2023~2024 学年度第一学期高三年级期末调研测试
数学试卷 2024.1
总分：150 分 时间：120 分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试
卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知 z(1+i) = i，则复数 z 的虚部为
1 1 1 1
A． B． C． i D． i
2 2 2 2
1 1
2．已知集合 S ={x | x = k ,k Z}，T ={x | x = 2k + ,k Z}，则 S T =
2 2
A． S B．T C．Z D．
3．随机变量 X ~ N (2, 2 ) ，若 P (X ≤1.5) = m ， P (2≤ X ≤2.5) =1 3m ，则 P (X ≤2.5) =
A． 0.25 B． 0.5 C．0.75 D．0.85
4．图 1 是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构
成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面
上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图 2 是一个菱形十二
面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上
扣上一个正四棱锥（如图 3），且平面 ABCD与平面 ATBS 的夹角为 45 ，则 cos ASB =
S
C B
D
A
T
图 1 图 2 图 3
2 3 1 2 2
A． B． C． D．
2 2 3 3
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5．某学校广播站有 6 个节目准备分 2 天播出，每天播出 3 个，其中学习经验介绍和新闻报道两
个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有
A．108 种 B．90 种 C．72 种 D．36 种
x2 y2
6．已知双曲线C ： =1（ a 0，b 0 ）的左顶点为M ，左、右焦点分别为 F1, F2 ，过F
a2 b2
2
作 x 轴的垂线交C 于 A, B 两点，若 AMB为锐角，则C 的离心率的取值范围是
A． (1, 3) B． (1,2) C． ( 3,+ ) D． (2,+ )
7．已知△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 c = 4， A = ，且 BE 为边 AC 上的高，
3
AD 为边 BC 上的中线，则 AD BE 的值为
A． 2 B． 2 C．6 D． 6
6(2 ln 2)
8．已知 a = ln 3，b = log2 e， c = a,b,c
e2
，则 的大小关系是
A． a b c B．b c a C． c a b D． a c b
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．已知正四面体骰子的四个面分别标有数字 1，2，3，4，正六面体骰子的六个面分别标有数字
1，2，3，4，5，6，抛掷一枚正四面体骰子，记向下的数字为 X ，抛掷一枚正六面体骰子，
记向上的数字为Y ，则
1 1
A． P(X = 2) = B． P(Y 3) = C．E(X ) E(Y ) D．D(X ) D(Y )
2 3
π 3 11π
10．已知函数 f (x) = sin( x + ) ( 0 3， 0 )，且 f (0) = ， f ( ) = 1，则
2 2 12
π
A． = B． f (x) 的最小正周期为 π
6
π 5π π
C． f (x) 在 ( , )上单调递减 D． f (x ) 为奇函数
2 6 12
11．已知数列{an}的前 n项和为 Sn ，且 S
2
n = n + n + ，则下列结论正确的有
A．若 = 0 ，则{an}为等差数列
B．若 = 3，则{an}为递增数列
11
C．若 = ，则当且仅当 n = 3时 Sn 取得最小值
2
D．“ 3”是“数列{Sn}为递增数列”的充要条件
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12．已知抛物线C ： y2 = 8x的焦点为 F ，⊙ F 的半径为1，过 F 的直线 l 与抛物线C 和⊙ F 交于
四个点，自下而上分别是 A,C, D, B ，O 为坐标原点，则
A．OC OD =1 B． AC 1
C．△OAB面积的最小值是8 D．3 | AD | + | BD |的最小值是10 + 4 3
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．已知△ABC 的顶点是 A(5,1) ， B(7, 3) ，C(1, 1) ，则△ABC 的外接圆的方程是 ．
14．若角 + 的终边经过点 P( 3,4) ，则 cos 2 = ．
4
15．已知函数 f (2x +1) 为奇函数， f (x + 2)为偶函数，且当 x (0,1]时， f (x) = log2 x ，则
19
f ( ) = ．
2
16．某兴趣小组准备将一棱长为 a的正方体木块打磨成圆锥，则圆锥的最大体积为 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
