2023-2024学年初中数学沪科版七年级下册第9章 分式 单元练习 （含答案）

第9章 分式
(时间:100分钟　分值:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
每小题都给出A、B、C、D四个选项,其中只有一个是正确的,请把正确答案的代号填在下表中.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.下列代数式中,是分式的是(　　)
A. B. C. D.
2.分式,,的最简公分母是(　　)
A.x B.x2 C.x3 D.2x3
3.若分式的值为零,则x等于(　　)
A.0 B.2 C.±2 D.-2
4.如果把分式中的x,y都扩大2倍,那么分式的值(　　)
A.扩大2倍 B.不变
C.缩小2倍 D.扩大4倍
5.下列等式是四位同学解方程-1=的过程中去分母的一步,其中正确的是(　　)
A.x-1=2x B.x-1=-2x
C.x-x-1=-2x D.x-x+1=-2x
6.计算(x-1)÷(1-)·x的结果是(　　)
A.x2 B.-1 C.-x2 D.1
7.若表示一个整数,则整数x可取值的个数是(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.8个
8.已知m2-4m+1=0,则分式的值是(　　)
A.7 B.14 C. D.
9.端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产的传统节日,吃粽子是端午节的习俗之一.某大型商超蛋黄粽的进价比凤梨粽的进价每盒便宜10元,用6000元购进蛋黄粽的盒数和用8000元购进凤梨粽的盒数相同,设蛋黄粽每盒的进价为x元,可列方程为(　　)
A.= B.=
C.= D.=
10.若关于x的分式方程=1-的解为负数,且关于y的一元一次不等式组无解,则满足条件的整数a的值之和是(　　)
A.-6 B.-8 C.-9 D.-10
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.若分式有意义,则实数x的取值范围是　　　　.
12.化简:+=　　　　.
13.若+=2,则=　　　　.
14.已知关于x的方程-=1.
(1)若该方程有增根,则a=　　　　.
(2)若该方程无解,则a=　　　　.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:
(1)÷·. (2)+.
16.解下列方程:
(1)+1=;
(2)-=-2.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.先化简,再求值:÷(+2),其中a=.
18.观察以下等式:
(-1)×=(-1)+;
(-2)×=(-2)+;
(-3)×=(-3)+;
(-4)×=(-4)+.
(1)依此规律进行下去,第5个等式为　　　　　　　,猜想第n个等式为　　　　　　　(n为正整数).
(2)请利用分式的运算证明你的猜想.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.已知关于x的分式方程-2=的解为正数,求实数m的取值范围.
20.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽
六、(本题满分12分)
21.为进一步落实“双减”政策,某学校七年级计划购买甲、乙两种品牌的水彩笔,用于学生课外美术活动.在某商超用500元购买甲种品牌水彩笔的数量比购买乙种品牌水彩笔的数量多30盒,已知乙种品牌水彩笔的销售单价是甲种品牌水彩笔销售单价的2.5倍.
(1)求甲、乙两种品牌水彩笔的销售单价.
(2)若该学校七年级实际共需购买甲、乙两种品牌的水彩笔60盒,且总购买金额不超过900元,求在该商超购买甲种品牌水彩笔的数量至少是多少盒
七、(本题满分12分)
22.阅读下列解题过程:
已知=,求的值.
解:由=,知x≠0,所以=3,即x+=3,
所以=x2+=(x+)2-2=32-2=7,
所以的值为7的倒数,即.
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”,然后求出待求式子倒数的值,我们把此题的这种解法叫做“倒数法”,请你利用“倒数法”解决下列问题:
(1)已知=,求的值.
(2)已知=2,=,=,求的值.
八、(本题满分14分)
23.在数学的学习过程中,通常是利用已有的知识与经验,通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括,从而发现数学规律,揭示研究对象的本质特征.
比如在学习“同底数幂的乘法法则”过程中,利用有理数的乘方概念和乘法结合律,可由“特殊”抽象概括出“一般”,具体如下:
22×23=25,23×24=27,22×26=28,…,2m·2n=2m+n,…则am·an=am+n(m、n都是正整数).
