2023-2024学年初中数学北师版八年级下册第一章 三角形的证明 单元练习（含答案）

第一章 三角形的证明
(时间:120分钟　分值:120分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则AC的长是 (　　)
A.3.5 B.3 C.2.5 D.2
2.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等,则需要添加的条件是 (　　)
A.AD=CB B.∠A=∠C C.BD=DB D.AB=CD
3.在下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;③AB∶BC∶AC=3∶4∶5;④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是底边BC上的高,下面结论不一定成立的是 (　　)
A.BD=CD B.BD=AD
C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C
5.如图,P为△ABC内一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且点M,N分别在PA,PC的垂直平分线上.若∠ABC=100°,则∠APC的度数为 (　　)
A.145° B.140° C.135° D.130°
6.如图,在4×4的正方形网格中有两个格点A,B,连接AB,在网格中再找一个格点C,使得△ABC是等腰三角形,满足条件的格点C的个数是 (　　)
A.5 B.6 C.8 D.9
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.若等腰三角形的一个底角为52°,则顶角的度数是　　　　.
8.命题“等边三角形的三个角都相等.”这个命题的逆命题是　　　　　　　　　　　　　　.
9.用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角小于或等于45°”,应先假设　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
10.如图,在四边形ABDC中,∠C=90°,CD=4,AB=5,E是图中尺规作图的痕迹的交点,D在射线AE上,则S△ABD=　　　　.
11.如图,AD是等边△ABC底边上的中线,AC的垂直平分线交AC于点E,交AD于点F,若AB=6,则DF的长为　　　.
12.若等腰锐角△ABC的面积为30,其中一边AB=10,则BC=　　　　　　.
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(1)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系=0,请判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)如图,∠B=60°,AB∥DE,EC=ED,求证:△DEC为等边三角形.
14.如图,在△ABC中,AB=AC.D,E,F分别是AB,BC,AC边上的点,BE=CF,∠DEF=∠ABC,求证:DE=EF.
15.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.求证:DE=EC.
16.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中,A,B为格点(小正方形的顶点).请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中,作线段AB的垂直平分线.
(2)在图2中,作∠AOB的平分线.
17.如图,AB∥CD,AC平分∠BAD,BD平分∠ADC,AC和BD交于点E,求证:
(1)△ADE是直角三角形.
(2)△ADC是等腰三角形.
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.如图,在△ABC中,∠B=2∠C,且AD⊥BC于点D.求证:CD=AB+BD.
19.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在CA,BA的延长线上,且BE=CD,连接BD,CE.
(1)求证:∠E=∠D.
(2)若∠BAC=108°,∠D=36°,则图中共有　　　　个等腰三角形.
20.如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,BE与CD相交于点O.现有下列四个条件:①AB=AC;②OB=OC;③∠ABE=∠ACD;④BE=CD.
(1)请你选出两个条件作为题设,余下的两个条件作为结论,写出一个正确的命题:
命题的条件是　　　　　和　　　　　,命题的结论是　　　　和　　　　(均填序号).
(2)证明你写出的命题.
已知:
求证:
证明:
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.在△ABC中,∠B=∠C,D,E分别是线段BC,AC上的一点,且AD=AE.
(1)如图1,若∠BAC=90°,D为BC中点,则∠2的度数为　　　　.
(2)如图2,用等式表示∠1与∠2之间的数量关系,并给予证明.
22.如图,∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P放在射线OM上,两直角边分别与OA,OB交于点C,D.
(1)求证:PC=PD.
(2)若OP=2,求PC的最小值.
六、解答题(本大题共12分)
23.小明剪了一些直角三角形纸片,他取出其中的几张进行了如下的操作:
操作一:
(1)如图1,作斜边AB的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E.如果∠CAD∶∠CDA=1∶2,CD=1 cm,试求AB的长.
操作二:
(2)如图2,小明拿出另一张Rt△ABC纸片,作∠CAB的平分线AD,交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为E,已知两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,请你求出CD的长.
操作三:
(3)如图3,小明又拿出另一张Rt△ABC纸片,将纸片折叠,折痕CD⊥AB于点D,求证:BC2+AD2=AC2+BD2.
参考答案
1.D　2.A　3.C　4.B　5.B　6.C
7.76°　8.三个角都相等的三角形是等边三角形　9.直角三角形中没有一个锐角小于或等于45°
10.10　11.
12.或2或10　提示:过点C作CD⊥AB于点D.
∵△ABC的面积为30,
∴×AB×CD=30,即×10×CD=30,
解得CD=6.
如图1,当CA=CB时,
∵CD⊥AB,
∴AD=DB=AB=5,
∴AC2=BC2=52+62=61,
∴BC=;
如图2,当AB=AC时,
AC2=AB2=100,
在Rt△ACD中,AD==8,
则BD=AB-AD=2,
∴BC2=CD2+BD2=40,
∴BC=2;
如图3,当AB=BC时,BC=10.
综上所述,BC=或2或10,
故答案为或2或10.
