湘教版九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质（2）同步练习
一、选择题
1．如图，AB∥CD，AE∥FD，则图中的相似三角形共有（ ）
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
2．如图，在△ABC中，已知EF∥BC， = ，四边形BCFE的面积为8，则△ABC的面积等于（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
3．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则 的值为（ ）
A．1 B． C． -1 D． +1
4．如图，在菱形ABCD中，点E为边AD的中点，且∠ABC=60°，AB=6，BE交AC于点F，则AF=（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
5．（2017·邵阳模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
6．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，射线CE、BA交于点F，下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2018·嘉定模拟）如图，在平行四边形 中，点 在边 上，联结 并延长交 的延长线于点 ，若 ，那么下列结论中正确的是（ ）
A． ； B． ；
C． ； D． .
8．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=9：16，则DE：BC为（ ）
A．2：3 B．3：4 C．9：16 D．1：2
9．如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=2：3，则S△DEF：S△ABF=（ ）
A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25
10．在△ABC中，边BC=6，高AD=4，正方形EFGH的顶点E、F在边BC上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（ ）
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
二、填空题
11．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形有 对．
12．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形： ．
13．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=2：3，则△ADE与△ABC的面积之比为 ．
14．如图，在 ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为 ．
15．如图，在△ABC中，DE∥BC， = ，则 = ．
16．如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF：GF=1：2，那么矩形DEFG的周长是 ．
三、解答题
17．已知如图：DE∥BC，并分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE∽△ABC．
18．如图，已知△ABC中，四边形DEGF为正方形，D、E在线段AC、BC上，F、G在AB上，如果S△ADF=S△CDE=1，S△BEG=3，求△ABC的面积．
19．如图，已知梯形上下底边的长分别为36和60，高为32，这个梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别是多少？
20．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2cm，BD=3cm．
（1）求 的值．
（2）若梯形BCED的面积为63cm2，求△ADE的面积．
21．已知：如图，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF AB．
22．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F，求证：OE=OF．
23．如图，平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE与AD相交于点F，若BC=8，CD=3，AE=1．求：AF的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：AB∥CD，AE∥FD
∴图中4个三角形均相似，
从4个中任选2个均相似，
故有C42对相似三角形，故有6对，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理，然后得出有6对相似三角形。
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴ =
∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC
∴ =（ ）2=
∴S△ABC=9S△AEF
∵S四边形BCFE=S△ABC﹣S△AEF=8S△AEF=8
∴S△AEF=1
∴S△ABC=9
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形面积比等于边长比的平方，然后通过S四边形BCFE=S△ABC﹣S△AEF，求出S△ABC。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴（ ）2= ．
∵S△ADE=S四边形BCED，
∴ = ，
∴ = = = ﹣1．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理求出△ADE∽△ABC，根据对应边成比例求得比值。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，AD=AB=BC=6且∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=6
∵点E为边AD的中点
∴AE=DE=3
∵AD∥BC
∴△AEF∽△BFC
∴ = =
∴CF=2AF
∵AC=CF+AF=3AF=6
∴AF=2
故答案为：B．
【分析】通过相似三角形的判定定理得△AEF∽△BFC，然后通过对应边成比例，求出AF的值。
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形的对边平行得出DC∥AB，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截出的三角形与原三角形相似，再由相似三角形面积的比等于相似比的平方得出答案。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵△AEF∽△EDC，∴ ，此选项不符合题意；
B、∵△AEF∽△EDC，∴ ，此选项不符合题意；
C、∵△AEF∽△EDC，∴ ，∵AE∥BC，∴ ，∴ ，此选项符合题意；
D、∵△AEF∽△EDC，∴ ，此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由△AEF∽△EDC以及AE∥BC，得出C符合题意。
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC
∴△ADE∽△FCE
∴AD：FC=AE：FE=DE：CE
∵AD=3FC
∴AD：FC=3：1
∴FC：FB=1：4，故A不符合题意；
