第五章 分式与分式方程 单元练习 2023-2024学年初中数学北师版八年级下册（含答案）

第五章 分式与分式方程
(时间:120分钟　分值:120分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)
1.下列各式中,是分式的是 (　　)
A. B. C. D.-
2.若分式的值为0,则 (　　)
A.x=±1 B.x=1 C.x=-1 D.x=0
3.不改变分式的值,把它的分子和分母中各项系数都化为整数,则所得结果为 (　　)
A. B. C. D.
4.如图,若x为正整数,则表示1-的值的点落在 (　　)
A.段① B.段② C.段③ D.段④
5.《代数论》里有一个关于农妇卖鸡蛋的故事:两个农妇共带100个鸡蛋上集市,两人所带鸡蛋个数不等,但卖的钱数相同,第一个农妇对第二个农妇说:“如果咱们两人的鸡蛋交换,我可以卖15个克罗索(德国古代的一种货币).”第二个农妇道:“可是如果我们俩的鸡蛋交换,我就只能卖6个克罗索.”试问:这两名农妇各带了多少个鸡蛋 设第一个农妇带了x个鸡蛋,则下列方程正确的是 (　　)
A. = B. =
C. = D. =
6.已知关于x的分式方程-2=的解是正数,那么m的取值范围为 (　　)
A.m>-6且m≠3 B.m<6
C.m>-6且m≠-3 D.m<6且m≠-2
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.若分式有意义,则实数x的取值范围是　　　　.
8.约分: =　　　　　　.
9.化简+的结果是　　　　.
10.如果分式-的值为负数,则y的取值范围是　　　　.
11.已知关于x的分式方程+1=的解为正整数,则满足条件的整数a的值为　　　　.
12.已知关于x的分式方程-=1无解,则m的值为　　　　　　　.
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.计算:
(1)·.
(2)-.
14.解方程:-3=.
15.小青化简分式-时出现了错误,其解答过程如下:
原式=-(第一步)
=(第二步)
=.(第三步)
(1)小青的解答过程是从第　　　　步开始出错的,其错误的原因是　　　　　　　　　.
(2)请写出此题正确的解答过程.
16.先化简,再求值:(a+)÷,然后选一个合适的a值代入求值.
17.为进一步落实“德智体美劳”五育并举工作,某学校八年级一班班主任计划购买甲、乙两种品牌的奖品,在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生.在某百货店用500元购买甲种品牌奖品的数量比购买乙种品牌奖品的数量多30件,已知乙种品牌奖品的销售单价是甲种品牌奖品销售单价的2.5倍.求甲、乙两种品牌奖品的销售单价.
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.阅读理解:(请仔细阅读,认真思考,灵活应用)
【例】已知实数x满足x+=4,求分式的值.
解:观察所求式子的特征,因为x≠0,我们可以先求出的倒数的值,因为=x+3+=x++3=4+3=7,所以=.
【活学活用】
已知实数a满足a+=-5, 求分式的值.
19.已知A=,B=,a≠-2.
(1)若A=1-,求m的值.
(2)若a>0,比较A与B的大小关系.
20.学习分式方程应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程如下:
甲、乙两个工程队,甲队修路400米和乙队修路600米所用的时间相等,乙队每天比甲队多修20米,问甲队每天修路的长度
聪聪: =.
明明: -=20.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)聪聪同学所列方程中的x表示　　　　,明明同学所列方程中的y表示　　　　.
A.甲队每天修路的长度
B.乙队每天修路的长度
C.甲队修路400米所用的时间
(2)你喜欢　　　　　　　列的方程,该方程的等量关系为　　　　　　　　　　　　.
(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.比较×(a+1)与+(a+1)的大小.
(1)尝试(用“<”、“=”或“>”填空):
①当a=-2时,×(a+1)　　　 +(a+1);
②当a=2时,×(a+1)　　　 +(a+1);
③当a=时,×(a+1)　　　 +(a+1).
(2)归纳:若a取不为零的任意实数,×(a+1)与+(a+1)有怎样的大小关系 试说明理由.
22.探索:
(1)如果=3+,那么m=　　　　.
(2)如果=5+,那么m=　　　　.
总结:如果=a+(其中a、b、c为常数),那么m=　　　　.
应用:利用上述结论解决:若代数式的值为整数,求满足条件的整数x的值.
