广东省惠州市2023-2024学年高二上学期1月期末质量检测数学试题（含解析）

惠州市2023-2024学年度第一学期期末质量检测试题
高二数学
全卷满分150分，时间120分钟.
2024.01
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 准考证号 座位号 学校 班级等考生信息填写在答题卡上.
2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.
3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.
一 选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1.已知抛物线的方程是，则它的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
2.若直线的方向向量是，则直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
3.已知正项等比数列满足为与的等比中项，则（ ）
A. B. C. D.2
4.已知平面，其中，法向量，则下列各点中不在平面内的是（ ）
A. B. C. D.
5.设为两个互斥的事件，且，则下列各式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
6.在数列中，若，则（ ）
A.-1 B.-2 C.2 D.1
7.如图，在四面体中，是的重心，，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知双曲线的右焦点为，过作直线分别与双曲线的两条渐近线相交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.
二 多选题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B.
C.的最小值为0 D.的最大值为36
10.已知圆，直线.则（ ）
A.直线与圆可能相切
B.圆被轴截得的弦长为
C.直线被圆截得的最短弦长为
D.直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为
11.已知正方体的棱长为1，则（ ）
A.直线与直线所成的角为
B.平面
C.点到平面的距离为
D.直线与平面所成角的余弦值为
12.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，则（ ）
A.函数有1个零点
B.函数有2个零点
C.函数有最小值
D.关于的方程的解为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.甲 乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，则该密码被成功破译的概率为__________.
14.圆与圆的公共弦长为__________.
15.已知直线过点，且直线的方向向量为，则点到直线的距离为__________.
16.已知函数，数列各项均为正数，满足且，若不等式恒成立，则实数的最小值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知数列的前项和公式为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
已知盒中有大小 质地相同的红球 黄球 蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
（1）求盒中红球 黄球 蓝球的个数；
（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
19.（本小题满分12分）
已知曲线位于轴右侧，且曲线上任意一点与定点的距离比它到轴的距离大1.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线经过点，与曲线交于两点，且，求直线的方程.
20.（本小题满分12分）
如图，这是某圆弧形山体隧道的截面示意图，其中底边的长为16米，最大高度的长为4米，以为坐标原点，所在的直线为轴建立直角坐标系.
（1）求该圆弧所在圆的方程；
（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有别蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体，参考数据）.
21.（本小题满分12分）
如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面.
（1）证明：四点共面；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求长.
22.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且离心率为，设椭圆的右顶点为，点是椭圆上异于的两个动点，记直线，的斜率分别为，且.
（1）求证：直线过定点；
（2）设直线相交于点，记的面积分别为，求的取值范围.
惠州市2023-2024学年度第一学期期末质量检测
高二数学参考答案与评分细则
一 单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B A B C D B
1.【解析】由得，故抛物线的准线方程为，故选.
2.【解析】由题意得直线的斜率为，则直线的倾斜角是，故选C.
3.【解析】设等比数列的公比为，由题意得，即，，故选B.
4.【解析】若点在平面内，则，对于，所以选项的点不在平面内；其他选项点都在平面内，故选A.
5.【解析】因为事件为两个互斥事件，，故A正确；事件为两个互斥事件，则，故B错误；，故C正确；，故D正确，故选B.
6.【解析】由题意知数列中，若，故，，则为周期为6的周期数列，故，故选C.
7.【解析】因为是的重心，，所以，，，故选D.
8.【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
则有到渐近线的距离，
，则，
由，有，即，解得，则有，所以离心率，故选.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
全部正确选项 ABD BD BD ACD
9.【解析】设等差数列的公差为，则，解得.对于选项，
，A对；对于B选项，对；对于选项，，故当或6时，取最小值错；对于选项，，故当时，取得最大值对.故选：ABD.
10.【解析】，则恒成立，
故，则直线恒过，因为，所以点在圆内部，因为直线恒过定点，所以直线与圆恒相交，所以错；
对于圆，令，得，解得，所以圆被轴截得的弦长为，所以选项正确；对于选项：由于点在圆的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线，最短弦长为，故错；因为圆心，直线恒过定点，直线被圆截得的弦长最短时，可知直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以正确；故选.
11.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系：.
A：，因为，所以，因此选项A不正确；
B：，所以，
所以，而，因此平面，所以选项正确；
C：因为平面，所以是平面的法向量，，所以点到平面的距离为，因此选项C不正确；
：设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的余弦值，因此选项D正确.故选：BD
12.【解析】对有，解得，且此时根式有意义，故有且仅有一根，故正确，错误；
对CD，因为，其
几何意义为上的点与点之间的距离和
.易得关于的对称点为，故即
的最小值为，故C正确；
到点之间的距离和为6的点的轨迹是以为焦
点，的椭圆，故的解即与椭
圆的交点的横坐标.即，解得，故D正确.
