湘教版八上数学2.6用尺规作三角形
一、选择题
1．尺规作图的画图工具是（ ）
A．刻度尺、圆规 B．三角板和量角器
C．直尺和量角器 D．没有刻度的直尺和圆规
【答案】D
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：在几何里，把只有没有刻度的直尺和圆规画图的方法称为尺规作图。
故答案为：D
【分析】由尺规作图的含义即可得到答案。
2．用尺规作图，下列条件中可能作出两个三角形的是（ ）
A．已知两边和夹角 B．已知两边及其一边的对角
C．已知两角和夹边 D．已知三条边
【答案】B
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】解：A、C、D三个选项分别符合全等三角形的判定方法SAS，ASA，SSS，故能作出唯一三角形；
B、只有涉及的两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形时，才能成立。
故答案为：B
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可，选项A，C，D只能作出一个三角形，选项中已知两边及其一边对角，当两边夹该角时，只能作出一个三角形，当两边没有夹该角时，可以作出两个三角形，所以B选项可能作出两个三角形。
3．（2019八上·长安期中）如图，小王做试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，他想在一张白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，他作图的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】图中的三角形已知一条边以及两个角，则他作图的依据是ASA.
故答案为：C.
【分析】根据三角形全等的判定定理（SAS），即可得到答案.
4．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（ ）
A．三角形的两条边和它们的夹角
B．三角形的三边
C．三角形的两个角和它们的夹边
D．三角形的三个角
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上是已知两边和它们的夹角作三角形。
故答案为：A。
【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，两边和它们的夹角相等两三角形全等.
5．如图 ，以 为边作 ，使 ，那么下列说法正确的是（ ）
A． B．∠AOC=∠AOB
C． D． 或
【答案】D
【知识点】作图-角
【解析】【解答】解：如图：有两种可能：
①
②
∠AOC=3∠AOB不一定，故A选项不符合题意；
∠AOC=∠AOB不一定，故B选项不符合题意；
∠AOC可能等于∠BOC，故C选项不符合题意；
D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】观察题目可知OC的作法分两种情况：OC边在OB上方，OC边在OB下方，据此画出图形；
结合∠BOC=2∠AOB，分别得出两种情况下∠AOC和∠AOB的关系即可。
二、填空题
6．已知 ，现将 绕点 逆时针旋转，使点 落在射线 上，求作 ．
作法：在 上截 ，以点 为圆心、 为半径作弧，以点 为圆心、 为半径作弧，两弧在射线 右侧交于点 ，则 即为所求．
请用文字语言描述上述操作的作图原理： ．
【答案】三边分别相等的两个三角形全等
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC和△A'BC'中，
，
∴△ABC≌△A'BC'（SSS）.
故答案为三边分别相等的两个三角形全等.
【分析】根据题意，由全等三角形的判定定理即可得到△ABC≌△A'BC'（SSS），即可得到答案。
7．利用尺规作三角形,有三种基本类型:
⑴已知三角形的两边及其夹角,求作符合要求的三角形,其作图依据是“ ”;
⑵已知三角形的两角及其夹边,求作符合要求的三角形,其作图依据是“ ”;
⑶已知三角形的三边,求作符合要求的三角形,其作图依据是“ ”.
【答案】SAS；ASA；SSS
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：根据SAS—两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；ASA—两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；SSS—三边分别相等的两个三角形全等.
故答案：(1)SAS、 (2)ASA 、(3)SSS
【分析】根据三角形全等的判定定理，即可得到作图依据。
8．已知 ，分别以射线 、OB为始边，在∠AOB的外部作 ， ，则OC与OD的位置关系是 ．
【答案】互相垂直或重合
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①
∵∠AOB=22.5°，∴∠AOC=22.5°，∠BOD=45°，∴∠COD=90°，此时OC⊥OD；
②
∵∠AOB=22.5°，∴∠AOC=22.5°，∠BOD=45°，∴∠BOC=45°，此时OC与OD重合.
故答案为互相垂直或重合.
【分析】根据题意，结合图形，根据角的和差关系以及已知，即可得到∠COD的度数。
9．（2017八上·杭州月考）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC 只有一条公共边，且与△ABC 全等的三角形， 这样的三角形一共能作出 个．
【答案】7
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】如图所示：
①以AB为公共边时有3个三角形，分别是：△ABE，△ABD，△ABQ；
②以AC为公共边时有1个三角形，分别是：△ACH；
③以BC为公共边时有3个三角形，分别是：△BCG，△BCF，△BCP；
∴能作出7个三角形与之全等.
故答案为：7.
【分析】根据全等三角形的判定：SSS，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有1个，从而得出答案.