我们亦知:<,<,<,<…
(1)请你根据上面的材料,用字母a,b,c(a>b>0,c>0)归纳出一个数学关系式.
(2)请尝试说明(1)中关系式的正确性.
(3)试用(1)中你归纳的数学关系式,解释生活中的一个常见现象:若m克糖水里含有n克糖,再加入k克糖,则糖水更甜了.
参考答案
1.A　2.D　3.D　4.B　5.D　6.A　7.C　8.D　9.B
10.C　提示:关于x的分式方程=1-可化为ax-3=x+1-2,即(a-1)x=2,解得x=(a≠1).因为x=-1是分式方程的增根,所以x=-1是方程(a-1)x=2的根,即a=-1,所以a≠-1.又因为分式方程的解为负数,即<0,所以a-1<0,即a<1,且a≠-1.由无解,得a≥-4,所以-4≤a<1,且a≠-1,所以满足条件的整数a的值之和是-4-3-2+0=-9.故选C.
11.x≠2023　12.-a-b　13.
14.(1)-3　(2)-3或1　提示:(1)方程两边同时乘(x-1),得ax+1+2=x-1.因为原方程有增根,所以x-1=0.解得x=1.将x=1代入整式方程得a+1+2=0,解得a=-3.
(2)方程两边同时乘(x-1),得ax+1+2=x-1,整理得(a-1)x=-4.因为方程无解,所以有以下两种情况:①方程有增根x=1,所以a=-3;②当x的系数为0,即a=1时,方程为0=-4,方程无解.综上所述,a的值为-3或1.
15.解:(1)原式=-··=-. 4分
(2)原式==. 8分
16.解:(1)+1=,
整理,得+1=,
方程两边都乘2(x+3),得4x+2(x+3)=7,
解得x=. 3分
检验:当x=时,2(x+3)≠0,
所以x=是原方程的解. 4分
(2)-=-2,
方程两边都乘x-2,得3+x=-2(x-2),
解得x=. 7分
检验:当x=时,x-2≠0,
所以x=是原方程的解. 8分
17.解:原式=÷(+)
=· 2分
=, 6分
当a=时,原式==-3. 8分
18.解:(1)(-5)×=(-5)+;(-n)×=(-n)+. 4分
(2)证明:左边=,
右边===, 6分
左边=右边,
故猜想(-n)×=(-n)+正确. 8分
19.解:去分母,得x-2(x-3)=m,
化简,得x=-m+6. 2分
因为方程的解为正数,所以-m+6>0, 4分
解得m<6. 6分
因为x-3≠0,即-m+6-3≠0,
解得m≠3, 8分
所以若方程-2=的解为正数,
则m的取值范围为m<6且m≠3. 10分
20.解:设6210文能买x株椽,
依题意得3(x-1)=, 4分
解得x=46或x=-45(舍去),
经检验,x=46是原方程的解, 8分
所以x=46.
答:6210文能买46株椽. 10分
21.解:(1)设甲种品牌水彩笔的销售单价是x元,则乙种品牌水彩笔的销售单价是2.5x元,
根据题意,得-=30,
解得x=10. 4分
经检验,x=10是原方程的解,且符合题意,
所以2.5x=2.5×10=25.
答:甲种品牌水彩笔的销售单价是10元,乙种品牌水彩笔的销售单价是25元. 7分
(2)设在该商超购买甲种品牌水彩笔m盒,则购买乙种品牌水彩笔(60-m)盒,
所以10m+25(60-m)≤900,
解得m≥40.
答:在该商超购买甲种品牌水彩笔的数量至少是40盒. 12分
22.解:(1)由=,得到=x+-1=7,即x+=8, 4分
则原式====. 6分
(2)根据题意得=+=,=+=,=+=, 8分
可得++=1, 10分
则原式==1. 12分
23.解:(1)<. 4分
(2)因为-==, 8分
因为a>b>0,c>0,所以a+c>0,b-a<0,
所以<0,所以<. 10分
(3)因为原来糖水里含糖率为,加入k克糖后的糖水里的含糖率为, 12分
由(1)可知<,所以糖水更甜了. 14分
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