2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.2 相似三角形的判定（1） 同步练习
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，P为对角线AC上一点，过点P作AB的平行线，分别与AD，BC相交于E，F，则图中与△AEP相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AE∥BC，
∴△AEP∽△CFP，
∵EP∥CD，
∴△AEP∽△ADC
∵FP∥AB，
∴△CFP∽△CBA，
∴△AEP∽△CBA，
∴图中与△AEP相似相似的三角形有3个．
故答案为：C
【分析】利用平行四边形的性质，可得出AD∥BC，AB∥CD∥EF，抽象基本图形，利用平行可得出相似三角形，即可解答。
2．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，图中与△ADE相似的三角形有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，
∴∠AED=∠DEC=∠ADC=90°，
∵∠ADE+∠CDE=∠CDE+∠ECD=90°，
∴∠ADE=∠DCE，∴△ADE∽△DCE，△ADE∽△ACD；
∴与△ADE相似的三角形有2个；
故答案为：B
【分析】利用垂直的定义，可得出直角相等，再利用同角的余角相等，可得相等的角，然后利用两组角对应相等的三角形相似，可得出图中与△ADE相似的三角形的个数。
3．如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD，AE相交于点F，G．图中共有n对三角形相似（相似比不等于1），则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，
∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，
∵∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，
∴∠CFA=∠BAG，
∴△CAF∽△BGA，
∴△BGA∽△AGF∽△CAF；
∴共有3对．
故答案为：B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出∠BAC=∠EDA=90°，∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，就可证得∠CFA=∠BAG，再利用两组角等于相等的两三角形相似，可证得△BGA∽△AGF∽△CAF，即可得出答案。
4．如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，如果∠1=∠2=∠3，那么图中的相似三角形共有（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵∠A=∠A，∠1=∠3，
∴△ADE∽△ABC．
②∵∠3=∠2，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ADC．
③∵∠A=∠A，∠1=∠2，
∴△ADC∽△ABC．
④∵∠1=∠2，∠BCD=∠CDE，
∴△CDE∽△BCD．
所以有4对．
故答案为：C
【分析】注意图中的隐含条件：∠A=∠A，利用∠1=∠3，可证得DE∥BC，利用平行线的性质，可得出∠BCD=∠CDE，然后利用两组角对应相等的三角形相似，可证得图形所有相似的三角形，即可得出答案。
5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点C作CE∥AB，P是梯形ABCD内一点，连接BP并延长交CD于点F，交CE于点E，再连接PC，已知BP＝PC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠E
C．△PFC∽△PCE D．△EFC∽△ECB
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC＝∠DCB，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴∠ABC－∠PBC＝∠DCB－∠PCB，
∴∠1＝∠2，故A不符合题意，
∵CE∥AB，
∴∠1＝∠E，
∴∠2＝∠E，故B不符合题意；
∵∠CPF＝∠EPC，
∴△PFC∽△PCE，故C不符合题意；
由已知条件不能证明△EFC∽△ECB，
故答案为：D.
【分析】利用等腰梯形的性质及相似三角形的判定定理，对各选项逐一分析判断，可得出答案。
6．（2017·兰州模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD
C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∵∠DCE=∠B，
∴∠ADE=∠DCE，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD；
∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，
∴△DEC∽△CDB；
∵∠B=∠ADE，
但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，
∴△ADE与△DCB不相似；
正确的判断是A、B、D，错误的判断是C；
故答案为：C．
【分析】抓住题中关键的已知条件DE∥BC，得△ADE∽△ABC，还可以得出这两三角形的对应角相等，再由∠DCE=∠B，可以得到△ADE∽△ACD、△DEC∽△CDB，就可以得出答案。
7．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（ ）
A．一定相似 B．当E是AC中点时相似
C．不一定相似 D．无法判断