已知等比数列{an}为递增数列，其前 n 项和为 Sn ， a2 = 4， S3 =14．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求和：1 an + 3 an 1 + 5 an 2 + + (2n 1) a1．
18．（12 分）
如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D 中，BC ⊥ CD ，AB∥DC1 ，DC = 2BC = 2CC1 = 4AB = 4 ．
（1）证明： AC1 ⊥ B1D1 ； D1 C1
（2）求二面角 D B1C D1 的平面角的余弦值．
B1
A1
D C
A B
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19．（12 分）
在△ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 c = 3．
11
（1）若b = 2 ， cosC = ，求 sin A ；
16
2 21
（2）点 D 在边 AB 上， AD = 2DB，若CD = ， tan C = 2 tan B ，求 a．
3
20．（12 分）
波利亚罐子模型是一个著名的概率模型，是由美籍匈牙利数学家波利亚提出．按照该模型，
某数学兴趣小组准备了若干个除颜色外都相同的红球和白球，先在罐子中放入2个红球和1个白
球，活动参与者每次从罐子中随机抽取1个球，观察其颜色后放回罐中，并再取1个相同颜色的球
放入罐中，如此反复操作．
（1）求活动参与者第2次操作时取到白球的概率；
（2）记3次操作后罐子中红球的个数为 X ，求随机变量 X 的概率分布与数学期望．
21．（12 分）
x2 y2 2
已知椭圆E ： + =1（a b 0 ）的离心率为 ，且过点 A(2,1)，点B 与点 A关于原点
a2 b2 2
对称，过点P(1, 2)作直线 l 与E 交于M , N 两点（异于 A点），设直线 AM 与BN 的斜率分别为 k1,k2 ．
1
（1）若直线 l 的斜率为 ，求△AMN 的面积；
2
（2）求 k1k2 2k2 的值．
22．（12 分）
1
已知函数 f (x) = | aex x | + x2 + (1 a)x．
2
（1）当 a =1时，求 f (x) 的最小值；
（2）若 f (x) 在 x = 0 处取得极小值，求实数 a的取值范围．
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数学参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。
1．A 2．B 3．C 4．C 5．A 6．B 7．D 8．C
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
9．BD 10．BC 11．ACD 12．BCD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
24 3
13． (x 4)2 + (y + 2)2 =10（或 x2 + y2 8x + 4y +10 = 0 ） 14． 15．1 16． a3
25 16
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解：（1）设等比数列 an 的公比为 q ．
4 1
S3 = a1 + a2 + a3 = + 4 + 4q =14，得 q = 2或 q = ，……………………………………………2 分
q 2
1
当 q = 2时， a1 = 2；当 q = 时， a1 = 8 .由 an 为递增数列，则 a1 = 2， q = 2，
2
所以 an = 2 2
n 1 = 2n ．………………………………………………………………………………4 分
（2）设T =1 2n + 3 2n 1 n 2n + 5 2 + + (2n 1) 2，
Tn =1 2n 1 + 3 2n 2 + 5 2n 3 + + (2n 1) 1
2
T
相减得： n = 2n + 2(2n 1 + 2n 2 + 2n 3 + + 21) (2n 1) …………………………………………7 分
2
n 2(1 2
n 1)
= 2 + 2 (2n 1) = 2n + (2n+1 4) (2n 1) = 3 2n (2n + 3) …………………………9 分
1 2
所以Tn = 3 2
n+1 (4n + 6) ．…………………………………………………………………………10 分
18．（1）连接 A1C H1 ，交 B1D1于点 ，
A B B C 1
在梯形 A B C D 中， A B =1， B C = 2 ，C D = 4 ，所以 1 1 = 1 1 =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ，
B1C1 C1D1 2
又 A1B1C1 = B1C1D1 = 90 ，所以△A1B1C1∽△ B1C1D1，
则 B1A1C1 = C1B1D1 ，因为 B1A1C1 + A1C1B1 = 90 ，所以 C1B1D1 + A1C1B1 = 90 ，
则 C1HB1 = 90 ，即 B1D1 ⊥ A1C1．…………………………………………………………………3 分
