an+bm+bn因式分解
分析:由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b),
这样就有am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) .
利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.
请利用上面提供的方法因式分解:2a+6b-3am-9bm.
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.下面是小贤同学把多项式-16my2+4mx2分解因式的具体步骤:
-16my2+4mx2
利用加法交换律变形:=4mx2-16my2……第一步
提取公因式m:=m(4x2-16y2)……第二步
逆用积的乘方公式:=m[(2x)2-(4y)2]……第三步
运用平方差公式因式分解:=m(2x+4y)(2x-4y)……第四步
(1)事实上,小贤的解法是错误的,造成错误的原因是            .
(2)请给出这个问题的正确解法.
19.如图,有长方形和正方形三种类型的卡片,大正方形边长为a,小正方形边长为b,长方形的长为a,宽为b.请你各选取若干张卡片,拼成一个大长方形,使它的面积等于a2+5ab+4b2.请你画出拼出的图形,并说一说你拼成的长方形长与宽各为多少.
20.阅读下列材料:我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等,其中十字相乘法在高中应用较多.
十字相乘法:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.如:将式子x2+3x+2和2x2+x-3分解因式(如图):x2+3x+2=(x+1)(x+2);2x2+x-3=(x-1)(2x+3).
请你仿照以上方法,探索解决下列问题:
(1)分解因式:y2-7y+12.
(2)分解因式:3x2-2x-1.
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.设a1=32-12,a2=52-32,…,an=(2n+1)2-(2n-1)2(n为大于0的自然数).
(1)探究an是否为8的倍数,并用文字语言表述你所获得的结论.
(2)若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是“完全平方数”.试找出a1,a2,…,an,…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数,并指出当n满足什么条件时,an为完全平方数(不必说明理由).
22.阅读下列材料:
已知a2+a-3=0,求a2(a+4)的值.
解:∵a2=3-a,
∴a2(a+4)=(3-a)(a+4)=-a2-a+12=-(3-a)-a+12=9.
故a2(a+4)=9.
根据上述材料的做法,完成下列各小题:
(1)若a2-a-10=0,则2(a+4)(a-5)的值为    .
(2)若x2+4x-1=0,求代数式2x4+8x3-4x2-8x+1的值.
六、解答题(本大题共12分)
23.阅读与理解:
待定系数法:设某一多项式的全部或部分系数为未知数,利用当两个多项式的值相等时,同类项系数相等的原理确定这些系数,从而得到待求的值.
待定系数法可以应用到因式分解中,例如问题:因式分解x3-1.
因为x3-1为三次多项式,若能因式分解,则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积.
故我们可以猜想x3-1可以分解成x3-1=(x-1)(x2+ax+b),展开等式右边得x3+(a-1)x2+(b-a)x-b,根据待定系数法原理,等式两边同类项的对应系数相等,得a-1=0,b-a=0,-b=-1,可以求出a=1,b=1.
所以x3-1=(x-1)(x2+x+1).
(1)若x取任意值,等式x2+2x+3=x2+(3-a)x+s(其中a与s都是常数)恒成立,则a=    .
(2)已知多项式x4+x2+1有因式 x2+x+1,请用待定系数法求出该多项式的另一因式.
(3)请判断多项式x4-x2+1是否能分解成两个整数系数二次多项式的乘积,并说明理由.
参考答案
1.B 2.C 3.A 4.D 5.D 6.B
7.m(m-1) 8.a3-4a=a(a+2)(a-2)(答案不唯一) 9.5 10.70 11.a2-b2=(a+b)(a-b)
12.等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
13.解:(1)x(x-6)+9
=x2-6x+9
=(x-3)2. 3分
(2)x2(x-y)-(x-y)
=(x-y)(x2-1)
=(x-y)(x+1)(x-1). 6分
14.解:原式=972-2×97×95+952 2分
=(97-95)2 4分
=4. 6分
15.解:(1)M=(2x-5)-(-x2+3x-1)
=2x-5+x2-3x+1
=x2-x-4. 2分
(2)N=3x2+2x+1+(-4x2+2x-5)
=3x2+2x+1-4x2+2x-5
=-x2+4x-4
=-(x2-4x+4)
=-(x-2)2. 6分
16.解:∵2m2+4m+2=2(m+1)(m+1),
∴长为2(m+1),宽为m+1, 4分
∴长方形的周长为6m+6. 6分
17.解:2a+6b-3am-9bm
=(2a+6b)-(3am+9bm) 2分
=2(a+3b)-3m(a+3b)
=(a+3b)(2-3m). 6分
18.解:(1)公因式没有提取完. 3分
(2)原式=4m(x2-4y2)
=4m(x+2y)(x-2y). 8分
19.解:如图所示:
4分
由于a2+5ab+4b2=(a+b)(a+4b), 6分
故拼成的长方形宽为a+b,长为a+4b. 8分
20.解:(1)∵,
∴y2-7y+12=(y-3)(y-4). 4分
(2)∵,
∴3x2-2x-1=(x-1)(3x+1). 8分
21.解:(1)∵an=(2n+1)2-(2n-1)2
=4n2+4n+1-4n2+4n-1
=8n. 3分
∵n为大于0的自然数,
∴an是8的倍数.
这个结论用文字语言表述就是两个连续奇数的平方差是8的倍数. 5分
(2)这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16,64,144,256.
当n为一个完全平方数的2倍时,an为完全平方数. 9分
22.解:(1)-20. 4分
提示:由a2-a-10=0可得a2=a+10,
2(a+4)(a-5)=2(a2-a-20)
=2(a+10-a-20)
=-20.
(2)由x2+4x-1=0可得x2=1-4x,
2x4+8x3-4x2-8x+1=2x2(x2+4x-2)-8x+1
=2(1-4x)(1-4x+4x-2)-8x+1
=-2+8x-8x+1
=-1. 9分
23.解:(1)a=1. 2分
(2)设x4+x2+1=(x2+ax+1)(x2+x+1)=x4+(a+1)x3+(a+2)x2+(a+1)x+1,
∴a+1=0,a=-1, 5分
故多项式的另一因式是x2-x+1. 6分
(3)不能. 7分
理由:∵设x4-x2+1=(x2+ax+1)(x2+bx+1)=x4+(a+b)x3+(ab+2)x2+(a+b)x+1,
∴a+b=0,ab+2=-1. 9分
将a=-b代入ab+2=-1,
得b=或-,则a=-或,
∴x4-x2+1=(x2+x+1)(x2-x+1). 12分
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