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：连结OC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵点O为AB的中点，
∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，
∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，
∴∠EOC=∠BOF，
在△COE和△BOF中，
∴△COE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，
∴△OEF∽△△CAB．
故选：A．
【分析】首先连接OC，由等腰直角三角形的性质，易证得△COE≌△BOF，则可得△OEF是等腰直角三角形，继而可得△OEF与△ABC的关系是相似．
8．在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，∠A≠90°，画直线使它把△ABC分成两部分，且使其中一部分与△ABC相似，这样的互不平行的直线有（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：从AC边上的一点可以作两条直角使得其中一部分与△ABC相似，
①∠1=∠B②∠2=∠B均可以使得其中一部分与△ABC相似，
过AC上其他点作的直线均与这两条平行，
同理过AB、BC上一点也可以作两条符合题意的直线，
故有6条直线满足题意．
故答案为：C．
【分析】如图，当∠1=∠B或∠2=∠B均可以使得其中一部分与△ABC相似，因此过AC上其他点作的直线均与这两条平行，因此过AB、BC上一点也可以作两条符合题意的直线，可得出结论。
二、填空题
9．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件： ，使△ABC∽△AED．
【答案】∠AEB=∠B（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠AEB=∠B，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
故添加条件∠AEB=∠B即可以使得△AED∽△ABC，
故答案为：∠AEB=∠B（答案不唯一）
【分析】观察图形，要使△ABC∽△AED，图形中隐含公共角：∠A=∠A，因此可添加其它两组角中的任意一组角，或添加公共角的两边对应成比例，即可解答。
10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE平分∠BAD，则△ABC∽ ，△BAD∽△ACD（写出一个三角形即可）．
【答案】△DBA
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：△ABC∽DBA，
理由是：∵AD⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△DBA，
故答案为：△DBA
【分析】利用已知易证∠ADB=∠BAC，利用相似三角形的判定定理可证得△ABC∽△DBA，可得出结论。
11．（2017九上·温江期末）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
【答案】AB∥DE
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为AB∥DE．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
12．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= ．
【答案】4或6
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故 = = ，
则 = ，
解得：MN=4，
如图2所示：当∠ANM=∠B时，
又∵∠A=∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴ = ，
即 = ，
解得：MN=6，
故答案为：4或6．
【分析】观察图形，结合已知条件，可知使截得的三角形与原三角形相似有两种情况：如图1，当MN∥BC时，如图2所示：当∠ANM=∠B时，分别可证得△AMN∽△ABC，分别得出对应边成比例，就可求出MN的长。
13．过△ABC（AB＞AC）的边AC边上一定点M作直线与AB相交，使得到的新三角形与△ABC相似，这样的直线共有 条．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
过M作MN∥BC交AB于N，△ANM∽△ABC；
过M作∠AMD=∠B，交AB于D，△AMD∽△ABC；
因此符合条件的直线共有2条；
故答案为：2
【分析】根据相似三角形的判定方法，可知过M作MN∥BC交AB于N，△ANM∽△ABC；过M作∠AMD=∠B，交AB于D，△AMD∽△ABC；就可得出符合题意的直线。
14．如图，AD是直角△ABC （∠C=90°）的角平分线，EF⊥AD于D，与AB及AC的延长线分别交于E，F，写出图中的一对全等三角形是 ；一对相似三角形是 ．
【答案】△AED≌△AFD；△AED∽△DFC
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴∠AED=∠DFC，
∵∠FDC+∠CDA=90°，∠CDA+∠CAD=90°，∠DAC=∠DAE，
∴∠FDC=∠DAE，
∴△AED∽△DFC（AA），
故答案为△AED≌△AFD、△AED∽△DFC
【分析】根据已知条件：AD是直角△ABC （∠C=90°）的角平分线，EF⊥AD，易证△AED≌△AFD，利用全等三角形的性质，可证得∠AED=∠DFC，再证明∠FDC=∠DAE，利用两组对应角相等的两三角形相似，可得出△AED∽△DFC。
三、解答题
15．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°.求证：△ABD∽△DCE.