直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，AA1 ⊥平面 A1B1C1D1 ，因为 B1D1 平面 A1B1C1D1 ，所以 B1D1 ⊥ AA1．
数学答案 第 1 页，共 6 页
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因为 AA1 、 A1C1 平面 AA1C1 ， AA1 A1C1 = A1，所以 B1D1 ⊥平面 AA1C1 ．……………………5 分
因为 AC1 平面 AA C ，所以1 1 AC1 ⊥ B1D1 ．………………6 分
法二：以{CD,CB,CC }为正交基底，建立如图所示的空间直 z 1
角坐标系C xyz ，则C(0,0,0)，D(4,0,0)，B(0,2,0) ，A(1,2,0)， D1 C1
H B1
C1(0,0,2) ， D1(4,0,2) ， B1(0,2,2) ， A1(1,2,2) ．…………3 分 A1
（1）因为 AC1 = ( 1, 2,2) ， B1D1 = (4, 2,0) ，
x D
C
所以 AC B D = ( 1, 2,2) (4, 2,0) = 4 + 4 + 0 = 0， 1 1 1
A B
y
所以 AC ⊥ B D ，即 AC ⊥ B D1 1 1 1 1 1 ．…………………………6 分
（2）设平面 B1CD 与平面 B1CD1 的一个法向量分别为m = (x , y , z ) 与1 1 1 n = (x2 , y2 , z2 ) ，
因为CB1 = (0,2,2) ，CD1 = (4,0,2) ，CD = (4,0,0) ，所以
m ⊥ CB 1 m CB1 = 2y1 + 2z = 0由 得
1
，则 x1 = 0 ，令 y1 =1得 z1 = 1，所以m = (0,1, 1)．…8 分
m ⊥ CD m CD = 4x1 = 0
n ⊥CB 1 n CB1 = 2y2 + 2z2 = 0由 得 ，令 x2 =1，则 z1 = 2， y2 = 2 ，所以 n = (1,2, 2) ．…10 分
n ⊥CD1 n CD1 = 4x1 + 2z2 = 0
m n 0 1+1 2 + ( 1) ( 2) 2 2
所以 cos m,n = = = ，
| m || n | 02 +12 + ( 1)2 12 + 22 + ( 2)2 3
2 2
所以二面角 D B1C D1 的平面角的余弦值为 ．……………………………………………12 分
3
19．解：（1）在△ABC 中， b = 2 ， c = 3，
a2 + b2 c2 11
由余弦定理得 cosC = = ，即 4a2 11a 20 = 0，所以 a = 4．……………………2 分
2ab 16
sin C = 1 cos2
11 2 3 15C = 1 ( ) = ，……………………………………………………………4 分
16 16
a c 4 3 15
由正弦定理 = ，得 = ，所以 sin A = ． ………………………………5 分
sin A sin C sin A 3 15 4
16
（2）因为 AD = 2DB， AB = c = 3，所以 AD = 2 ， DB =1．
在△ABC 中，由余弦定理得b2 = a2 + 32 2a 3 cos B，即 a2 b2 + 9 = 6a ，
2 21 25
在△BCD 中，由余弦定理得 ( )2 = a2 +12 2a 1 cos B，即 a2 = 2a ，
3 3
所以 a2 b2 + 9 = 3a2 25，即 2a2 + b2 = 34 ①………………………………………………8 分
数学答案 第 2 页，共 6 页
{#{QQABCQKAogAAAgBAAQhCEwUKCkOQkACACIoOQEAMMAAAyQNABAA=}#}
sin C 2sin B 3 2b
因为 tan C = 2 tan B ，所以 = ．又 c = 3，由正弦定理得 = ，
cosC cos B cosC cos B
a2 + b2 c2 a2 + c2 b2
2bcosC = 3cos B ，即 2b = 3 ，则 a2 + 3b2 = 27 ②………………11 分
2ab 2ac
联立①②可得 a2 =15，所以 a = 15 ．……………………………………………………………12 分
20．（1）记活动参与者“第 1 次操作时取到白球”为事件 A，“第 2 次操作时取到白球”为事件 B ，
1 2 1+1 2 1 1
则 P(A) = ，P(A) = ，P(B | A) = = ，P(B | A) = = ．……………………………2 分
3 3 3+1 4 3+1 4
1 2 2 1 1
所以 P(B) = P(AB + AB) = P(AB) + P(AB) = P(A) P(B | A) + P(A) P(B | A) = + = ，
3 4 3 4 3
1
所以活动参与者第 2 次操作时取到白球的概率为 ．……………………………………………5 分
3
（2） X = 2,3,4,5， …………………………………………………………………………………6 分
1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1
P(X = 2) = = ， P(X = 3) = + + = ，
3 4 5 10 3 4 5 3 4 5 3 4 5 5
2 3 1 2 1 3 1 2 3 3 2 3 4 2
P(X = 4) = + + = ， P(X = 5) = = ，…………………10 分
