2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程 单元练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 59.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-26 07:02:20 | ||
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文档简介
第17章 一元二次方程
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
每小题都给出A、B、C、D四个选项,其中只有一个是正确的,请把正确答案的代号填在下表中.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0,则a的值为( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
2.用公式法解一元二次方程3x2-4x=8时,化方程为一般式,其中的a,b,c依次为( )
A.3,-4,8 B.3,-4,-8
C.3,4,-8 D.3,4,8
3.一元二次方程(x-3)2-4=0的解是( )
A.x1=x2=5 B.x1=x2=1
C.x1=5,x2=-5 D.x1=1,x2=5
4.用配方法解方程x2-4x-2=0变形后为( )
A.(x-2)2=6 B.(x-4)2=6
C.(x-2)2=2 D.(x+2)2=6
5.已知一元二次方程的两根分别为x1=-2,x2=-3,则这个方程可以为( )
A.(x-1)(x+2)=-3×(-1)
B.(x+1)(x-3)=-1×(-6)
C.(x+2)(x+3)=0
D.(x-2)(x-3)=0
6.有一个面积为16 cm2的梯形,它的一条底边长为3 cm,另一条底边比它的高线长1 cm.若设这条底边长为x cm,依据题意,列出方程并整理后得( )
A.x2+2x-35=0
B.x2+2x-70=0
C.x2-2x-35=0
D.x2-2x+70=0
7.一元二次方程x2+2x+2=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.无实数根
8.已知一个等腰三角形的腰长和底边长是一元二次方程x2-10x+21=0的两个根,则这个等腰三角形的周长为( )
A.10 B.13 C.17 D.13或17
9.下列一元二次方程两实数根的和为-4的是( )
A.x2+2x-4=0 B.x2-4x+4=0
C.x2+4x+10=0 D.x2+4x-5=0
10.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始移动(移动方向如图所示),点P的速度为1 cm/s,点Q的速度为2 cm/s,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动,若使△PBQ的面积为15 cm2,则点P运动的时间是( )
A.2 s
B.3 s
C.4 s
D.5 s
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.已知2是关于x的方程x2-2x+a=0的一个实数根,则实数a的值是 .
12.关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
13.中国民歌不仅脍炙人口,而且许多还有教育意义,有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题:
牧童王小良,放牧一群羊.问他羊几只,请你仔细想.头数加只数,只数减头数.只数乘头数,只数除头数.四数连加起,正好一百数.
如果设羊的只数为x,则根据民歌的大意,你能列出的方程是 .
14.观察下列一组方程:①x2-x=0;②x2-3x+2=0;③x2-5x+6=0;④x2-7x+12=0;…它们的根有一定的规律,都是两个连续的自然数,我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”.
(1)若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”,则k的值为 .
(2)第n个方程为 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.用适当的方法解下列方程:
(1)9(x+1)2-(x-2)2=0.
(2)x2+10x+16=0.
16.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.
(1)当m=3时,判断方程的根的情况.
(2)当m=-3时,求方程的根.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
18.对于实数m,n定义一种新运算“*”:m*n=m2+mn,如3*2=32+3×2=15.
(1)若x*3=0,求x的值.
(2)如果关于x的方程x*2a=-5有两个相等的实数根,求a的值.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,这是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,…,第n行有n个点.
(1)尝试探究:前8行的点数和为 .
(2)用含n的式子表示,前n行的点数和为 .
(3)根据(2)的结论,前n行的点数和能是276吗 如果能,求出n;如果不能,说明理由.
20.为节省材料,某水产养殖户利用水库堤岸(堤岸足够长)为一边,用总长为120米的围网在水库中围成如图所示的①②③三块矩形区域,且三块区域面积相等.设BC的长度为x m.
(1)求AE的长(用含x的代数式表示).
(2)当矩形ABCD的面积为600 m2时,求BC的长.
六、(本题满分12分)
21.阅读材料,解答问题:
为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1看作一个整体,然后设x2-1=y,那么原方程可化为y2-5y+4=0①,解得y1=1,y2=4.当y1=1时,x2-1=1,所以x2=2,所以x=±.当y2=4时,x2-1=4,所以x2=5,所以x=±.故原方程的解为x1=,x2=-,x3=,x4=-.上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到了降次的目的,体现了转化的数学思想.
(1)已知方程=x2-2x-3,若设x2-2x=a,则原方程可化为 .(结果化成一般式).
(2)请利用以上方法解方程:(x2+2x)2-(x2+2x)-6=0.
七、(本题满分12分)
22.随着阿里巴巴、京东、小米等互联网巨头的崛起,推动了快递行业的高速发展.据调查,合肥市某家小型快递公司今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为8万件和9.68万件.现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率.