【答案】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠1+∠2＝180°－∠B＝135°，∵∠2+∠ADE+∠3＝180°，∠ADE＝45°，∴∠2+∠3＝180°－∠ADE＝135°，∴∠1＝∠3，∴△ABD∽△DCE
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质，可证∠B＝∠C，利用三角形的内角和定理可求得∠1+∠2=135°，再由∠ADE＝45°，可得出∠2+∠3=135°，从而可得出∠1＝∠3，然后根据两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
16．在矩形ABCD中，F是BC上一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E．根据上述条件，请在图中找出四组相似三角形，并说明其中一组的理由．
【答案】解：根据两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可解决本题．△GDE∽△ADC，△GDE∽△AED，△GCF∽△AGD．∵∠G=∠G，∠GCF=∠GDA，∴△GCF∽△GDA
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用矩形的性质及DE⊥AG，利用两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可解决本题。
17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．
【答案】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出AM=CM，利用等边对等角，可证得∠C=∠CAM，再根据同角的余角相等，可证得∠DAB=∠CAM，就可得出∠DAB=∠C，然后利用两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
18．如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
【答案】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中， ，∴△ADE≌△CDF；②延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF，∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】①利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质，可证得∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，利用同角的余角相等再证明∠ADE=∠CDF，然后利用SAS可证得结论。
②要证△ABG∽△CFG，观察图形，可知对顶角相等，再证明一组对应角相等，因此延长BA到M，交ED于点M，根据全等三角形的性质，可证得∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，可证得∠BAG=∠BCF，然后利用两组角对应相等的三角形相似，可证得结论。
19．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．
【答案】（1）证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=120°．
∴△ACE≌△DCB（SAS）
（2）证明：∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，
∴DC∥BE，
∴∠CDB=∠DBE，
∴∠CAE=∠DBE，
∴∠DAF=∠DBA．
∴△ADF∽△BAD
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质，可证得AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，再证明∠ACE=∠DCB，然后利用SAS可证得结论。
（2）利用全等三角形的性质，可证得∠CAE=∠CDB，再由∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，去证明∠DAF=∠DBA，然后利用两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
20．已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）求证：△AMF∽△ADE；
（3）观察判断BF与AE有怎样的位置关系？
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠D=90°，AB=CD=AD，
∵CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（SAS）
（2）证明：∵△ABF≌△DAE，
∴∠AFM=∠AED，
∵∠MAF=∠DAE，
∴△AMF∽△ADE
（3）解：BF⊥AE．
理由：∵△AMF∽△ADE，
∴∠AMF=∠D=90°，
∴BF⊥AE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可得出∠BAF=∠D=90°，AB=CD=AD，再证明AF=DE，然后利用SAS可证得结论。
（2）根据全等三角形的性质得出∠AFM=∠AED，再利用两组角对应相等的两三角形相似可证得结论。
（3）利用相似三角形的性质，可得对应角相等，即∠AMF=∠D=90°，然后利用垂直的定义，可证得结论。
1 / 12018-2019学年数学沪科版九年级上册22.2 相似三角形的判定（1） 同步练习
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，P为对角线AC上一点，过点P作AB的平行线，分别与AD，BC相交于E，F，则图中与△AEP相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，图中与△ADE相似的三角形有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD，AE相交于点F，G．图中共有n对三角形相似（相似比不等于1），则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，如果∠1=∠2=∠3，那么图中的相似三角形共有（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点C作CE∥AB，P是梯形ABCD内一点，连接BP并延长交CD于点F，交CE于点E，再连接PC，已知BP＝PC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠E
C．△PFC∽△PCE D．△EFC∽△ECB
6．（2017·兰州模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD
C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB
7．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（ ）
A．一定相似 B．当E是AC中点时相似
C．不一定相似 D．无法判断
8．在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，∠A≠90°，画直线使它把△ABC分成两部分，且使其中一部分与△ABC相似，这样的互不平行的直线有（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件： ，使△ABC∽△AED．
10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE平分∠BAD，则△ABC∽ ，△BAD∽△ACD（写出一个三角形即可）．
11．（2017九上·温江期末）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
12．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= ．
13．过△ABC（AB＞AC）的边AC边上一定点M作直线与AB相交，使得到的新三角形与△ABC相似，这样的直线共有 条．
14．如图，AD是直角△ABC （∠C=90°）的角平分线，EF⊥AD于D，与AB及AC的延长线分别交于E，F，写出图中的一对全等三角形是 ；一对相似三角形是 ．
三、解答题
15．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°.求证：△ABD∽△DCE.