三、解答题
10．（2018八上·松原月考）尺规作图：已知∠α，
求作：∠A使∠A=∠α（ 不写作法，保留痕迹 ）
【答案】解：如图∠A即为所求．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】根据作一个角等于已知角的作法作图即可。
11．作出下列三角形
（1） 中， ；
（2） 中， 边上的高 ．
【答案】（1）解： 即为所求作三角形
（2）解：根据题意可得：
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】（1）作线段AB=5cm，以B为顶点，作∠ABC=30°，以A为顶点，以3cm为半径画弧，即可得到三角形；
（2）同理，根据题意描述，作出图形即可。
12．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：四边形ABCD．
求作：点P，使 ，且点P到点A和点B的距离相等．
结论：
【答案】解：如图，延长AB至Q，作 ，再作线段AB的垂直平分线FG，交CE于点P即可. 点P即为所求．
【知识点】平行线的性质；作图-平行线
【解析】【分析】延长AB至Q，作∠BCE=∠CBQ，再做线段AB的垂直平分线FG，交CE于点P即可得到答案。
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一、选择题
1．尺规作图的画图工具是（ ）
A．刻度尺、圆规 B．三角板和量角器
C．直尺和量角器 D．没有刻度的直尺和圆规
2．用尺规作图，下列条件中可能作出两个三角形的是（ ）
A．已知两边和夹角 B．已知两边及其一边的对角
C．已知两角和夹边 D．已知三条边
3．（2019八上·长安期中）如图，小王做试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，他想在一张白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，他作图的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（ ）
A．三角形的两条边和它们的夹角
B．三角形的三边
C．三角形的两个角和它们的夹边
D．三角形的三个角
5．如图 ，以 为边作 ，使 ，那么下列说法正确的是（ ）
A． B．∠AOC=∠AOB
C． D． 或
二、填空题
6．已知 ，现将 绕点 逆时针旋转，使点 落在射线 上，求作 ．
作法：在 上截 ，以点 为圆心、 为半径作弧，以点 为圆心、 为半径作弧，两弧在射线 右侧交于点 ，则 即为所求．
请用文字语言描述上述操作的作图原理： ．
7．利用尺规作三角形,有三种基本类型:
⑴已知三角形的两边及其夹角,求作符合要求的三角形,其作图依据是“ ”;
⑵已知三角形的两角及其夹边,求作符合要求的三角形,其作图依据是“ ”;
⑶已知三角形的三边,求作符合要求的三角形,其作图依据是“ ”.
8．已知 ，分别以射线 、OB为始边，在∠AOB的外部作 ， ，则OC与OD的位置关系是 ．
9．（2017八上·杭州月考）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC 只有一条公共边，且与△ABC 全等的三角形， 这样的三角形一共能作出 个．
三、解答题
10．（2018八上·松原月考）尺规作图：已知∠α，
求作：∠A使∠A=∠α（ 不写作法，保留痕迹 ）
11．作出下列三角形
（1） 中， ；
（2） 中， 边上的高 ．
12．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：四边形ABCD．
求作：点P，使 ，且点P到点A和点B的距离相等．
结论：
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：在几何里，把只有没有刻度的直尺和圆规画图的方法称为尺规作图。
故答案为：D
【分析】由尺规作图的含义即可得到答案。
2．【答案】B
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】解：A、C、D三个选项分别符合全等三角形的判定方法SAS，ASA，SSS，故能作出唯一三角形；
B、只有涉及的两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形时，才能成立。
故答案为：B
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可，选项A，C，D只能作出一个三角形，选项中已知两边及其一边对角，当两边夹该角时，只能作出一个三角形，当两边没有夹该角时，可以作出两个三角形，所以B选项可能作出两个三角形。
3．【答案】C
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】图中的三角形已知一条边以及两个角，则他作图的依据是ASA.
故答案为：C.
【分析】根据三角形全等的判定定理（SAS），即可得到答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上是已知两边和它们的夹角作三角形。
故答案为：A。
【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，两边和它们的夹角相等两三角形全等.
5．【答案】D
【知识点】作图-角
【解析】【解答】解：如图：有两种可能：
①
②
∠AOC=3∠AOB不一定，故A选项不符合题意；
∠AOC=∠AOB不一定，故B选项不符合题意；
∠AOC可能等于∠BOC，故C选项不符合题意；
D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】观察题目可知OC的作法分两种情况：OC边在OB上方，OC边在OB下方，据此画出图形；
结合∠BOC=2∠AOB，分别得出两种情况下∠AOC和∠AOB的关系即可。
6．【答案】三边分别相等的两个三角形全等
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC和△A'BC'中，
，
∴△ABC≌△A'BC'（SSS）.
故答案为三边分别相等的两个三角形全等.
【分析】根据题意，由全等三角形的判定定理即可得到△ABC≌△A'BC'（SSS），即可得到答案。
7．【答案】SAS；ASA；SSS
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：根据SAS—两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；ASA—两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；SSS—三边分别相等的两个三角形全等.
故答案：(1)SAS、 (2)ASA 、(3)SSS
【分析】根据三角形全等的判定定理，即可得到作图依据。
8．【答案】互相垂直或重合
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①
∵∠AOB=22.5°，∴∠AOC=22.5°，∠BOD=45°，∴∠COD=90°，此时OC⊥OD；
②
∵∠AOB=22.5°，∴∠AOC=22.5°，∠BOD=45°，∴∠BOC=45°，此时OC与OD重合.
故答案为互相垂直或重合.
【分析】根据题意，结合图形，根据角的和差关系以及已知，即可得到∠COD的度数。
9．【答案】7
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】如图所示：
①以AB为公共边时有3个三角形，分别是：△ABE，△ABD，△ABQ；
②以AC为公共边时有1个三角形，分别是：△ACH；
③以BC为公共边时有3个三角形，分别是：△BCG，△BCF，△BCP；
∴能作出7个三角形与之全等.
故答案为：7.
【分析】根据全等三角形的判定：SSS，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有1个，从而得出答案.
10．【答案】解：如图∠A即为所求．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】根据作一个角等于已知角的作法作图即可。
11．【答案】（1）解： 即为所求作三角形
（2）解：根据题意可得：
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】（1）作线段AB=5cm，以B为顶点，作∠ABC=30°，以A为顶点，以3cm为半径画弧，即可得到三角形；
（2）同理，根据题意描述，作出图形即可。
12．【答案】解：如图，延长AB至Q，作 ，再作线段AB的垂直平分线FG，交CE于点P即可. 点P即为所求．
【知识点】平行线的性质；作图-平行线
【解析】【分析】延长AB至Q，作∠BCE=∠CBQ，再做线段AB的垂直平分线FG，交CE于点P即可得到答案。
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