3 4 5 3 4 5 3 4 5 10 3 4 5 5
则随机变量 X 的概率分布为
X 2 3 4 5
1 1 3 2
P
10 5 10 5
1 1 3 2
所以，随机变量 X 的数学期望 E(X ) = 2 + 3 + 4 + 5 = 4．………………………12 分
10 5 10 5
c 2 b2 a2 c2 1 1
21．（1）因为 e = = ，所以 = =1 e2 =1 = ，
a 2 a2 a2 2 2
4 1 x2 2
结合 + =1可得 a2 = 6 ，b2
y
= 3，所以椭圆 E 的方程为 + =1．………………………2 分
a2 b2 6 3
1 1 3 x2 y2
直线 l ： y + 2 = (x 1) ，即 y = x ，代入 + =1得 x2 + 2x 1= 0，
2 2 2 6 3
设 M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，则 x1 + x2 = 2， x1x2 = 1，
所以 | MN |= 1+ k 2 | x x |= 1+ k 2
1
1 2 (x + x )
2 4x x = 1+ ( )21 2 1 2 ( 2)
2 4 ( 1) = 10 ，
2
| 2 + 2 + 3 | 7
又点 A(2,1)到直线 l ： x + 2y + 3 = 0的距离 d = = 5 ，
5 5
数学答案 第 3 页，共 6 页
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1 1 7 7
所以△AMN 的面积 S = | MN | d = 10 5 = 2 ．……………………………………5 分
2 2 5 2
5 10 10
（2）当直线 l 斜率不存在，即 l ： x =1时， y2 = ，不妨取M (1, ) ， N (1, ) ，
2 2 2
10 10
1 +1
10 1 10
因为 A(2,1)， B( 2, 1)，则 k1 =
2 =1 ， k2 =
2 = (1 ) ，
1 2 2 1+ 2 3 2
10 1 10 1 3 1
所以 k1k2 2k2 = (k1 2)k2 = ( 1 ) (1 ) = = ．…………………………………7分
2 3 2 3 2 2
x2 y2
当直线 l 斜率存在时，设 l ： y + 2 = k(x 1)，代入 E ： + =1得
6 3
(2k 2 +1)x2 4k(k + 2)x + 2(k + 2)2 6 = 0 ，
4k 2 + 8k 2k 2 + 8k + 2
设 M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，则 x1 + x2 = ， x x = ，…………………………8分 2 1 22k +1 2k 2 +1
y1 1 y +1 kx k 3 kx k 1则 k1k2 2k2 = (k1 2)k2 = ( 2)
2 = ( 1 2) 2
x1 2 x2 + 2 x1 2 x2 + 2
[(k 2)x1 k +1](kx2 k 1) (k
2 2k)x1x2 (k
2 k 2)x (k 2 k)x + k 2 1
= = 1 2
(x1 2)(x2 + 2) x1x2 + 2x1 2x2 4
(k 2 2k)x 2 2
= 1
x2 (k k)(x1 + x2 ) + k 1+ 2x1
x1x2 2(x1 + x2 ) 4 + 4x1
(k 2 2k)(2k 2 + 8k + 2) (k 2 k)(4k 2 +8k) + (k 2 1)(2k 2 +1) + 2x1 7k
2 4k 1+ 2x1 1= = = ．
2k 2 + 8k + 2 2(4k 2 + 8k) 4(2k 2 +1) + 4x1 14k
2 8k 2 + 4x2 2
1
综上可知， k1k2 2k2 = ．…………………………………………………………………………12分
2
x2 y2
法二：设 l ：x 1= m(y + 2)，代入 E ： + =1得 (m2 + 2)y2 + (4m2 + 2m)y + 4m2 + 4m 5 = 0 ，
6 3
4m2 2m 4m2 + 4m 5
设 M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，则 y1 + y2 = ， y1 y2 = ，………………………6分
m2 + 2 m2 + 2
设直线 AN 的斜率为 k3 ，则
y1 1 y2 1 y 1 y 1k 1 21 + k3 = + = +
x1 2 x2 2 my1 + 2m 1 my2 + 2m 1
(y1 1)(my2 + 2m 1) + (y2 1)(my1 + 2m 1) 2my1 y2 + (m 1)(y1 + y2 ) 4m + 2= =
(my1 + 2m 1)(my2 + 2m 1) m
2 y1 y2 + (2m
2 m)(y + y ) + (2m 1)21 2
2m(4m2 + 4m 5) + (m 1)( 4m2 2m) (4m 2)(m2 + 2) 12m2 16m + 4
= = = 2 ，…10分
m2 (4m2 + 4m 5) + (2m2 m)( 4m2 2m) + (4m2 4m +1)(m2 + 2) 6m2 8m + 2
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y +1 y 1 y2 1 y22 2 2 2 1 1 1又 k2k3 = = = = ，即 k = ，……………………………11分 3