(2)如果平均每名快递投递业务员每月可投递快递0.4万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务 如果不能,请问至少需要增加几名业务员
八、(本题满分14分)
23.尊老爱幼是中华民族的传统美德,重阳节前夕,某商店为老人推出一款特价商品,每件商品的进价为15元,促销前销售单价为25元,平均每天能售出80件;根据市场调查,销售单价每降低0.5元,平均每天可多售出20件.
(1)若每件商品降价5元,则商店每天的平均销量是 件(直接填写结果).
(2)不考虑其他因素的影响,若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元,则每件商品的定价应为多少元
(3)在(2)的前提下,若商店平均每天至少要销售200件该商品,求商品的销售单价.
参考答案
1.B 2.B 3.D 4.A 5.C 6.A 7.D 8.C 9.D 10.B
11.0 12.k<且k≠0 13.x2+2x+1=100
14.(1)-15 (2)x2-(2n-1)x+n(n-1)=0
15.解:(1)[3(x+1)+(x-2)]·[3(x+1)-(x-2)]=0,
(4x+1)(2x+5)=0,
解得x1=-,x2=-. 4分
(2)(x+2)(x+8)=0,
解得x1=-2,x2=-8. 8分
16.解:(1)∵当m=3时,
Δ=b2-4ac=22-4×3=-8<0,
∴原方程无实数根. 4分
(2)当m=-3时,
原方程变为x2+2x-3=0,
∴(x-1)(x+3)=0,
解得x1=1,x2=-3. 8分
17.解:(1)△ABC是等腰三角形. 1分
理由:∵x=-1是方程的根,
∴(a+c)×(-1)2-2b+(a-c)=0,
∴a+c-2b+a-c=0,
∴a-b=0,
∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形. 4分
(2)当△ABC是等边三角形时,a=b=c,
(a+c)x2+2bx+(a-c)=0可整理为2ax2+2ax=0,
∴x2+x=0,
解得x1=0,x2=-1. 8分
18.解:(1)∵x*3=0,
∴x2+3x=0, 1分
∴x(x+3)=0,
解得x1=0,x2=-3,
因此x的值为0或-3. 4分
(2)∵关于x的方程x*2a=-5有两个相等的实数根,
∴x2+2ax+5=0有两个相等的实数根, 5分
∴(2a)2-4×1×5=0,
解得a1=,a2=-, 7分
∴a的值为±. 8分
19.解:(1)36. 2分
(2). 5分
(3)能. 6分
设前n行的点数和是276,
则=276, 8分
∴n2+n-552=0,
解得n1=23,n2=-24(不合题意,舍去),
∴前23行的点数和是276. 10分
20.解:(1)设BE=a m,则AE=2a m,AB=3a m,
依题意得2×3a+2a+2x=120,
∴a=-x+15,
∴AE=2a=-x+30,
∴AE的长为(-x+30)m. 4分
(2)依题意得3a·x=600,
即3(-x+15)x=600,
整理得x2-60x+800=0,
解得x1=20,x2=40. 9分
答:BC的长为20 m或40 m. 10分
21.解:(1)a2-3a-1=0. 3分
提示:根据题意,得=a-3,∴1=a2-3a,即a2-3a-1=0.
(2)设x2+2x=y,原方程化为y2-y-6=0,
整理,得(y-3)(y+2)=0,
解得y=3或y=-2. 6分
当y=3时,即x2+2x=3,解得x=1或x=-3; 8分
当y=-2时,即x2+2x=-2,此方程无解. 10分
综上所述,原方程的解为x1=1,x2=-3. 12分
22.解:(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x,
8(1+x)2=9.68, 3分
解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去). 4分
答:该快递公司投递快递总件数的月平均增长率是10%. 5分
(2)该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务. 6分
由(1)知,该快递公司投递快递总件数的月平均增长率是10%,
故四月份的快递总件数为9.68×(1+10%)=10.648万件.
∵0.4×21=8.4<10.648,
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务. 10分
∵(10.648-8.4)÷0.4=5.62,
∴至少需要增加6名业务员. 12分
23.解:(1)280. 3分
(2)设每件商品降价x元,则销售每件商品的利润为(25-15-x)元,平均每天可售出80+×20=(40x+80)件,
依题意,得(25-15-x)(40x+80)=1280,
整理,得x2-8x+12=0,
解得x1=2,x2=6,
∴25-x=23或19.
答:每件商品的定价应为23元或19元. 10分
(3)当x=2时,40x+80=160<200,不合题意,舍去;
当x=6时,40x+80=320>200,符合题意,
∴25-x=19.