∴CE：CD=1：4，故B不符合题意；
∴CE：AB=CE：CD=1：4，故C符合题意；
∴AE：AF=3：4，故D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得出AD∥BC，AD=BC，AB=DC，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△FCE，根据相似三角形对应边成比例得出AD：FC=AE：FE=DE：CE，又根据AD=3FC，从而得出AD：FC=3：1，进一步就可以一一作出判断。
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△DOE∽△BOC，
∴ =（ ）2
∴
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的面积比是对应边比的平方求解。
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD=AB．
∴△DFE∽△BFA，
∴S△DEF：S△ABF=DE2：AB2，
∵DE：EC=2：3，
∴DE：DC=DE：AB=2：5，
∴S△DEF：S△ABF=4：25
故选：D．
【分析】据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形EFMN是正方形，
∴EH∥BC，EH=EF，
∴△AEH∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AD⊥BC，EH=EF=MD，
∴ = ，
设EH=x，则AM=3﹣x，
∴ = ，
解得：x=2.4，
∴EH=2.4．
答：这个正方形的边长为2.4．
故答案为：C．
【分析】通过相似三角形的对应边成比例，设EH为x，通过比例解出x的值。
11．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴△DCE∽△BAE，△DCA∽△FEA，△BDA∽△DFE，
∴共有3对相似三角形；
故答案为：3
【分析】通过AB∥CD∥EF，利用对应角相等得到3对相似三角形。
12．【答案】△ADF∽△ECF
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CE，
∴△ADF∽△ECF．
故答案为：△ADF∽△ECF
【分析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以可找到两对对应角相等，求出△ADF∽△ECF。
13．【答案】4：9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=4：9，
故答案为：4：9
【分析】根据相似三角形面积比等于对应边比的平方进行解答即可。
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵3AE=2EB，
∴可设AE=2a、BE=3a，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ =（ ）2=（ ）2= ，
∵S△AEF=1，
∴S△ABC= ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC=S△ABC= ，
∵EF∥BC，
∴ = = = ，
∴ = = ，
∴S△ADF= S△ADC= × = ，
故答案为： ．
【分析】根据相似三角形的比例关系，找出面积关系，求出S△ADF。
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = = ．
故答案为：
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解。
16．【答案】18
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设EF=x，则GF=2x，
根据题意得： = ，
解得：x=3，
矩形DEFG的周长为（2x+x）×2=6x=18．
故答案为：18
【分析】设EF为x，利用比例关系，求出EF、GF的值，求出周长。
17．【答案】证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由平行可得，对应角对应相等，即可证△ADE∽△ABC。
18．【答案】解：过C作CH⊥AB于H，交DE于M，
设AF=a，正方形DFGE的边长为b，CM=h，
∴S△CDE= bh=1，S△AFD= ab=1，
∴a=h，∴CH=h+b=a+b，
∵S△BEG= BG b=3，
∴GB=3a，
∴S△ABC= AB CH= （a+b+3a）（a+b）=b2+5，
∵ab=2，
∴2a2+ b2=b2，
∴b=2a，
∴ bb=2，
∴b2=4，
∴S△ABC=b2+5=9．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设出AF=a，正方形DFGE的边长为b，利用S△ADF=S△CDE=1，S△BEG=3，求出a、b的值，求出正方形DFGE的面积，从而得知△ABC的面积。
19．【答案】解：如图，
设两腰的延长线交于点E，过E作EG⊥CD，交AB于点F，交CD于点G，则EF⊥AB，FG=32，
∵AB∥CD，
∴△EAB∽△EDC，
∴ = ，且EG=EF+FG=EF+32，
∴ = ，
解得EF=48，
则EG=48+32=80，
即梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别为48和32．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据对应角相等，得出△EAB∽△EDC，通过对应边成比例，用EF表示出EG，求出两个距离。
20．【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵AD=2cm，BD=3cm，
∴ =
（2）解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ =（ ）2= ，
∵梯形BCED的面积为63cm2，
∴S△ADE=12cm2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例，求出比值。（2）相似三角形的面积比等于边长比的平方，得到比值，求出梯形BCED的面积。
21．【答案】证明：∵DE∥BC，EF∥CD，∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴AD：AB=AE：AC，AF：AD=AE：AC，∴AD：AB=AF：AD，∴AD2=AF AB．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据条件，求出△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，通过对应边的比例关系，计算得出AD2=AF AB。
22．【答案】证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴OA：OC=OA：OB，∴OA：AC=OD：BD，∵EF∥BC，∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，∴OE：BC=OA：AC，OF：BC=OD：BD，∴OE：BC=OF：BC，∴OE=OF．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据对应边成比例，求得△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，然后通过对应边的比列，解得OE=OF。