16．在矩形ABCD中，F是BC上一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E．根据上述条件，请在图中找出四组相似三角形，并说明其中一组的理由．
17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．
18．如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
19．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．
20．已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）求证：△AMF∽△ADE；
（3）观察判断BF与AE有怎样的位置关系？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AE∥BC，
∴△AEP∽△CFP，
∵EP∥CD，
∴△AEP∽△ADC
∵FP∥AB，
∴△CFP∽△CBA，
∴△AEP∽△CBA，
∴图中与△AEP相似相似的三角形有3个．
故答案为：C
【分析】利用平行四边形的性质，可得出AD∥BC，AB∥CD∥EF，抽象基本图形，利用平行可得出相似三角形，即可解答。
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，
∴∠AED=∠DEC=∠ADC=90°，
∵∠ADE+∠CDE=∠CDE+∠ECD=90°，
∴∠ADE=∠DCE，∴△ADE∽△DCE，△ADE∽△ACD；
∴与△ADE相似的三角形有2个；
故答案为：B
【分析】利用垂直的定义，可得出直角相等，再利用同角的余角相等，可得相等的角，然后利用两组角对应相等的三角形相似，可得出图中与△ADE相似的三角形的个数。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，
∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，
∵∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，
∴∠CFA=∠BAG，
∴△CAF∽△BGA，
∴△BGA∽△AGF∽△CAF；
∴共有3对．
故答案为：B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出∠BAC=∠EDA=90°，∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，就可证得∠CFA=∠BAG，再利用两组角等于相等的两三角形相似，可证得△BGA∽△AGF∽△CAF，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵∠A=∠A，∠1=∠3，
∴△ADE∽△ABC．
②∵∠3=∠2，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ADC．
③∵∠A=∠A，∠1=∠2，
∴△ADC∽△ABC．
④∵∠1=∠2，∠BCD=∠CDE，
∴△CDE∽△BCD．
所以有4对．
故答案为：C
【分析】注意图中的隐含条件：∠A=∠A，利用∠1=∠3，可证得DE∥BC，利用平行线的性质，可得出∠BCD=∠CDE，然后利用两组角对应相等的三角形相似，可证得图形所有相似的三角形，即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC＝∠DCB，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴∠ABC－∠PBC＝∠DCB－∠PCB，
∴∠1＝∠2，故A不符合题意，
∵CE∥AB，
∴∠1＝∠E，
∴∠2＝∠E，故B不符合题意；
∵∠CPF＝∠EPC，
∴△PFC∽△PCE，故C不符合题意；
由已知条件不能证明△EFC∽△ECB，
故答案为：D.
【分析】利用等腰梯形的性质及相似三角形的判定定理，对各选项逐一分析判断，可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∵∠DCE=∠B，
∴∠ADE=∠DCE，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD；
∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，
∴△DEC∽△CDB；
∵∠B=∠ADE，
但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，
∴△ADE与△DCB不相似；
正确的判断是A、B、D，错误的判断是C；
故答案为：C．
【分析】抓住题中关键的已知条件DE∥BC，得△ADE∽△ABC，还可以得出这两三角形的对应角相等，再由∠DCE=∠B，可以得到△ADE∽△ACD、△DEC∽△CDB，就可以得出答案。
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：连结OC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵点O为AB的中点，
∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，
∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，
∴∠EOC=∠BOF，
在△COE和△BOF中，
∴△COE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，
∴△OEF∽△△CAB．
故选：A．
【分析】首先连接OC，由等腰直角三角形的性质，易证得△COE≌△BOF，则可得△OEF是等腰直角三角形，继而可得△OEF与△ABC的关系是相似．
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：从AC边上的一点可以作两条直角使得其中一部分与△ABC相似，
①∠1=∠B②∠2=∠B均可以使得其中一部分与△ABC相似，
过AC上其他点作的直线均与这两条平行，
同理过AB、BC上一点也可以作两条符合题意的直线，
故有6条直线满足题意．
故答案为：C．
【分析】如图，当∠1=∠B或∠2=∠B均可以使得其中一部分与△ABC相似，因此过AC上其他点作的直线均与这两条平行，因此过AB、BC上一点也可以作两条符合题意的直线，可得出结论。
9．【答案】∠AEB=∠B（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠AEB=∠B，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
故添加条件∠AEB=∠B即可以使得△AED∽△ABC，
故答案为：∠AEB=∠B（答案不唯一）
【分析】观察图形，要使△ABC∽△AED，图形中隐含公共角：∠A=∠A，因此可添加其它两组角中的任意一组角，或添加公共角的两边对应成比例，即可解答。
10．【答案】△DBA
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：△ABC∽DBA，