答:商品的销售单价为19元. 14分
2
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
每小题都给出A、B、C、D四个选项,其中只有一个是正确的,请把正确答案的代号填在下表中.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0,则a的值为( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
2.用公式法解一元二次方程3x2-4x=8时,化方程为一般式,其中的a,b,c依次为( )
A.3,-4,8 B.3,-4,-8
C.3,4,-8 D.3,4,8
3.一元二次方程(x-3)2-4=0的解是( )
A.x1=x2=5 B.x1=x2=1
C.x1=5,x2=-5 D.x1=1,x2=5
4.用配方法解方程x2-4x-2=0变形后为( )
A.(x-2)2=6 B.(x-4)2=6
C.(x-2)2=2 D.(x+2)2=6
5.已知一元二次方程的两根分别为x1=-2,x2=-3,则这个方程可以为( )
A.(x-1)(x+2)=-3×(-1)
B.(x+1)(x-3)=-1×(-6)
C.(x+2)(x+3)=0
D.(x-2)(x-3)=0
6.有一个面积为16 cm2的梯形,它的一条底边长为3 cm,另一条底边比它的高线长1 cm.若设这条底边长为x cm,依据题意,列出方程并整理后得( )
A.x2+2x-35=0
B.x2+2x-70=0
C.x2-2x-35=0
D.x2-2x+70=0
7.一元二次方程x2+2x+2=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.无实数根
8.已知一个等腰三角形的腰长和底边长是一元二次方程x2-10x+21=0的两个根,则这个等腰三角形的周长为( )
A.10 B.13 C.17 D.13或17
9.下列一元二次方程两实数根的和为-4的是( )
A.x2+2x-4=0 B.x2-4x+4=0
C.x2+4x+10=0 D.x2+4x-5=0
10.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始移动(移动方向如图所示),点P的速度为1 cm/s,点Q的速度为2 cm/s,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动,若使△PBQ的面积为15 cm2,则点P运动的时间是( )
A.2 s
B.3 s
C.4 s
D.5 s
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.已知2是关于x的方程x2-2x+a=0的一个实数根,则实数a的值是 .
12.关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
13.中国民歌不仅脍炙人口,而且许多还有教育意义,有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题:
牧童王小良,放牧一群羊.问他羊几只,请你仔细想.头数加只数,只数减头数.只数乘头数,只数除头数.四数连加起,正好一百数.
如果设羊的只数为x,则根据民歌的大意,你能列出的方程是 .
14.观察下列一组方程:①x2-x=0;②x2-3x+2=0;③x2-5x+6=0;④x2-7x+12=0;…它们的根有一定的规律,都是两个连续的自然数,我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”.
(1)若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”,则k的值为 .
(2)第n个方程为 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.用适当的方法解下列方程:
(1)9(x+1)2-(x-2)2=0.
(2)x2+10x+16=0.
16.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.
(1)当m=3时,判断方程的根的情况.
(2)当m=-3时,求方程的根.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
18.对于实数m,n定义一种新运算“*”:m*n=m2+mn,如3*2=32+3×2=15.
(1)若x*3=0,求x的值.
(2)如果关于x的方程x*2a=-5有两个相等的实数根,求a的值.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,这是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,…,第n行有n个点.
(1)尝试探究:前8行的点数和为 .
(2)用含n的式子表示,前n行的点数和为 .
(3)根据(2)的结论,前n行的点数和能是276吗 如果能,求出n;如果不能,说明理由.
20.为节省材料,某水产养殖户利用水库堤岸(堤岸足够长)为一边,用总长为120米的围网在水库中围成如图所示的①②③三块矩形区域,且三块区域面积相等.设BC的长度为x m.
(1)求AE的长(用含x的代数式表示).
(2)当矩形ABCD的面积为600 m2时,求BC的长.
六、(本题满分12分)
21.阅读材料,解答问题:
为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1看作一个整体,然后设x2-1=y,那么原方程可化为y2-5y+4=0①,解得y1=1,y2=4.当y1=1时,x2-1=1,所以x2=2,所以x=±.当y2=4时,x2-1=4,所以x2=5,所以x=±.故原方程的解为x1=,x2=-,x3=,x4=-.上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到了降次的目的,体现了转化的数学思想.
(1)已知方程=x2-2x-3,若设x2-2x=a,则原方程可化为 .(结果化成一般式).
(2)请利用以上方法解方程:(x2+2x)2-(x2+2x)-6=0.
七、(本题满分12分)
22.随着阿里巴巴、京东、小米等互联网巨头的崛起,推动了快递行业的高速发展.据调查,合肥市某家小型快递公司今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为8万件和9.68万件.现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率.