23．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=3，
∴△EAF∽△EBC，
∴ ，
∵BC=8，CD=3，AE=1，
∴BE=4，
∴ ，
∴AF=2．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据题中的条件，可证明△EAF∽△EBC，再根据对应边成比例，求出AF的值。
1 / 1湘教版九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质（2）同步练习
一、选择题
1．如图，AB∥CD，AE∥FD，则图中的相似三角形共有（ ）
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：AB∥CD，AE∥FD
∴图中4个三角形均相似，
从4个中任选2个均相似，
故有C42对相似三角形，故有6对，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理，然后得出有6对相似三角形。
2．如图，在△ABC中，已知EF∥BC， = ，四边形BCFE的面积为8，则△ABC的面积等于（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴ =
∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC
∴ =（ ）2=
∴S△ABC=9S△AEF
∵S四边形BCFE=S△ABC﹣S△AEF=8S△AEF=8
∴S△AEF=1
∴S△ABC=9
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形面积比等于边长比的平方，然后通过S四边形BCFE=S△ABC﹣S△AEF，求出S△ABC。
3．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则 的值为（ ）
A．1 B． C． -1 D． +1
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴（ ）2= ．
∵S△ADE=S四边形BCED，
∴ = ，
∴ = = = ﹣1．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理求出△ADE∽△ABC，根据对应边成比例求得比值。
4．如图，在菱形ABCD中，点E为边AD的中点，且∠ABC=60°，AB=6，BE交AC于点F，则AF=（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，AD=AB=BC=6且∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=6
∵点E为边AD的中点
∴AE=DE=3
∵AD∥BC
∴△AEF∽△BFC
∴ = =
∴CF=2AF
∵AC=CF+AF=3AF=6
∴AF=2
故答案为：B．
【分析】通过相似三角形的判定定理得△AEF∽△BFC，然后通过对应边成比例，求出AF的值。
5．（2017·邵阳模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形的对边平行得出DC∥AB，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截出的三角形与原三角形相似，再由相似三角形面积的比等于相似比的平方得出答案。
6．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，射线CE、BA交于点F，下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵△AEF∽△EDC，∴ ，此选项不符合题意；
B、∵△AEF∽△EDC，∴ ，此选项不符合题意；
C、∵△AEF∽△EDC，∴ ，∵AE∥BC，∴ ，∴ ，此选项符合题意；
D、∵△AEF∽△EDC，∴ ，此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由△AEF∽△EDC以及AE∥BC，得出C符合题意。
7．（2018·嘉定模拟）如图，在平行四边形 中，点 在边 上，联结 并延长交 的延长线于点 ，若 ，那么下列结论中正确的是（ ）
A． ； B． ；
C． ； D． .
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC
∴△ADE∽△FCE
∴AD：FC=AE：FE=DE：CE
∵AD=3FC
∴AD：FC=3：1
∴FC：FB=1：4，故A不符合题意；
∴CE：CD=1：4，故B不符合题意；
∴CE：AB=CE：CD=1：4，故C符合题意；
∴AE：AF=3：4，故D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得出AD∥BC，AD=BC，AB=DC，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△FCE，根据相似三角形对应边成比例得出AD：FC=AE：FE=DE：CE，又根据AD=3FC，从而得出AD：FC=3：1，进一步就可以一一作出判断。
8．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=9：16，则DE：BC为（ ）
A．2：3 B．3：4 C．9：16 D．1：2
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△DOE∽△BOC，
∴ =（ ）2
∴
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的面积比是对应边比的平方求解。
9．如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=2：3，则S△DEF：S△ABF=（ ）
A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD=AB．
∴△DFE∽△BFA，
∴S△DEF：S△ABF=DE2：AB2，
∵DE：EC=2：3，
∴DE：DC=DE：AB=2：5，
∴S△DEF：S△ABF=4：25
故选：D．
【分析】据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．
10．在△ABC中，边BC=6，高AD=4，正方形EFGH的顶点E、F在边BC上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（ ）
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形EFMN是正方形，
∴EH∥BC，EH=EF，
∴△AEH∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AD⊥BC，EH=EF=MD，
∴ = ，
设EH=x，则AM=3﹣x，
∴ = ，
解得：x=2.4，
∴EH=2.4．
答：这个正方形的边长为2.4．
故答案为：C．
【分析】通过相似三角形的对应边成比例，设EH为x，通过比例解出x的值。
二、填空题
11．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形有 对．
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴△DCE∽△BAE，△DCA∽△FEA，△BDA∽△DFE，
∴共有3对相似三角形；
故答案为：3
【分析】通过AB∥CD∥EF，利用对应角相等得到3对相似三角形。
12．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形： ．
【答案】△ADF∽△ECF