13.(1)解:△ABC为直角三角形. 1分
理由:∵=0,
∴c2-a2-b2=0, 2分
即c2=a2+b2,
∴△ABC为直角三角形. 3分
(2)证明:∵AB∥DE,
∴∠DEC=∠B=60°. 1分
∵EC=ED,
∴△DEC为等边三角形. 3分
14.证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB. 1分
∵∠DEF=∠ABC,∠DEC=∠ABC+∠BDE=∠DEF+∠CEF,
∴∠BDE=∠CEF. 3分
在△BDE和△CEF中,
∴△BDE≌△CEF(AAS),
∴DE=EF. 6分
15.证明:如图,连接BE.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴BE=AE,∠ABE=∠A=30°.
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°, 3分
∴∠CBE=∠DBE=30°.
∵DE⊥AB,CE⊥BC,
∴CE=DE. 6分
16.解:(1)如图1,直线CD即为所求. 3分
(2)如图2,射线OP即为所求. 6分
17.证明:(1)∵AB∥CD,
∴∠BAD+∠ADC=180°. 1分
∵AC平分∠BAD,BD平分∠ADC,
∴∠DAE=∠BAD,∠ADE=∠ADC,
∴∠ADE+∠DAE=∠ADC+∠BAD=(∠ADC+∠BAD)=90°, 2分
∴∠AED=180°-(∠ADE+∠DAE)=90°,
∴△ADE是直角三角形. 3分
(2)∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC. 4分
∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD, 5分
∴∠DAC=∠ACD,∴AD=CD,∴△ADC是等腰三角形. 6分
18.证明:如图,在DC上取一点E,使得DE=BD,连接AE.
∵AD⊥BC,
∴AB=AE,BD=DE,
∴∠B=∠AEB. 2分
在△ACE中,∠AEB=∠C+∠CAE,
又∵∠B=2∠C,
∴2∠C=∠C+∠CAE,
∴∠C=∠CAE, 5分
∴AE=CE,∴AB=CE,
∴CD=CE+DE=AB+BD. 8分
19.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. 1分
在△EBC和△DCB中,
,
∴△EBC≌△DCB(SAS), 4分
∴∠E=∠D. 5分
(2)5. 8分
提示:∵∠BAC=108°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=36°.
∵∠D=∠E=36°,
∴∠D=∠BCD,∠E=∠CBE,
∴∠DAB=∠EAC=72°,
∴∠DBA=∠DAB=72°,∠EAC=∠ECA=72°,
∴DB=DA,EA=EC,
∴△ABD,△AEC,△BCD,△BCE,△ABC是等腰三角形.
20.解:(1)答案不唯一,如:①,③;②,④. 2分
(2)已知:D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,BE与CD相交于点O,且AB=AC,∠ABE=∠ACD.
求证:OB=OC,BE=CD. 4分
证明:∵AB=AC,∠ABE=∠ACD,∠A=∠A,
∴△ABE≌△ACD(ASA),∴BE=CD. 6分
又∵∠ABC=∠ACB,
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=∠ABC-∠ABE=∠CBE,
∴△BOC是等腰三角形,
∴OB=OC. 8分
21.解:(1)22.5°. 3分
(2)∠1=2∠2. 4分
证明:∠AED=∠2+∠C,∠ADC=∠B+∠1.
∵AD=AE,
∴∠AED=∠ADE.
∵∠B=∠C,
∴∠B+∠1=∠2+∠C+∠2,
即∠1=2∠2. 9分
22.解:(1)证明:如图,过点P分别作PE⊥OB于点E,PE⊥OA于点F,
∴∠CFP=∠DEP=90°.
∵OM是∠AOB的平分线,
∴PE=PF. 2分
∵∠1+∠FPD=90°,∠AOB=90°,
∴∠FPE=90°,
∴∠2+∠FPD=90°,
∴∠1=∠2. 3分
在△CFP和△DEP中,
∴△CFP≌△DEP(ASA),
∴PC=PD. 5分
(2)由(1)可知,当PC⊥OA,即PC与PF重合时,PC最小. 6分
∵OM平分∠AOB,∠POC=45°=∠OPC,
∴PC=OC.
∵∠PCO=90°,
∴PC2+PC2=OP2,
解得PC=,
即PC的最小值为. 9分
23.解:(1)∵∠CAD∶∠CDA=1∶2,∠C=90°,
∴设∠CAD=x,∠CDA=2x,
∴x+2x=90°,
解得x=30°,故∠CAD=30°.
∵CD=1 cm,
∴AD=2 cm,
故AC=== cm. 3分
∵DE垂直平分AB,∴BD=AD,
∴∠DBA=∠DAB.
∵∠CDA=2x=60°,
∴∠B=30°,
∴AB=2AC=2 cm. 5分
(2)∵AC=6 cm,BC=8 cm,
∴AB==10 cm.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
∴CD=DE,AD=DA,∴△AED≌△ACD(HL),
∴AE=AC=6,∴BE=AB-AE=10-6=4.
设CD=x,则BD=8-x,DE=x.
在Rt△BDE中,由题意可得方程x2+42=(8-x)2,
解得x=3,
故CD=3 cm. 9分
(3)证明:在Rt△BCD中,由勾股定理可得BC2=BD2+CD2,
在Rt△ACD中,由勾股定理可得AD2=AC2-CD2,
故BC2+AD2=BD2+CD2+AC2-CD2=AC2+BD2. 12分
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