六、解答题(本大题共12分)
23.经销商小李需要购进6000套学生画图工具,为此他考察了甲、乙两个文具加工厂.已知甲厂的加工能力是乙厂的1.5倍,且甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10,还了解到该画图工具在甲厂的出厂价格为6元/套,在乙厂的出厂价格为5.6元/套.
(1)问甲、乙两个加工厂每天能加工这种画图工具各多少套
(2)设甲厂加工这批画图工具x天,乙厂加工这批画图工具y天刚好完成小李所需要购进的套数,求y与x的函数表达式.
(3)经销商小李要求15天内购进这批学生画图工具,则如何安排甲乙两厂加工的天数(甲乙两厂同时开工生产),可使要购进的这批学生画图工具的总费用最低 请求出最低费用.
参考答案
1.C　2.B　3.A　4.B　5.D　6.C
7.x≠3　8.　9.m+n　10.y>1.5　11.-3
12.-8或0或-4　提示:去分母,得(x-2)2-mx=x2-4,
化简得(4+m)x=8.
∵方程无解,
∴当x=-2时,得-2(4+m)=8,
解得m=-8;
当x=2时,得2(m+4)=8,
解得m=0;
当4+m=0时,m=-4.
∴满足条件的m的值为-8或0或-4.
故答案为-8或0或-4.
13.解:(1)原式=·
=. 3分
(2)原式=-
=
=. 6分
14.解:方程两边同乘(x-2),得1-3(x-2)=-(x-1), 2分
即1-3x+6=-x+1, 3分
则-2x=-6, 4分
得x=3. 5分
检验:当x=3时,x-2≠0.
∴原方程的解为x=3. 6分
15.解:(1)二;括号前面是负号,去括号时,括号内的第二项未变号. 2分
(2)原式=-
=
=
=-. 6分
16.解:原式=[+]×
=×
=×
=-. 4分
把a=2代入,原式=-1.(答案不唯一) 6分
17.解:设甲种品牌奖品的销售单价是x元,则乙种品牌奖品的销售单价是2.5x元, 1分
根据题意得-=30, 3分
解得x=10,
经检验,x=10是原方程的解,且符合题意, 4分
∴2.5x=2.5×10=25. 5分
答:甲种品牌奖品的销售单价是10元,乙种品牌奖品的销售单价是25元. 6分
18.(解法不唯一)解:∵a+=-5,
∴原式=3a+5+ 3分
=3(a+)+5 6分
=3×(-5)+5
=-10. 8分
19.解:(1)由A=1-得=1-=,2-m=1,解得m=1. 4分
(2)当a>0时,A-B=<0,所以A20.解:(1)A;C. 2分
(2)聪聪;甲队修路400米和乙队修路600米所用的时间相等. 4分
明明;乙队每天比甲队多修20米. 4分
(3)选第一个方程:=,
解得x=40,
经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意.
答:甲队每天修路的长度为40米. 8分
选第二个方程:-=20,
解得y=10,
经检验,y=10是原分式方程的解,且符合题意,
∴=40.
答:甲队每天修路的长度为40米. 8分
21.解:(1)①=;②=;③=. 3分
(2)a取不为零的任意实数,×(a+1)=+(a+1). 4分
理由:∵a取不为零的任意实数,
×(a+1)=,+(a+1)=+==, 8分
∴a取不为零的任意实数,×(a+1)=+(a+1). 9分
22.解:(1)1. 2分
提示:等式整理得=,即3x+4=3x+3+m,解得m=1.
(2)-13. 4分
提示:等式整理得=,即5x-3=5x+10+m,解得m=-13.
总结:m=b-ac. 6分
应用:==4+,
∵x为整数且为整数,
∴x-1=±1,
∴x=2或0. 9分
23.解:(1)设乙厂每天可加工这种画图工具a套,则甲厂每天可加工这种画图工具1.5a套.
根据题意,可得-=10,
解得a=200.
经检验,a=200是原分式方程的根,
则1.5a=300.
答:甲厂每天可加工这种画图工具300套,乙厂每天可加工这种画图工具200套. 4分
(2)根据题意,得300x+200y=6000,
整理得y=30-x,
∴y与x的函数表达式为y=30-x. 8分
(3)∵15天内购进这批学生画图工具,
∴解得10≤x≤15.
设购进这批学生画图工具的总费用为w元,
根据题意得w=6×300x+5.6×200y=120x+33600,
∴w随x的减小而减小,
∴当x=10时,w有最小值,最小值为34 800元.
答:安排甲厂加工10天,乙厂加工15天总费用最低. 12分
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