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CE，
∴△ADF∽△ECF．
故答案为：△ADF∽△ECF
【分析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以可找到两对对应角相等，求出△ADF∽△ECF。
13．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=2：3，则△ADE与△ABC的面积之比为 ．
【答案】4：9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=4：9，
故答案为：4：9
【分析】根据相似三角形面积比等于对应边比的平方进行解答即可。
14．如图，在 ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵3AE=2EB，
∴可设AE=2a、BE=3a，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ =（ ）2=（ ）2= ，
∵S△AEF=1，
∴S△ABC= ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC=S△ABC= ，
∵EF∥BC，
∴ = = = ，
∴ = = ，
∴S△ADF= S△ADC= × = ，
故答案为： ．
【分析】根据相似三角形的比例关系，找出面积关系，求出S△ADF。
15．如图，在△ABC中，DE∥BC， = ，则 = ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = = ．
故答案为：
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解。
16．如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF：GF=1：2，那么矩形DEFG的周长是 ．
【答案】18
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设EF=x，则GF=2x，
根据题意得： = ，
解得：x=3，
矩形DEFG的周长为（2x+x）×2=6x=18．
故答案为：18
【分析】设EF为x，利用比例关系，求出EF、GF的值，求出周长。
三、解答题
17．已知如图：DE∥BC，并分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE∽△ABC．
【答案】证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由平行可得，对应角对应相等，即可证△ADE∽△ABC。
18．如图，已知△ABC中，四边形DEGF为正方形，D、E在线段AC、BC上，F、G在AB上，如果S△ADF=S△CDE=1，S△BEG=3，求△ABC的面积．
【答案】解：过C作CH⊥AB于H，交DE于M，
设AF=a，正方形DFGE的边长为b，CM=h，
∴S△CDE= bh=1，S△AFD= ab=1，
∴a=h，∴CH=h+b=a+b，
∵S△BEG= BG b=3，
∴GB=3a，
∴S△ABC= AB CH= （a+b+3a）（a+b）=b2+5，
∵ab=2，
∴2a2+ b2=b2，
∴b=2a，
∴ bb=2，
∴b2=4，
∴S△ABC=b2+5=9．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设出AF=a，正方形DFGE的边长为b，利用S△ADF=S△CDE=1，S△BEG=3，求出a、b的值，求出正方形DFGE的面积，从而得知△ABC的面积。
19．如图，已知梯形上下底边的长分别为36和60，高为32，这个梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别是多少？
【答案】解：如图，
设两腰的延长线交于点E，过E作EG⊥CD，交AB于点F，交CD于点G，则EF⊥AB，FG=32，
∵AB∥CD，
∴△EAB∽△EDC，
∴ = ，且EG=EF+FG=EF+32，
∴ = ，
解得EF=48，
则EG=48+32=80，
即梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别为48和32．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据对应角相等，得出△EAB∽△EDC，通过对应边成比例，用EF表示出EG，求出两个距离。
20．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2cm，BD=3cm．
（1）求 的值．
（2）若梯形BCED的面积为63cm2，求△ADE的面积．
【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵AD=2cm，BD=3cm，
∴ =
（2）解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ =（ ）2= ，
∵梯形BCED的面积为63cm2，
∴S△ADE=12cm2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例，求出比值。（2）相似三角形的面积比等于边长比的平方，得到比值，求出梯形BCED的面积。
21．已知：如图，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF AB．
【答案】证明：∵DE∥BC，EF∥CD，∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴AD：AB=AE：AC，AF：AD=AE：AC，∴AD：AB=AF：AD，∴AD2=AF AB．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据条件，求出△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，通过对应边的比例关系，计算得出AD2=AF AB。
22．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F，求证：OE=OF．
【答案】证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴OA：OC=OA：OB，∴OA：AC=OD：BD，∵EF∥BC，∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，∴OE：BC=OA：AC，OF：BC=OD：BD，∴OE：BC=OF：BC，∴OE=OF．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据对应边成比例，求得△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，然后通过对应边的比列，解得OE=OF。
23．如图，平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE与AD相交于点F，若BC=8，CD=3，AE=1．求：AF的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=3，
∴△EAF∽△EBC，
∴ ，
∵BC=8，CD=3，AE=1，
∴BE=4，
∴ ，
∴AF=2．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据题中的条件，可证明△EAF∽△EBC，再根据对应边成比例，求出AF的值。
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