x2 + 2 x2 2 x
2 4 6 2y22 2 4 2 2k2
1 1
所以 k + k = k = 2，则 2k1k2 1= 4k2 ，所以1 3 1 k1k2 2k = ．……………………………12分 2
2k2 2
法三：设直线 l ： x 1= m(y + 2)，即 x 2 +1= m(y 1+ 3)，所以 x 2 m(y 1) = 3m 1．
x2 y2
椭圆 E ： + =1，即 x2 + 2y2 = 6，所以 (x 2 + 2)2 + 2(y 1+1)2 = 6 ，
6 3
即 (x 2)2 + 2(y 1)2 + 4(x 2) + 4(y 1) = 0 ，
1
则 (x 2)2 + 2(y 1)2 + 4[(x 2) + (y 1)] [x 2 m(y 1)] = 0 ，
3m 1
y 1 y 1
整理得 (2m 2)( )2 (4m 4) + 3m + 3 = 0 ，
x 2 x 2
y 1 y 1 4m 4
设直线 AN 的斜率为 k3 ，则 k
1 2
1 + k3 = + = = 2 …………………………………10分
x1 2 x2 2 2m 2
y2 +1 y2 1 y
2
2 1 y
2 1 1 1
又 k 22k3 = = = = ，即 k = ，……………………………11分
x + 2 x 2 x2 4 6 2y2
3
2 2 2 2 4 2 2k2
1 1
所以 k + k = k = 2，则 2k1k2 1= 4k1 3 1 2 ，所以 k k 2k = ．……………………………12分 1 2 2
2k2 2
1
22．（1）当 a =1时， f (x) = | ex x | + x2 ，
2
设 h(x) = ex x ，由 h (x) = ex 1= 0得 x = 0 ，则 h(x) 在 ( ,0)上单调递减，在 (0,+ )上单调递增，
1
所以 xh(x)≥h(0) =1 0 ，则 e x 0，所以 f (x) =ex x + x2 ．………………………………2 分
2
因为 f (x) =ex + x 1在 ( ,+ ) 上单调递增，且 f (0) = 0 ，则
x ( ,0) 0 (0,+ )
f (x) － 0 ＋
f (x) ↘ 极小值 ↗
所以， f (x) 的最小值为 f (0) =1．…………………………………………………………………4 分
（2）记 g(x) = aex x ， x R ，则 g (x) = aex 1．
① 当 a 0时， g (x) 0，则 g(x) 在 ( ,+ ) 上单调递减，
1
又因为 g(0) = a 0，所以当 x 1时， g(x) = aex x aex +1 0 ，所以 x ln( )，
a
1
令 t = min{ 1, ln( )}，则 g(t) 0 ，因为 g(0) 0，所以 x0 (t,0) 使得 g(x0 ) = 0 ，
a
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1
当 x x0 时， g(x) 0 ，所以 f (x) = x ae
x + x2 + (1 a)x ， f (x) =1 aex + x +1 a ，
2
若 x = 0 处取得极小值，则 f (0) = 2 2a = 0，即 a =1，与 a 0 矛盾，不成立．………………6 分
1
x
2 , x 0
1
② 当 a = 0时， 2f (x) = | x | + x2 + x =
2 1 x2 + 2x, x≥0
2
所以 f (x) 在 ( ,0)上单调递减，在 (0,+ )上单调递增，所以 f (x) 在 x = 0 取极小值，
所以 a = 0符合题意．…………………………………………………………………………………7 分
1 x x 1 1③ 当 a≥ 时，则 ae x≥0，所以 f (x) = ae x + x2 + (1 a)x = aex + x2 ax ，
e 2 2
f (x) =aex + x a， f (0) = 0 ，又 f (x) =aex +1 0 ，所以 f (x)在 ( ,+ ) 上单调递增，
所以当 x 0 时， f (x) 0；当 x 0 时， f (x) 0，
所以 f (x) 在 ( ,0)上单调递减，在 (0,+ )上单调递增，所以 f (x) 在 x = 0 处取得极小值．…9 分
1
④ 当 x0 a 时， g (x) = ae 1在 ( ,+ ) 上单调递增，且 g (1) = ae 1 0 ，
e
所以当 x 1时， g (x) 0，所以 g(x) 在 ( ,1)上单调递减，
又 g(0) = a 0 ， g(1) = ae 1 0，所以 x0 (0,1) 使得 g(x0 ) = 0 ，所以 x x0 时， g(x) 0
x 1所以 f (x) = ae x + x2
1
+ (1 a)x = aex + x2 ax ， f (x) =aex + x a，则 f (0) = 0 ，
2 2
又 f (x) =aex +1 0，所以 f (x)在 ( , x0 )上单调递增，
则 x 0 时， f (x) 0， 0 x x0 时， f (x) 0，
所以 f (x) 在 ( ,0)上单调递减， (0, x0 )上单调递增
所以 f (x) 在 x = 0 处取得极小值．
综上可知，a≥0 ．…………………………………………………………………………………12 分
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