(2)如果平均每名快递投递业务员每月可投递快递0.4万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务 如果不能,请问至少需要增加几名业务员
八、(本题满分14分)
23.尊老爱幼是中华民族的传统美德,重阳节前夕,某商店为老人推出一款特价商品,每件商品的进价为15元,促销前销售单价为25元,平均每天能售出80件;根据市场调查,销售单价每降低0.5元,平均每天可多售出20件.
(1)若每件商品降价5元,则商店每天的平均销量是 件(直接填写结果).
(2)不考虑其他因素的影响,若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元,则每件商品的定价应为多少元
(3)在(2)的前提下,若商店平均每天至少要销售200件该商品,求商品的销售单价.
参考答案
1.B 2.B 3.D 4.A 5.C 6.A 7.D 8.C 9.D 10.B
11.0 12.k<且k≠0 13.x2+2x+1=100
14.(1)-15 (2)x2-(2n-1)x+n(n-1)=0
15.解:(1)[3(x+1)+(x-2)]·[3(x+1)-(x-2)]=0,
(4x+1)(2x+5)=0,
解得x1=-,x2=-. 4分
(2)(x+2)(x+8)=0,
解得x1=-2,x2=-8. 8分
16.解:(1)∵当m=3时,
Δ=b2-4ac=22-4×3=-8<0,
∴原方程无实数根. 4分
(2)当m=-3时,
原方程变为x2+2x-3=0,
∴(x-1)(x+3)=0,
解得x1=1,x2=-3. 8分
17.解:(1)△ABC是等腰三角形. 1分
理由:∵x=-1是方程的根,
∴(a+c)×(-1)2-2b+(a-c)=0,
∴a+c-2b+a-c=0,
∴a-b=0,
∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形. 4分
(2)当△ABC是等边三角形时,a=b=c,
(a+c)x2+2bx+(a-c)=0可整理为2ax2+2ax=0,
∴x2+x=0,
解得x1=0,x2=-1. 8分
18.解:(1)∵x*3=0,
∴x2+3x=0, 1分
∴x(x+3)=0,
解得x1=0,x2=-3,
因此x的值为0或-3. 4分
(2)∵关于x的方程x*2a=-5有两个相等的实数根,
∴x2+2ax+5=0有两个相等的实数根, 5分
∴(2a)2-4×1×5=0,
解得a1=,a2=-, 7分
∴a的值为±. 8分
19.解:(1)36. 2分
(2). 5分
(3)能. 6分
设前n行的点数和是276,
则=276, 8分
∴n2+n-552=0,
解得n1=23,n2=-24(不合题意,舍去),
∴前23行的点数和是276. 10分
20.解:(1)设BE=a m,则AE=2a m,AB=3a m,
依题意得2×3a+2a+2x=120,
∴a=-x+15,
∴AE=2a=-x+30,
∴AE的长为(-x+30)m. 4分
(2)依题意得3a·x=600,
即3(-x+15)x=600,
整理得x2-60x+800=0,
解得x1=20,x2=40. 9分
答:BC的长为20 m或40 m. 10分
21.解:(1)a2-3a-1=0. 3分
提示:根据题意,得=a-3,∴1=a2-3a,即a2-3a-1=0.
(2)设x2+2x=y,原方程化为y2-y-6=0,
整理,得(y-3)(y+2)=0,
解得y=3或y=-2. 6分
当y=3时,即x2+2x=3,解得x=1或x=-3; 8分
当y=-2时,即x2+2x=-2,此方程无解. 10分
综上所述,原方程的解为x1=1,x2=-3. 12分
22.解:(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x,
8(1+x)2=9.68, 3分
解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去). 4分
答:该快递公司投递快递总件数的月平均增长率是10%. 5分
(2)该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务. 6分
由(1)知,该快递公司投递快递总件数的月平均增长率是10%,
故四月份的快递总件数为9.68×(1+10%)=10.648万件.
∵0.4×21=8.4<10.648,
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务. 10分
∵(10.648-8.4)÷0.4=5.62,
∴至少需要增加6名业务员. 12分
23.解:(1)280. 3分
(2)设每件商品降价x元,则销售每件商品的利润为(25-15-x)元,平均每天可售出80+×20=(40x+80)件,
依题意,得(25-15-x)(40x+80)=1280,
整理,得x2-8x+12=0,
解得x1=2,x2=6,
∴25-x=23或19.
答:每件商品的定价应为23元或19元. 10分
(3)当x=2时,40x+80=160<200,不合题意,舍去;
当x=6时,40x+80=320>200,符合题意,
∴25-x=19.
答:商品的销售单价为19元. 14分
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