理由是：∵AD⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△DBA，
故答案为：△DBA
【分析】利用已知易证∠ADB=∠BAC，利用相似三角形的判定定理可证得△ABC∽△DBA，可得出结论。
11．【答案】AB∥DE
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为AB∥DE．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
12．【答案】4或6
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故 = = ，
则 = ，
解得：MN=4，
如图2所示：当∠ANM=∠B时，
又∵∠A=∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴ = ，
即 = ，
解得：MN=6，
故答案为：4或6．
【分析】观察图形，结合已知条件，可知使截得的三角形与原三角形相似有两种情况：如图1，当MN∥BC时，如图2所示：当∠ANM=∠B时，分别可证得△AMN∽△ABC，分别得出对应边成比例，就可求出MN的长。
13．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
过M作MN∥BC交AB于N，△ANM∽△ABC；
过M作∠AMD=∠B，交AB于D，△AMD∽△ABC；
因此符合条件的直线共有2条；
故答案为：2
【分析】根据相似三角形的判定方法，可知过M作MN∥BC交AB于N，△ANM∽△ABC；过M作∠AMD=∠B，交AB于D，△AMD∽△ABC；就可得出符合题意的直线。
14．【答案】△AED≌△AFD；△AED∽△DFC
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴∠AED=∠DFC，
∵∠FDC+∠CDA=90°，∠CDA+∠CAD=90°，∠DAC=∠DAE，
∴∠FDC=∠DAE，
∴△AED∽△DFC（AA），
故答案为△AED≌△AFD、△AED∽△DFC
【分析】根据已知条件：AD是直角△ABC （∠C=90°）的角平分线，EF⊥AD，易证△AED≌△AFD，利用全等三角形的性质，可证得∠AED=∠DFC，再证明∠FDC=∠DAE，利用两组对应角相等的两三角形相似，可得出△AED∽△DFC。
15．【答案】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠1+∠2＝180°－∠B＝135°，∵∠2+∠ADE+∠3＝180°，∠ADE＝45°，∴∠2+∠3＝180°－∠ADE＝135°，∴∠1＝∠3，∴△ABD∽△DCE
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质，可证∠B＝∠C，利用三角形的内角和定理可求得∠1+∠2=135°，再由∠ADE＝45°，可得出∠2+∠3=135°，从而可得出∠1＝∠3，然后根据两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
16．【答案】解：根据两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可解决本题．△GDE∽△ADC，△GDE∽△AED，△GCF∽△AGD．∵∠G=∠G，∠GCF=∠GDA，∴△GCF∽△GDA
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用矩形的性质及DE⊥AG，利用两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可解决本题。
17．【答案】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出AM=CM，利用等边对等角，可证得∠C=∠CAM，再根据同角的余角相等，可证得∠DAB=∠CAM，就可得出∠DAB=∠C，然后利用两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
18．【答案】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中， ，∴△ADE≌△CDF；②延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF，∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】①利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质，可证得∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，利用同角的余角相等再证明∠ADE=∠CDF，然后利用SAS可证得结论。
②要证△ABG∽△CFG，观察图形，可知对顶角相等，再证明一组对应角相等，因此延长BA到M，交ED于点M，根据全等三角形的性质，可证得∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，可证得∠BAG=∠BCF，然后利用两组角对应相等的三角形相似，可证得结论。
19．【答案】（1）证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=120°．
∴△ACE≌△DCB（SAS）
（2）证明：∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，
∴DC∥BE，
∴∠CDB=∠DBE，
∴∠CAE=∠DBE，
∴∠DAF=∠DBA．
∴△ADF∽△BAD
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质，可证得AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，再证明∠ACE=∠DCB，然后利用SAS可证得结论。
（2）利用全等三角形的性质，可证得∠CAE=∠CDB，再由∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，去证明∠DAF=∠DBA，然后利用两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠D=90°，AB=CD=AD，
∵CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（SAS）
（2）证明：∵△ABF≌△DAE，
∴∠AFM=∠AED，
∵∠MAF=∠DAE，
∴△AMF∽△ADE
（3）解：BF⊥AE．
理由：∵△AMF∽△ADE，
∴∠AMF=∠D=90°，
∴BF⊥AE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可得出∠BAF=∠D=90°，AB=CD=AD，再证明AF=DE，然后利用SAS可证得结论。
（2）根据全等三角形的性质得出∠AFM=∠AED，再利用两组角对应相等的两三角形相似可证得结论。
（3）利用相似三角形的性质，可得对应角相等，即∠AMF=∠D=90°，然后利用垂直的定义，可证得结论。
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