故选：ACD.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
13.【解析】甲乙都没有成功破译密码的概率，故该密码被成功破译的概率.故答案为.
14.【解析】联立两圆的方程得，两式相减并化简，得，此即两圆公共弦所在直线的方程.由得，圆的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离为.公共弦长为，故答案为.
15.【解析】直线过点，且直线的方向向量为，点，所以，所以点到的距离，故答案为.
16.【解析】依题意，函数，正数数列满足且，
所以，即，所以
所以不等式恒成立等价于恒成立，
由得，令，则，则恒成立.令所以函数表示双曲线在第一象限的一部分，双曲线的渐近线为，所以对应图象上任意两点的连线的斜率的取值范围是，即的取值范围是，所以的最小值为.故答案为：.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分，其中第一小问5分，第二小问5分.）
【解析】当时，，
当时，由，得，
所以，
当时，，符合上式，
因此，的通项公式为；
（2）由（1）可知，所以，
综上.
18.（本小题满分12分，其中第一小问5分，第二小问7分.）
【解析】（1）从中任取一球，分别记得到红球 黄球 蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得，解得
盒中红球 黄球 蓝球的个数分别是；
（2）（i）由（1）知红球 黄球 蓝球个数分别为，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间，
（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则
，所以
所以
因为，所以此游戏不公平
19.（本小题满分12分，其中第一小问5分，第二小问7分.）
【解析】（1）【解法1】设曲线上的点
由题意得点与定点的距离和它到直线的距离相等，
所以，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线（去掉顶点），
设曲线方程为：所以，
所以曲线的方程是；
【解法2】设曲线上的点
因为点与定点的距离和它到比它到轴的距离大1，所以
所以，
两边同时平方整理得：
所以曲线的方程是；
（2）【解法1】若直线斜率不存在，则不合题意，因此直线斜率存在，设直线方程为，
代入曲线方程整理得，
设，则，
，
所以直线方程为，即或.
【解法2】因为直线斜率不为0，设直线方程为
由，消整理得
解得
所以直线方程为，即或
20.（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分.）
【解析】（1）【解法1】由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在轴上，
设圆弧所在圆的方程为
因为点和点在圆上，所以
解得故该圆弧所在圆的方程为.
【解法2】由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在轴上，
设该圆的半径为米，则由勾股定理，解得，
所以圆心坐标为
故该圆弧所在圆的方程为.
（2）【解法1】设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为米，则解得.
设并排通过辆该种汽车，则安全通行的宽度为
要能并排安全通过隧道，则
因为，所以的最大值为4
综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车.
【解法2】设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为米，则，
解得.
若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，
因为故该隧道不能并排通过5辆该种汽车.
若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为，
因为隧道能并排通过4辆该种汽车.
综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车.
21.（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分.）
【解析】（1）连接，因为
所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，，
在半圆上，是弧中点，所以，
所以，又，
所以，所以四点共面.
（2）【解法1】直棱柱中，，以为原点，建立如图空间直角坐标系，
，设，
，
设平面的法向量为.
则有，化简得
取，则，所以，，
，
设平面的法向量为
则有，化简得
取，则，所以，，
平面与平面所成夹角即与夹角或其补角，
所以
解得，所以
【解法2】解：设.
由（1）可知四点共面，则平面平面.
取中点，连接，易知平面
过作于，又平面.
所以平面
过作于，连接则.又是锐角.
所以是平面与平面所成的夹角.则
所以在Rt中，
在中，根据等面积法
在中，.
所以.
所以.
解得，即
所以.
22.（本小题满分12分，其中第一小问6分，第二小问6分.）
【解析】（1）由题设且，故，可得，则
所以，则，
若斜率为0，则关于轴对称，显然与矛盾，
所以斜率不为0，令，联立，
整理得：，则，
，而，
又，又，则，
所以，即，
，
，
综上，，即，
所以或（舍），则，即直线过定点
（2）【解法1】根据椭圆对称性，不妨设在椭圆的上半部分，即，有以下两种情况：
令，联立消去得：
，
所以，而，
所以，即在定直线上，
而，则，
由在直线上，分别过作轴的垂线交于因为与相似，所以，
因为当时，三点重合，不符合题意，
所以，求得
【解法2】
解法二：由椭圆的对称性，不妨设，则，
所以
联立，得
设，则，得
，因为，所以.
当三点重合时，此时
因为是两个不同点，所以