第六章 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
第六章
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示，会进行平面向量数乘的坐标运算. 1.数学抽象素养、数学运算素养.
2.理解平面向量共线的坐标表示，会根据平面向量坐标的判断向量是否共线. 2.逻辑推理素养、数学抽象素养.
3.理解并掌握平面上线段的中点坐标公式和定比分点坐标公式. 3.逻辑推理素养、数学运算素养.
温故知新
1.平面向量的坐标表示
2.平面向量加、减运算的坐标表示
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
已知,
.
.
3.已知平面向量两端点的坐标，确定向量的坐标
若 .
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
新知探究
已知,你能得出的坐标吗？
即
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
这就是说，
新知探究
【例1】已知,求：
⑴的坐标； ⑵的坐标.
解：
⑴.
⑵
.
变式：已知M(3，－2)，N(－5，－1)且,则点P的坐标为 .
解：
设P(x，y)，由得，.
即,解得.
则点P的坐标为.
新知探究
设,其中,我们知道，共线的充要条件是存在实数，使 .
如果用坐标表示，可写为
.
即,消去得
如何用坐标表示两个向量共线的条件？
这就是说，向量共线的充要条件是
.
新知探究
【例2】已知，且//,求.
向量平行（共线）充要条件的两种表示形式：
①
②
解：
∵//
∴
解得 .
初试身手
1.解：由题意得，=(0,-10),(1+3k,-2+4k).
则顶点D的坐标为（2，4）.
设点D的坐标为(x，y)，则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，
＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，
∵(3)∥(＋k)，∴0-（-10-30k)=0,k=-.
2.解：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，∴.
∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，
∴，解得.
1.已知向量＝(1，－2)，＝(3，4).若(3－)∥(＋k)，则k＝________．
2.已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
.
（2，4）
新知讲解
【例3】已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),判断A,B,C三点之间的位置关系.
解：
∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4).
在平面直角坐标系中作出A,B,C三点，观察图形，我们猜想A，B，C三点共线. 下面给出证明.
=(2-(-1),5-(-1))=(3,6).
又 2×6-3×4=0.
∴//.
又∵直线AB，直线AC有公共点A,
-1
O
x
y
A
B
C
3
1
1
2
5
4
2
∴A,B,C三点共线.
注意向量共线与直线重合的区别
初试身手
(2)由已知得,
∴向量与不平行，此时点A，B，C，D不在一条直线上.
①当x=2时，=(-2,1),=(2,1),
(1),
3.已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x).
(1)求实数x的值，使向量与共线；
(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
解：
∵∥, ∴.
②当x=-2时，=(6,-3),=(-2,1),
∴∥，此时点A，B，C三点共线.
又∵, ∴A，B，C，D四点在一条直线上．
新知讲解
【例4】设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2 的坐标分别是P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
⑴若点P是线段P1P2的中点时，求P点的坐标;
⑵当P是P1P2的三等分点时，求点P的坐标.
解：
.
⑴如图，由向量的线性运算可知
∴P点的坐标是(,).
若点P1，P2 的坐标分别是P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x,y),则
.
线段P1P2的中点坐标公式
新知讲解
解：
如果，那么
⑵如图，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即.
∴P点的坐标是(,).
.
.
.
同理，如果，那么P点的坐标是(.
新知探究
如图，线段P1P2的端点P1，P2 的坐标分别是P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P是直线P1P2上一点，且,点P的坐标是什么？
.
.
.
点P的坐标是.
若P(x,y)，则.
定比分点公式
初试身手
4.解：如图，点P是线段AB的三等分点有两种情况，即
或.
4.已知O(0，0)，向量＝(2，3)，＝(6，－3)，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标为________．
当时，=(=(,1).
当时，=(=(,-1)
点P的坐标为（，1）.
点P的坐标为（，-1）.
综上，点P是线段AB的三等分点时，它的坐标是(,1)或（，-1）.
初试身手
5.已知＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)，其中为坐标原点．
⑴求线段AB的中点M的坐标；
⑵若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；
⑶若＝2，求x，y的值．
⑵因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线.
5.解：⑴由已知得A(3,-4),B(6,-3),∴点M的坐标为（,),即(,-).
⑶∵＝(－x－1，－y).
所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.
由＝2得(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，即,解得.
即x=-4,y=-1.
由题意得＝(3,1)，＝(2－x,1－y)，则3(1－y)＝2－x.
课堂小结
1.平面向量数乘运算的坐标表示
3.线段的中点坐标公式和定比分点坐标公式
2.平面向量共线的坐标表示
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
向量共线的充要条件是
.
线段P1P2的中点坐标公式
若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x,y),则
.
定比分点公式
若P(x,y)，则.
作业布置
作业： P36-37 习题6.3 第5，6，7⑵⑶，12，13题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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